高中数学选择性必修二 精讲精炼 4

4.4数学归纳法（精练）

【题组一增项问题】

1.（2021•全国高二课时练习）用数学归纳法证明等式（〃+1）5+2）L•（〃+〃）=2"13L（〃eN*）,

从4到&+1左端需要增乘的代数式为（）

A.2k+1B.2（2及+1）

C2&+1D2k+3

'k+l'k+1

【答案】B

【解析】当〃=化时,左端为（A+1）1+2）（%+3）“L3

当〃=%+1时，左端为化+2）焦+3>L-2k\2k+iy（2k+i）

因为（4+2）（Z+3>L.2h（2A+l）.（2A+2）=[（&+l）（A:+2）（%+3）..L-2A:]-2（2A:+1）

所以从2到Z+1左端需要增乘的代数式为2（2%+1）,故选：B.

2.（2021•全国高二专题练习）用数学归纳法证明“l+a+，+…+才用=」一在验证〃=1

\-a

时\左端计算所得项为（）

A.1+aB.1+a+a

C.l+a+才+4D.1+a2+a

【答案】C

【解析】山cJ向知，当〃=1时，等式的左边是l+a+/+/.故选：C.

3.（2021•全国）用数学归纳法证明“当〃为正奇数时，炉+y"能被工+'整除”时，第二步归纳假设应写成

（）

A.假设当〃=2k+l（keN*）时成立，再推出当〃=24+3时成立

B.假设当〃=24-1,€'*）时成立，再推出当〃=2&+1时成立

C.假设当“=%（%€”）时成立，再推出当〃=%+1时成立

D.假设当〃时成立，再推出当〃=左+2时成立

【答案】B

【解析】第二步假设当〃=2"1（丘N"）时成立.，再推出当〃=2（%+1）-1=2&+1时成立.故选：B.

4.（2021•全国高二课时练习）用数学归纳法证明1+:+:+…+4<M〃£N*,〃22）时，第一步需要验证

232—1

的不等式是（）

A.1H—<2B.1H1—<2

223

111

aD+++<3

2-3-4-

【答案】B

【解析】因为〃22,

由数学归纳法可知：第一步需要证明〃=2时该不等式成立，

所以第•步需要验证的不等式是l+g+；<2,

故选：B.

5.（2021•全国高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是国，公差是d的等差数列的前〃项和公式是5=

〃团+号2d时，假设当〃=〃时，公式成立，则£=（）

A.—）dB.细普

C.姑+处D.（%+1）@+检〃

22

【答案】C

【解析】假设当〃=4时，公式成立，只需把公式中的〃换成片即可，即£=松|+哼Dd

故选：C

6（2021•杭州市实验外国语学校高中部高二期中）用数学归纳法证明：1+:+?+…+一］<”，（〃eN*,〃>l）

232—I

时，在第二步证明从〃=%到〃=%+1成立时，左边增加的项数是（）

A.2*B.2k-\C.2*TD.2*+1

【答案】A

【解析】从〃=%到n=上+1成立时，左边增加的项为占，4,因此增加的项数是

22+12—1

2yl-2"+1=2"，

故选A.

7.（2021•全国）用数学归纳法证明：lx〃+2x（〃-1）+3X5-2）+・..+〃X1=！〃G?+1）（〃+2）,当〃二4时，

左式为〃k）,当〃=八1时，左式为/优+1）,则/优+1）-/㈤应该是（)

A.lx(A:+l)B.1+2+3+—・+(&+1)

C.1+2+3+---+A:D.k邓-2)

【答案】B

【解析】由题意,/(%)=1/+2/-1)+3/-2)+4(%-3)+…+h1,

了(％+1)=1•伏+D+2Z+3伏-1)+4(左一2)+…+女-2+伏+1)/，所以

/(Z+1)—/仅)=1•[伏+1)—灯+2•伙一(4—1)]+3・[伏-1)一/—2)]+41(%—2)—(4—3)]+...+人(2—1)+(4+1>1

—1+2+3+…+Z+(k+1).

故选：B.

8.(2021•陕西省黄陵县中学高二月考(理))用数学归纳法证明"l+g+g+…+亍匕<〃(〃22)"时，由n=k

的假设证明，7=%+1时，不等式左边需增加的项数为()

A.2"iB.2*-1C.2AD.21+1

【答案】C

【解析】当〃=女时，左边=1+!+：+…+工，

232-1

当〃=%+1时，^Eii=1+—+—+•••+—r—+——+1--••+—r-j—，

232-2*2"+12*+22&J

所以左边增加占+工+二■二+…分母是连续的正整数

2«2*+12’+221-1

所以共增加了(21-1)-2"+1=2x2/-2"=2"项

所以"=氏的假设证明〃=左+1时，不等式左边需增加的项数为2«

故选：C

9.(2021•全国)用数学归纳法证明1+a+a?+…+a"='(afl,但心,在验证〃=1时，左边计算所得

n

的式子是()

A.1

B.1+a

C.l+a+才

D.l+a+才+3

【答案】B

【解析】当〃=1时，左边计算得出1+。

故选：B

“2_i_"4

10.(2021•河南信阳高中高二月考(理))用数学归纳法证明1+2+3+…+〃2=巴士则当”=A+1

2

时，左端应在〃=%的基础上加上()

A.k2+\B.(&+1)2

C.(公+1)+(炉+2)…+(4+1)2I).("+1)+("+)

【答案】C

【解析】当〃=火时，等式左端为1+2+3+…

当”=%+1时，等式左端为1+2+3+…+公+俨+1)+(&?+2)+...+伏+炉，

左端应在n-k的基础上加上(%?+1)+(K+2)4---+(7+1)2.

故选：C.

11(2021•全国高二课时练习)用数学归纳法证明l+2+3i+(2〃+D=("l)(2"1)时，从"力*'到“〃高+1”,

左边需增添的代数式是()

A.(2A+1)+(24+2)B.(2*T)+(2〃+l)

C.(2A+2)+(24+3)D.(24+2)+(24M)

【答案】C

【解析】当时，左边是共有24+1个连续自然数相加，即1+2+3-(24+1),

所以当n=k+\时，左边共有24+3个连续自然数相加，

即1+2+3+(2〃+1)+(2X2)+(24+3).

所以左边需增添的代数式是(2r2)日(2k3).

故选：C

24

12.(2021•全国高二课时练习)用数学归纳法证明1+2+3+…+〃2=上？-(〃€“)，则当”=4+1时，等

2

式左边应该在〃=%的基础上加上()

2

A.k+\B.(k+1)2C.伏+2『D.供2+1)+供2+2)+…+伏+1)2

【答案】D

【解析】当小立时，等式左端=1+2+3+…+%2,

当炉在上1时，等式左端=1+2+3H--1■公+(&2+1)+(3+2)+…+(&+[)2,增加了项

(公+1)+(/+2)+…+伏+1)2.

故选:D.

13.(2021•全国)用数学归纳法证明下列等式：

-1+3-5+7+...+(-!)"(2/?-1)+(-1)，，+'(2/I+1)+(-1)，，+2(2H+3)=(-1)，，+2(/2+2).要验证当〃=1时等式成立,

其左边的式子应为()

A.-1B.-1+3C.-1+3-5D.-1+3-5+7

【答案】C

【解析】

由题意，当”=1时，

左边=-1+3+…+(-1)22(2x1+3)

=-1+3-5

故选：C

14.(2021•全国高二课时练习)用数学归纳法证明不等式g+g+；+…+击＞1-1(“€”,〃22)时，以下

说法正确的是()

A.第一步应该验证当〃=1时不等式成立

B.从=k到“31”左边需要增加的代数式是会

C.从“〃=%至1」〃=%+1”左边需要增力U2'项

D.从“〃=女到〃=4+1”左边需要增加的代数式是一~7+旬二+…

乙I1乙I乙乙

【答案】D

【解析】第一步应该验证当〃=2时不等式成立，所以A不正确;

1111J111、111

2342«2342^'2^+121+22«

所以从“〃=%至=左边需要增加的代数式是不上+/二+…+[,所以8不正确;

2*1+12A1+22’

所以从“〃=4至1」〃=&+1"左边需要增加2"T项，所以C不正确.

故选:D.

【题组二等式的证明】

二+二+…=21^111

1.(2021•全国高二课时练习)用数学归纳法证明:

1x33x5(2〃-1)(2〃+1)2(2〃+1)

【答案】见解析

[211vO1

【解析】⑴当〃=i时，左边二」一=L右边=55=9等式成立，

1x332x33

I2?2尸女（攵+1）

⑵假设当〃=攵时，等式成立，即=+匚+・•・+/"IS=徐\，

1x33x5（2攵一1）（2%+1）2（24+1）

当〃=%+1时，

I2工，.，好।gif

M+3^5（2"l）（2k+l）（2&+l）（2X+3）

k（A+l）（A+l）2

-2（2k+I）+（2Z+l）（2Z+3）

_Z+l（kk+1]

-2攵+1b22+3）

:）+1（k+2）（2/+l）

~2k+l2（2/+3）

二（八1）[（八1）+1]

2[2（*+1）+1]'

即当〃=Z+1时等式也成立.，

由（1）（2）可知：等式对任何〃£*都成立，

,,I222n2n（n+l）

Il乂-----1-------------F,••4--------------------------------------------------.

1x33x5（2〃-1）（2〃+1）2（2«+1）

2.（2021•全国）用数学归纳法证明：

（1）1+3+5+…+（2”-1）=心

（2）1+2+22+...+2"-'=2"-1;

r--|2

1-

（3）l3+23+33+---+n3=-«（n+l）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】（1）当〃=1时，等式左边=1,右边=1,所以等式成立；

假设〃=%时等式成立，即1+3+5+…+（2左-1）=占，

贝」I当〃=%+1时，1+3+5+…+（2左一1）+（2A+1）=/+（2左+1）=任+1）2,

故〃=k+l时等式成立.，

综上可知，等式1+3+5+…+（2〃—1）=/T成立.

(2)当71=1时，等式左边=1,右边=1,所以等式成立；

假设〃=%时等式成立，B|J1+2+22+...+2*-1=2*-1，

则当〃=々+1时，1+2+2?+…+2*-'+2'=优-1)+2«=2x2*-l=2*+'-l,

故〃=%+1时等式成立，

综上可知，等式1+2+2?+...+2"一=2"-1成立.

(3)当w=l时，等式左边=1,右边=1,所以等式成立；

L->0

1

假设”=&时等式成立，即户+23+33+…+犬=~k{k+\),

则当〃=左+1时，l3+23+33+--.+A:3+(^+l)3=g%(Z+D+(Z+1)3=(%+1)［；z2+/+1

=(左+1)［9+1)=(&+1呜馋+研=［拆+1)0+2)

故〃=%+1时等式成立，

|~1I2

综上可知，等式F+23+33+…+/=-»(„+1)成立.

【题组三不等式的证明】

1.(2021•全国高二课时练习)证明：不等式l+g+；+；H---恒成立.

【答案】证明见解析.

【解析】当"=1时，1>;成立

假设〃=攵时，不等式1+5+5+[+...+^^>3成立

那么n=k+l时

1111111k11

1H111-…H7—rH----1----1-…H->1----F,•,4T

2342"|2^+12I+22A22^+12k

111

'•------------>----------->r

,24-'+l2*'2k-'+22'，

1I11k2*T_k+\

...I111...FT7-i-------1T-j-------h…+

+2+3+4++2k-'2*-'+l2w+2

即〃=&+l时，该不等式也成立

综上：不等式1+3+：+；+...+，7>36£""),恒成立.

2(2021•全国高三专题练习)证明：对于一切自然数〃之1都有2〃+2〉"2.

【答案】证明见解析

【解析】⑴当“=1时，2,+2=4>12=1，成立；

当〃=2时，22+2=6>22=4.成立；

当〃=3时，23+2=10>32=9,成立.

⑵假设当〃=&23次eN)时不等式成立,即2,+2>/，2〜2-2,

当〃=&+1时，2*+|+2—(左+1)~=2,2'+2—(A~+2k+1)

>2(42-2)+2-出+2%+1)=%2-2"3=伏-3)(%+1).

因为&23,即(4—3)3+1)20,

所以2*+'+2-(«+1)2>0,

即当〃=k+1时，2印+2＞伏+4时仍成立.

由（1）（2）所述，原不等式得证.

111

3.（2021•全国高三专题练习）证明不等式1—◎6

【答案】证明见解析

【解析】当〃=1时，左边=1,右边=2,左边〈右边，不等式成立.

111

假设当力=A（AG.M）时，不等式成立，即1+&+耳+C灰<2〃,

当〃=在+1时,

+

7T耳+•.•+天+E

27^71+1

<2"+看=

^/^id

22

(^)+(VT+i)+i=狰=

<7TTT-2g

所以当〃=4+1时，不等式成立.

综上，原不等式对任意"G”都成立.

4.（2021•全国高二课时练习）用数学归纳法证明：1+；+：+[+~+芸4〃.

【答案】证明见解析；

【解析】（1）当〃=1时，左边=1,右边=1，不等式成立.

（2）假设当〃AeN*时，不等式成立，即有1+:+?+：+…+，4k,

2342*-1

则'"I〃=k+1时，左边=1+—+-+-+•••+—7~~~+TT+T7~~7+---+TTTi~~；

2342-1TT+12**-1

,111

<kT---TH---;------F...4---------

2"2"+12*|-1f

1111。一

2k2"2*+,-12”

nn1111111一

2342*-12k2"+12八|-1

即当〃=%+1时，不等式也成立.

综上可得，对于任意“WN*,1+[+!+!+…+成立.

2342"-1

5.(2021-全国高二课时练习)试用数学归纳法证明/+*+…+加焉.

【答案】证明见解析

【解析】(1)当〃=1时，左边=!，右边=)，不等式成立；

46

⑵假设当〃=%卜£")时，原不等式成立，即/+"+…+舟子〉;一出，

-1111111

lz]九=A+1时，—rH——+…H---------d------------>--------------1------------7

1,21232(%+1)2(%+2)22k+2供+2)2

111fl11111八

・2k+2(k+2)2(2k+3)k+3k+2(Jl+2)2(k+3)(&+2)2

11111w111111

••.2一门比后>5一口,即，+…+而尸百了丁一可

所以，当n=女+1时，不等式也成立.

根据(1)和(2)可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立.

6.(2021•全国高二课时练习)用数学归纳法证明l+]wi+g+g+…+5W；+〃(〃GN*).

【答案】见解析

【解析】(1)当r=l时,z^l+s^s命题成立.

(2)假设当〃=左(Zr£N*)时命题成立，即1+£W1+?+?+…+h

2父22t父

则当n=A+1时，

11

+55+“+=忐+/-…+方>1+/+2*•嬴=1+亨

11

)，

又1++…+$+帚+昌+~+露<1+"+2">?=5+U+1

A5+.5

即〃=4+1时，命题成立.

由(1)和(2)可知，命题对所有〃£N,都成立.

【题组四数列的证明】

1.(2021•全国高二课时练习)已知数列｛aj满足：4=1,点(a“,am)(“eN*)在直线y=2x+l上.

(1)求生,%,%的值，并猜想数列｛a｝的通项公式；

(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想.

【答案】(1)%=3,q=7,%=15：。“=2"-1：(2)证明见解析.

【解析】⑴・・・点⑷,J)(〃wN*)在直线y=2x+l上可知，数列｛4｝满足：­=2q,+l,

,.,4=1,「.叼=3,%=7M4=15.可猜得=2"-1.

⑵当〃=1时，4=2-1=1成立，

假设当〃丘N)时，4=2"-1成立，

则当〃二女+1时，%+i=2久+1=2(2"-1)+1=2”小一1成立，

就是说"GN',猜想正确；

综上，%=2"—1.

S1

2(2021•河北曹妃甸一中高二期中)已知数列｛《,｝的前〃项和为S“，其中凡=且q

⑴求/,如；

(2)猜想数列｛4｝的通项公式，并证明.

【答案】⑴出=人，生=［，:⑵猜想。“=7^~3—X，证明见解析.

1535(2/2-1)(2/1+1)

S1

【解析】(1)由题意，数列｛为｝满足。“=〃(2；_］),且4=］，

“11

可得"2=9百不二丁’即「丁二日

又由的=3*/-1)=号3可得14%，+%4,可得为1.

/C、4111

(2)111^=-,%=百，。3=拶…，

猜想：an-7；.，

(2n-l1)V(O2n+l1)A

证明：当〃=1时，由(1)可知等式成立；

假设〃=%时，猜想成立，即4fL…、，

当时,山题设可得为=看'矶=入检而,

1k

所以&=攵（2左一1）以=以2攵-1）・

（2I）（2A+1）2k+l

&*=化+1）（2左+l）%x，

又由%一岛,所以改（2%+3）%L岛

__]___________1_________

所以aM-（2k+l）（2Z+3）-[2（A+1）-1][2（/+1）+1]'

即当〃=左+1时，命题也成立，

综上可得，命题a„=-~1~-对任意〃wN*都成立.

（2〃一1）（2〃+1）

3.（2021•安徽金安•六安一中高二月考（理））已知数列｛叫的前〃项和5„,满足5“=3+5一1，且4>0•

（1）求。]、%、。3；

⑵猜思｛%｝的通项公式，并用数学归纳法证明.

【答案】—%=G—&，/=2-6；（2）猜想%=Jn+1-H,nGN*,证明见解析.

【解析】（1）对任意的〃sN,+且a“>0.

当〃=1时，4=$=^+（一1，整理得端+2%-1=0,且4>0,所以q=&—1；

当〃=2时，S?=%+%=券+三1一1,整理得耐+2"^—1=0,且。〃>0,所以%=6-&；

当"=3时，§3=〃[+。2+。3=号+5丁一1，整理得必+2疯/3-1=0,且可>0,所以生=2-8；

⑵由（1）猜想a“=J〃+l—J,neN,,

下面用数学归纳法加以证明：

①当〃=1时、由（1）知q=0-1成立;

②假设当"二女心6⑼）时，q=灰口一4成立.

当"=%+1时,

所以“3+21k+14+|-1=0,且4*|>°,

所以%”=>/r花-vm,即当”=%+i时猜想也成立.

综上可知，猜想对一切“sN*都成立.

4.（2021•全国高二课时练习）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，出=14,且可=S-T'（n&N'

14n

⑴求丛邑邑,

水2、4、8'

（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

【答案】⑴兴=1，*=4,*=9；（2）苓=/（〃**）,证明见解析.

【解析】⑴=

S,

当"=1时,a,=S,=lj+l15,-1,解得E=2,即有苛=1；

2

|S,-2=14,解得$2=16,则*=4；

当〃=2时，=5-Sj=+

2II

C

4-S-22,解得$3=72,则今=9：

当刀=3时,a3=S3-S2=3

IIO

⑵由⑴猜想可得数列图的通项公式为宗=n2

nGN）.

下面运用数学归纳法证明.

①当”=1时，由⑴叫吟=1成立;

C

②假设〃=爱=公成立,

当〃=&+1时,4+i=S*+]—S«川-2人:+l-l

kkk2k

即有M=Sk-2=2-k--2=（k-\\2,

则扁2+1）（1）",

当化=1时，上式显然成立；

当女＞1时,S*M=2（4+1）2"=伏+1），2"1,即貂•=（无+1）2,

则当〃=A+1时，结论也成立.

q

由①②可得对一切〃€N*,6=〃2成立.

5.（2021•全国）猜想满足4=”,2a,用-《4,1=1的数列｛%｝的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.

【答案】。"=，证明见解析

"一n—7（n"—；i：）a）"

【解析】

1

由2。川一%见+]=1可得4川

113-2”

222--4-3a.

~3-2a

〃一1一(〃一2)a

推测6

n-(n-l)a

下面用数学归纳法证明:

①当〃=1时，左边=4=。,

右边=若*",结论成正

②假设n=k(neN*)时等式成立,

k-1-(k-2)a

有4=心…

则当〃=%+1时,

k-(k-\)a

I2-ak2k-\-(k-2)ak+\-ka

k-(k-1)a

故当九=%+1时,结论也成立.

2)a

由①②可知，对任何〃eN*都有4=

n-(n-\)a"

【题组五整除问题】

1.(2021•陕西渭滨•(理))用数学归纳法证明：对任意正整数〃,4"+15〃-1能被9整除.

【答案】见解析

【解析】证明：(1)当”=1时,4"+15//-1=18,能被9整除,

故当”=1时，4"+15〃-1能被9整除.

⑵假设当〃=无时,命题成立,即4«+15A-1能被9整除,

则当〃=%+1时，4A+,+15U+1)-1=4(4"+152-1)-9(5左-2)也能被9整除.

综合(1)(2)可得，对任意正整数4"+15〃-1能被9整除.

2.(2021•陕西碑林•西北工业大学附属中学高二月考(理))用数学归纳法证明：42,,+|+3"+2(〃€乂)能被13

整除.

【答案】证明见解析.

【解析】当"=1时，43+33=64+27=91,又13x7=91,二42向+3-2（〃^乂）能被13整除；

假设当”=&时，42川+3m能被13整除，即42*”+3"2=13加（利€乂），

那么当7=4+1时,4"+3+=16x4"”+3x3"i=16x4"”+16x3*+|-13x3t+l

=16x（421+3"）-13X3"M=16xl3m—13x3*M=13（16m—3"T）能被13整除；

综上所述：42n+,+3"+2（〃e乂）能被13整除.

3（2021•河南高二月考（理））用两种方法证明：232—7〃-8（"eN"）能被49整除.

【答案】证明见解析.

【解析】证明：方法一：23,,+3-7n-8=8,,+l-7M-8

=+C；M7"+…+£；；，+《+"+£：：：-7〃一8

2

=+C：,+17"+…+C；；；；7+75+1）+1-7〃-8

=C“7"U+C/"+...+C：：7=（C37”T+CI7-2+…+C：；；）X49

因为C37”T+c>+|7-2+…+c;;-i为整数，

所以23n+3-7”-8能被49整除.

方法二：（1）当〃=1时，23"+3-7〃-8=64-15=49,能被49整除.

（2）假设当n=k（k>Y）,23*+3—7"8能被49整除，

那么，当“=女+1（幺21）,23<*+,）+3-7（*+1）-8=x23-7^-15