高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版单元质检卷六　数列

单元质检卷六数列(时间:100分钟满分:130分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.(2023广东珠海二模)设数列{an}是等差数列,Sn是数列{an}的前n项和,a3+a5=10,S5=15,则S6=()A.18 B.30C.36 D.24答案:D解析:由等差数列的性质得a4=a3+S5=a1+a52·5=5a3=15,则a3=3,所以等差数列{an}的公差d=a首项a1=a3-2d=-1,则S6=6a1+6×(6-1)2·2.(2023广西柳州模拟)已知等比数列{an}的各项均为正数,若log2a3+log2a9=4,则log2a6=()A.±1 B.±2C.2 D.4答案:C解析:由题意得a3>0,a6>0,a9>0,a3a9=a6所以log2a3+log2a9=log2(a3a9)=log2a62=2log2a6=4,则log2a6=3.(2023江西南昌十中高三月考)在数列{an}中,a1=2,an+1=11-an,则a2021A.-2 B.-1C.2 D.1答案:B解析:由a1=2,an+1=11-an知,a2=-1,a3=12,a4=2,a∴{an}是周期为3的周期数列,而2021=3×673+2,∴a2021=a2=-1.4.(2023云南昭通模拟)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,有下列四个命题:甲:a18=0;乙:S35=0;丙:a17-a19=0;丁:S19-S16=0.如果只有一个是假命题,则该命题是()A.甲 B.乙C.丙 D.丁答案:C解析:设等差数列{an}的公差为d,若S35=0,则S35=35(a1+a35)若a17-a19=0,所以-2d=0,即d=0;若S19-S16=a17+a18+a19=0,所以a18=0.又因为只有一个是假命题,所以丙是假命题.5.(2023安徽安庆模拟)设{an}是等比数列,前n项和为Sn,若S2S2+S4A.15 B.14 C.13 答案:B解析:设等比数列{an}的公比为q,由S2S2+S4=15,可得S4=4S2,整理得a3所以(a1+a2)q2=3(a1+a2),解得q2=3,所以a26.(2023河南郑州三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=an+1-3,若Sk≥125,k∈N+,则k的最小值为()A.5 B.6 C.7 D.8答案:B解析:S1=a1=1,Sn=an+1-3=Sn+1-Sn-3,则Sn+1+3=2(Sn+3),S1+3=4,所以{Sn+3}是等比数列,首项为4,公比为2,所以Sn+3=4×2n-1=2n+1,Sn=2n+1-3,由Sk=2k+1-3≥125,得k≥6.所以k的最小值为6.7.定义一种运算“※”,对于任意n∈N+均满足以下运算性质:(1)2※2021=1;(2)(2n+2)※2021=(2n)※2021+3,则2020※2021=()A.3025 B.3028 C.4041 D.1答案:B解析:设an=(2n)※2021,则由运算性质(1)知a1=1,由运算性质(2)知an+1=an+3,即an+1-an=3,所以数列{an}是首项为1,公差为3的等差数列,故2020※2021=(2×1010)※2021=a1010=1+1009×3=3028.8.(2023云南云天化中学高三期末)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2020这2020个数中,能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列的项数为()A.167 B.168 C.169 D.170答案:C解析:由题意得,能被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数,所以an=12n-11,n∈N+,由an≤2020,即12n-11≤2020,所以n≤203112=169+14,又n所以此数列的项数为169.9.(2023云南红河三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=4n2+n.若数列{bn}满足bn=an+34,则1b1b2+A.5052020 C.20192答案:D解析:Sn=4n2+n,当n≥2时,Sn-1=4(n-1)2+n-1=4n2-7n+3,则an=Sn-Sn-1=8n-3(n≥2),当n=1时,a1=S1=5,适合上式,所以an=8n-3,所以bn=an+34=故1bn1b1b2+1b2b3+…+1b2020b2021=10.(2023江西上饶三模)南宋著名数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次提出“杨辉三角”,如图所示,这是数学史上的一个伟大的成就.在“杨辉三角”中,已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列,且数列前n项和为Sn,若bn=2log2(Sn+1)-1,则b2021=()A.4041 B.4043 C.4039 D.4037答案:A解析:因为每一行的数字之和构成的数列为等比数列,且第一行数字和为1,第二行数字和为2,第三行数字和为4,所以该等比数列首项为1,公比q=2,所以Sn=1-2n1-2=2n-1,所以bn=2log2(Sn+1)-1=2log22n所以b2021=2×2021-1=4041.11.有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三十日屠讫,问共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉?”在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为()A.35 B.75C.155 D.315答案:C解析:由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,所以a1=5,q=2,因此前5天所屠肉的总两数为a1(1-q512.(2023浙江绍兴一中高三期末)已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(-3)n+1,bn=2,n为偶数,1,n为奇数,A.a3-a1=8B.a4-a2=18C.{a2n+2-a2n}是等差数列D.{a2n+1-a2n-1}是等比数列答案:D解析:因为数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(-3)n+1,令n=1,得b2a1+b1a2=(-3)1+1=-2,又a1=2,b1=1,b2=2,所以a2=-6,令n=2,得b3a2+b2a3=(-3)2+1=10,又a2=-6,b3=1,b2=2,所以a3=8,所以a3-a1=6,故A错误;令n=3,得b4a3+b3a4=(-3)3+1=-26,又a3=8,b3=1,b4=2,所以a4=-42,所以a4-a2=-42+6=-36,故B错误;由已知得b2n+1a2n+b2na2n+1=(-3)2n+1,b2n=2,b2n+1=1,所以a2n+2a2n+1=32n+1;b2na2n-1+b2n-1a2n=(-3)2n-1+1,b2n-1=1,b2n=2,所以2a2n-1+a2n=-32n-1+1,两式相减得a2n+1-a2n-1=32n+32n-12=6所以{a2n+1-a2n-1}是以6为首项,9为公比的等比数列,故D正确;由a2n+1-a2n-1=6×9n-1得a2n-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+…+(a2n-1-a2n-3)=2+6×(1+9+92+…+9n-2)=2+6×1-9n-1由2a2n-1+a2n=254+34×9n-1+a2n=-32n-1+1,得a2n=-12×9n所以a2n+2-a2n=-12×9n+1-32--12×9n-32=-4×9所以a2n+4-a2n+2-(a2n+2-a2n)=-4×9n+1+4×9n不是常数,所以{a2n+2-a2n}不是等差数列,故C错误.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2023江苏镇江信息考试)各项均为正数的等比数列{an},其公比q≠1,且a3a7=4,请写出一个符合条件的通项公式an=.

答案:2n-4(答案不唯一)解析:因为a3a7=a52=4,an所以a5=2,又q≠1,不妨令q=2,所以an=a1qn-1=a5qn-5=2×2n-5=2n-4.14.(2023广西桂林模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2an=n,则an=.

答案:1-23n解析:当n=1时,a1+2a1=1,则a1=13当n≥2时,Sn+2an=n,Sn-1+2an-1=n-1,两式相减得3an-2an-1=1,即an=23an-1+13,即an-1=23(an-所以数列{an-1}是首项为a1-1=-23,公比为23的等比数列,则an-1=-23n,所以an=1-23n.15.(2023浙江绍兴一模)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢,各穿几何?”大意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍,小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.如果墙足够厚,Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和,则S3=.

答案:35解析:由题意知,大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,2为公比的等比数列,所以大老鼠前n天打洞长度之和为1-2n1-同理小老鼠前n天打洞长度之和为1-(12)所以Sn=2n-1+2-12n-1=2n所以S3=23-123-1+16.(2023四川达州二诊)数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an-3,若该数列中有且仅有三项满足λ≤an,则实数λ的取值范围是.

答案:(1,3]解析:由条件可知an+2-an+1=2(an+1-an)-3,设bn=an+1-an,则bn+1=2bn-3,即bn+1-3=2(bn-3),所以数列{bn-3}是公比为2的等比数列,首项b1-3=a2-a1-3=-1,即bn-3=(-1)×2n-1,得bn=3-2n-1,所以an+1-an=3-2n-1.当n=1时,a2-a1=3-1=2>0,a2>a1,当n=2时,a3-a2=3-2=1>0,a3>a2,当n≥3时,an+1-an<0,即an+1<an,a1=1,a2=3,a3=3a2-2a1-3=4,a4=3a3-2a2-3=3,a5=3a4-2a3-3=-2,…,若该数列中有且仅有三项满足λ≤an,则1<λ≤3.三、解答题:共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)(2023全国乙,理19)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积.已知2Sn+(1)证明:数列{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.(1)证明当n=1时,b1=S1,易得b1=32当n≥2时,bnbn-1=Sn,代入2Sn+1bn=2消去Sn,得2故{bn}是以32为首项,12(2)解易得a1=S1=b1=32由(1)可得bn=n+22,由2Sn+1bn当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n+2n+1−n+1n=-故an=318.(12分)(2023新高考Ⅰ,17)已知数列{an}满足a1=1,an+1=a(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;(2)求{an}的前20项和.解:(1)b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.由bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,得bn+1-bn=a2n+3-a2n=3.所以bn是首项为2,公差为3的等差数列所以bn=2+(n-1)×3=3n-1.(2)由(1)知,数列an的奇数列与偶数列都是以3为公差的等差数列,设数列an的前n项和为S则S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=10+10×92×3+20+10×所以an的前20项和为30019.(12分)(2023河北衡水中学高三调研)在首项为2的数列{an}中,前n项和Sn=tn2+n(t∈R).(1)求实数t的值及数列{an}的通项公式;(2)将①bn=1anan+1,②bn=2an+an,③bn=2an·an注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解:(1)令n=1,得S1=t+1=2,所以t=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,a1=2也适合上式,所以an=2n.(2)若选①,bn=1an所以Tn=141-12+12−13+…+1n−1n若选②,bn=an+2an=2n+4所以Tn=(2+41)+(4+42)+…+(2n+4n)=(2+4+…+2n)+(4+42+…+4n)=n(2+2n)2+4(1-4n)1-若选③,bn=2an·an=2n·4所以Tn=2×41+4×42+6×43+…+2n×4n,则4Tn=2×42+4×43+6×44+…+2n×4n+1,两式相减得-3Tn=2×41+2×42+2×43+…+2×4n-2n×4n+1=8(1-4n)