高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版单元质检卷五　平面向量、数系的扩充与复数的引入

单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:60分钟满分:80分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.(2023广西南宁一模)复数z=(1+i)(1-2i),则z的虚部是()A.-3 B.-1 C.1 D.3答案:B解析:z=(1+i)(1-2i)=1-2i+i-2i2=3-i,因此复数z的虚部为-1.2.已知向量a=(-1,2),b=(3,-2),c=(t,2-t),若(2a+b)∥c,则t=()A.-32 B.32 C.-23 答案:D解析:由2a+b=(1,2),又(2a+b)∥c,∴2t=2-t,可得t=233.(2023山东聊城二模)已知复数z1=-2+i,z2=z1i,在复平面内,复数z1和z2所对应的两点之间的距离是(A.5 B.10 C.5 D.10答案:B解析:z1=-2+i所对应的点为(-2,1),z2=z1i=-i(-2+i)-i2=1+2i4.(2023云南昆明三模)已知向量a=(0,3),b=(4,0),则cos<a,a-b>=()A.35 B.45 C.-35 D答案:A解析:因为向量a=(0,3),b=(4,0),所以a-b=(-4,3),所以cos<a,a-b>=3×5.(2023山西名校联考三模)已知△ABC的重心为O,则向量BO=()A.23AB+1C.-23AB+13答案:C解析:如图,设E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,由于O是三角形ABC的重心,所以BO=23BE=23×(AE−AB)6.若向量a=(1,-3),b=(-2,6),则()A.a⊥b B.a与b同向C.a与b反向 D.|a|=2|b|答案:C解析:a·b=1×(-2)+(-3)×6=-20≠0,故A错误;∵b=(-2,6)=-2(1,-3)=-2a,∴a与b反向,故B错误,C正确;|a|=1+9=10,|b|=4+36=210,|b|=2|a|,故D7.(2023四川泸州诊断测试)已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=1,|a+b|=|a-b|,则|a-2b|=()A.5 B.5 C.7 D.7答案:C解析:∵|a+b|=|a-b|,∴|a+b|2=|a-b|2,即a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0,∴|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=3-4×0+4×1=7,∴|a-2b|=7.8.(2023湖北黄石模拟)原点O是△ABC内一点,顶点A在x轴上,∠AOB=150°,∠BOC=90°,|OA|=2,|OB|=1,|OC|=3,若OC=λOA+μOB,则μλ=(A.-33 B.33 C.-3 D答案:D解析:建立如图所示的直角坐标系,根据题意,A(2,0),B-32,12,C-32,-3因为OC=λOA+μOB,由向量相等的坐标表示可得2解得λ=9.(2023山东泰安考前模拟)已知向量a=(λ,1),a-b=(0,4),a⊥b,则a-b在a方向上的投影为()A.2 B.2 C.3 D.5答案:B解析:由a=(λ,1),a-b=(0,4),得b=(λ,-3),由a⊥b,得a·b=λ2-3=0,解得λ=±3,所以|a|=2,故a-b在a方向上的射影为(a-b10.(2023四川资阳中学高三月考)任何一个复数z=a+bi(其中a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)(其中r≥0,θ∈R)的形式,通常称之为复数z的三角形式.已知有公式[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈Z),由公式可知,“n为偶数”是“复数cosπ2+isinπ2n(n∈Z)为实数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:由cosπ2+isinπ2n=cosnπ2+isinnπ2为实数,得sinnπ2=0,故nπ2=kπ,k∈Z,即n=2k,k∈Z;反之,若n为偶数,则设n=2k,k∈Z,则sinnπ2=sinkπ=0,则cosπ2+isinπ2n=cosnπ2+isinnπ2=cosnπ2,为实数.故“n为偶数”是“复数cos11.(2023湖南岳阳一模)已知等边三角形ABC的边长为4,O为三角形内一点,且OA+OB+2OC=0,则△AOB的面积是(A.43 B.833 C.433 答案:D解析:根据题意,设AB的中点为D,△ABC是等边三角形,则CD⊥AB,AB的中点为D,则OA+OB=2又由OA+OB+2OC=0,则OC=-OD,则O是CD又由△ABC的边长为4,则AD=2,CD=23,则OD=3,则S△AOB=12×4×3=2312.(2023天津南开中学三模)如图,已知B,D是直角C两边上的动点,AD⊥BD,|AD|=3,∠BAD=π6,CM=12(A.4+132 BC.4+134 D答案:C解析:由题意,以点D为坐标原点,以DB方向为x轴正方向,以DA方向为y轴正方向,建立如图所示的直角坐标系,因为|AD|=3,∠BAD=π6,所以BD=1,则D(0,0),B(1,0),A(0,3)又CM=12所以M,N分别为BA,DA的中点,因此M12,32,N0,32又CD⊥BC,所以点C可看作以BD为直径的圆上的点,设C(x,y),则(x-12)2+y2=14,又CM=12-x,32-y,CN=-x,32-y,所以CM·CN=-12x+x2+34−3y+y2=令m=12x-3y,即x-23y-2m=所以点C(x,y)为直线x-23y-2m=0与圆(x-12)2因此圆心12,0到直线x-23y-2m=0的距离小于等于半径12,即d=|1解得1-134≤m所以CM·CN的最大值为二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2023全国甲,理14)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k=.

答案:-10解析:∵a⊥c,∴a·c=0,即a·(a+kb)=0,∴a2+ka·b=0,∵a=(3,1),b=(1,0),∴10+3k=0,解得k=-10314.(2023福建莆田三模)写出一个虚数z,使得z2+3为纯虚数,则z=.

答案:1+2i(答案不唯一)解析:设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2+3=a2-b2+3+2abi,因为z2+3为纯虚数,所以a2-b2=-3且ab≠0.任取不为零的实数a,求出b或任取不为零的实数b,求出a即可得,答案不唯一,如z=1+2i.15.(2023山东淄博二模)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=3,则向量a-b和b的夹角为.

答案:5解析:由|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+4=3,得a·b=1,由cos<a-b,b>=(a-b所以向量a-b和b的夹角为5π16.(2023浙江嘉兴模拟)给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120°,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R.则x+y的最大值为;x-y的取值范围是答案:2[-1,1]解析:如图所示,以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(1,0),B-12,32,设C(cosθ,sinθ)0≤θ