高中数学-正余弦函数的性质教学设计学情分析教材分析课后反思

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质教学设计

1.教学目标

（1）知识层面：结合正弦曲线、余弦曲线，师生共同探索发现和归纳正余弦函数的性质，

让学生学会正确表述正、余函数的单调性和最值，同时体会数形结合的思想方法。

（2）能力层面：通过在教师引导下探索新知的过程，培养学生观察、分析、归纳的自学能

力，为学生学习的可持续发展打下基础。

（3）情感层面：通过数形结合思想方法的运用，让学生体会（数学）问题从抽象到形象的

转化过程与方法，体会数学之美，激发学生学习数学的信心和兴趣。

2.学情分析

（1）因为高一学生有一定的抽象思维能力，但形象思维占有不可替代的地位，更容易被他

们接受和理解，所以要紧紧抓住数形结合方法进行探索。

（2）因为本班学生普遍知识基础薄弱，对数学科特别是函数内容的学习有畏难情绪，所以

在内容上要降低深难度。

（3）学会方法比获得知识更重要，本节课着眼于新知识的探索过程与法。

3.重点难点

重点：师生共同探索，归纳、总结出正、余函数的性质，在探索过程中体会数形结合思想方

法。

难点：对正（余）弦函数的单调区间和最值的理解和应用

4.教学过程

活动1【导入】环节一

活教师活动学生活动

动

——（提出问题，引导学生观察、思考、归纳、总结，——（带着问题探索新知，思

解答学生疑问）考、答问、笔记、提问）

讲述：同学们在初中以及高一第二章都学过函数知识，

本章继续学习三角函数，到了高三还要进一步研究它。

导

函数是中学数学的重要内容。很多同学都说，函数是

听讲、思考、回忆函数学习的

数学科中最难学的内容，为什么难学呢？主要是因为

入经历，做好本节课学习的准

太抽象。怎样才能使函数内容形象呢？答案是借助图

象，实际上我们对函数的学习一直就没有离开过它的备。

环

图象。这就是我们说的数形结合。这节课我们将用数

形结合的方法研究正弦函数和余弦函数的性质，这将

节

使本节内容的学习变得十分直观形象，轻松有趣，请

跟我来一一

活动2【活动】回顾已学

环(-)正弦函数的图象和性质

节

1.展示正弦函数y=sinx,xeR的图象

2.y=sinx,xCR的性质

回(1)定义域、值域；观察、复习什么是正弦曲线

顾(2)周期性；

回顾提问

已

(3)奇偶性

学

活动3新知探索

环单调性；思考：

研究正弦函数的单调性，也就是要找到正弦函数什么是单调区间？正弦函数

节

的单调区间一一增区间和减区间在R单调吗？

由于尸sin”的周期性，其单调区间也是按照一

定规律重复出现的。正弦函数的单调区间有什么

特点？

先在一个周期(长度为2冗的闭区间1)T兰

_22_观察正弦函数在-二7T，三3乃

_22_

新TTTT

上易知单调增区间为一上,H,根据周期性特点和图

_22_上的部分，说出其单调增区

间。

知形可知，每隔一个周期(2n)增区间重复出现。因此

jrjr

所有增区间表为-f+2k兀,^+2k兀(ZGZ)；它表单调增区间有无数个，这些区

探间有什么共同特点？如何表

示无穷多个区间示这些区间？

说明：

a.每个增区间的长度相等为半个周期；所有减区间如何表示？

b.增区间的右侧紧接着是其减区间，减区间长度

索

也为半个周期，所有减区间表为AWZ的含义与作用是什么？

■Jr37r

-+2k7T,一+2k兀(ZeZ)

.22JV7

c.当然也可以类似增区间的方法得出减区间。

观察正弦曲线，在最靠近原点

(5)最值

的地方找出它的一个最小点。

显然［是它的一个最小值点，而根据周期

思考:其它最小点与这个最小

性知，其它最小点与这个点的横向距离是一个周期,点的横向距离是多少？怎样

因此所有最小点的坐标为(彳+2版■，-GZ)同表示所有这些最小点？

最大值点呢？

理：所有最大点坐标为.f1+2^,lKeZ)

说明

a.最值点就是图象在单调区间上的两个端点，过

每个最值点作y轴的平行线都是对称轴；

b.零点是图象在单调区间的正中间取得的点，每1.根据正弦函数的研究

新

个零点都是对称中心。方法与思路，自主探索

余弦函数的性质；

(二)余弦函数的图象和性质

知展示余弦函数y=cosx,x£R的图象

2.提出疑问

巡回指导、答疑、纠错

做练习题，提出疑问。

探

总结整理本节内容与方法

提示：结合图象，注意"ez不能漏写。

补充配套练习：利用正弦函数和余弦函数的图象，

索求满足下列条件的X的集合：

略

1.根据板书进行小结：

听讲、复习、笔记(记作业与

(1)浏览回顾知识点：

思考题)

(2)本课的方法与思想一一抓住周期性特

点，充分利用数形结合来研究问题，

使抽象问题形象化；

2.布置课外作业：P631、2、选作6、7

3.思考题：正弦函数与余弦函数的性质有何异同？

活动彳【活动】板书设计

函数y=sinx,x£Ry=cosx,x《R

性质

单调性增区间-工+2%%，工+2%乃(丘Z)

22_

增区间［-万+2%%,24万］(%eZ)

71八,3万-,

减区间一+2%乃,——+2&4(JteZ)

［22_减区间［2k兀,4+22句(Z£Z)

■^+2攵万』)(女GZ)

最值最大点

最大点(2brJ(l£Z)

最小点

'-1+2)br,—l}z£Z)

最小点

(-7T+2Z4,一1)(女£Z)

四、练习:

五、总结

学情分析

本节课之前，学生已经学习了《必修一》，学习了函数的性质和研究函数的一般方法，

学习了正弦函数、余弦函数的概念、图象以及诱导公式，这些都为本节课的学习打好了基础。

但由于我校学生生源比较差，基础薄弱，学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性,

并且学习的信心不够，画图读图能力也不足，在讲解时要精分细讲，从函数的定义域、值域、

周期性、奇偶性、单调性层层递进，引导学生从图象中得出结论，根据学生对新知识的认知

规律，从简到难，数形结合，对性质的讲解要面面俱到。

正余弦函数的性质

一学生当堂学习效果评测结果及分析

1.知识的掌握。

有52%的学生能够达到A,35%的学生能够达到B,13%的学生属于C。前两种学生平时的

学习习惯较好，方法科学，第三种学生基础较差，学习习惯和方法均存在问题。教师在分层

施教基础上，适当采取一些方法让学习好的学生加加餐，让较差的学生能够跳一跳，摘到心

仪的果子。

2.思维能力的发展。

1现的学生能够达到A,74%的学生能够达到B,15%的学生属于C。第一种是平时表现特

别积极、敢于展现、大胆发言的学生。第二种是平时表现比较积极，在课堂活动中能够积极

参与的学生。第三种平时默默无闻，不敢发言和表现。在激励第一种学生的同时，平时教师

应多给与第二和第三种学生发言和表现的机会，以此实现学生的全面发展。

3.解决问题能力。

15%的学生能够达到A,76%的学生能够达到B,9%的学生属于C。第一种学生在组内一般是组

长，发挥着带头作用，第二种学生处于组内第二、三位次，第三种学生一般学习基础较差。

平时的小组讨论和活动中，鼓励组长先让基础差的同学发言，其他同学补充，这样可以调动

这部分学生的积极性，同时也有利于提高他们的知识水平和能力。在展示时，鼓励第二、三

种学生上台，第一种学生进行点评。

4.合作交流。

66%的学生能够达到A,26%的学生能够达到B,8%的学生属于C,

第一种学生占多数，他们带动起了全班的合作学习的氛围，应继续激励他们。第二种略

高于第三种，对于这两种学生要进一步激发他们的学习积极性，在小组合作交流中，多给这

些学生一些机会，也可以考虑让他们上台作为小组代表展示。

5.认真程度。

81%的学生能够达到A,13%的学生能够达到B,6%的学生属于C«

第一种学生在班里占了绝大多数,在小组合作中，让这部分带动第二和第三种学生发言，

同时在平时的学习中可以让他们结成帮扶对子，以使后面的学生尽快跟上。

总体来说，在班里积极学习、主动参与讨论、交流和展示的学生居多，占到80%以上。

整个课堂气氛较为活跃，课堂检测效果较好，基础知识巩固、落实效果好。学生通过导学案

和课堂探究问题，能够进行全方位训练和提升。“五环节教学”的课堂教学模式发挥了其效

用和魅力。

教材分析

本节课是《必修4》第一章三角函数的内容，在苏教版中是必修4第八章《三角函数》

的第三小节，是学习了正余弦函数的图象以及周期性、奇偶性后，进一步学习正、余弦函数

的性质。该内容共分两课时，这里讲的是第二课时。正、余弦函数的图象与性质是三角函数

里的重点内容，也是高考热点考察的内容之一。

通过本节课的学习，不仅可以培养学生的观察能力，分析问题、解决问题的能力，而且

渗透了数形结合、类比、整体代换等重要的思想方法，为以后、为高考的学习打下了坚实的

基础。

教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性、最值

教学难点：对正余弦函数单调性的理解与应用

《正余弦函数的性质》的评课稿

本周星期四第二节课，听了李洪亮老师的一节《正余弦函数的性质》录象课的教学，本

节课中，李洪亮老师通过精心准备，创设了丰富、生动的教学情境，设计了新颖、有效的数

学问题，成功地激发了学生的学习兴趣.老师的课堂教学风格和教育教学设计理念，都有自

己独到认识和做法.下面我就从“导”和“学”的两个方面，谈谈我对本节课的看法：

一.“导”的角度：

1、教学目标的确定

教学目标具有科学性、全面性、层次性，教学目标的制定符合课标及教材要求，切合学

生实际，符合学生认识规律，符合知识的产生、形成、发展规律。引导学生参与知识的发生

发展过程，体现情感态度价值观，既要有知识传授、能力的培养，又要有思想品质的教育及

美学教育。反映在了解、理解、掌握、灵活应用四个层次上。

2.对教材的处理

(1)新课的引入从实际问题出发，从学生现实生活中、身边熟知的事物中提出问题，创

设情境，激发学生求知欲望

(2)引导学生通过观察、类比、分析得出结论和方法

(3)应用这些结论和方法解决一些简单的数学问题

(4)有变式训练、拓展提高的综合训练，使学生的知识得以强化，能力得以提升；

(5)突出重点、突破难点、抓住关键内容得到落实

(6)内容安排符合学生认知结构，体现了由易到难、由浅入深的原则

(7)对例题、习题的选配有针对性和阶梯性，使不同的学生得到不同的发展

3、教学结构的设计

教学层次的安排合理，各教学环节的衔接紧密；整个教学设计从特殊到一般，从具体到

抽象，从简单到复杂；层层深入环环相扣

二.“学”的角度：探究有效的教学过程，挖掘学生的学习潜能.

《课标》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索

与合作交流是学生学习数学的重要方式.”这节课也体现了这一特点.

这节课中，教师设计了有效的数学问题，引导学生从正余弦曲线观察函数的单调性与

最值.整堂课，学生情绪高昂，课堂气氛热烈、融洽.

总之，在这节课中，教师能创设有效的教学情境，引导学生多角度思考问题，解决问题.让

学生真正成为学习的主人，教师真正成为组织者、引导者和参与者.让整个课堂焕发出生命

活力！

正余弦函数的性质评测练习

1.函数〃x)=sin(x+£|的一个递减区间是()

「31JI-1

A.--p5B.［―7T,0］

'221「口2"

C.一鼻"，鼻nD.丁，可贝

2.若/(x)=cosx在［—b,—a］上是增函数，则f(x)在［a,b］上是()

A.奇函数B.偶函数

C.减函数D.增函数

JI-

3.函数/(x)=cos(x+2)，xe0.y的值域是(

A.M.lB.1_L,苴

2222

D.%

JC—,1

22

4>sin(一--.

5、函数y=-xcosx的部分图像是()

6、函数y=§111万％・以尤乃人的奇偶性是，周期是.

TF7T

7、函数y=cos(xd——)XG0,—的值域是.

62

.o.74

8、函数y=3sinx-4sinx+l,%£—,7t的值域是.

9、函数y=|sinx|的增区间是.

10、若/(%)=sin(2%+°)是偶函数,求心

11.求函数y=3-2singx的最值及取到最值时的自变量x的集合.

12^已知函数f{x)=sinx—1.

(1)写出Ax)的单调区间；

(2)求f(x)的最大值和最小值及取得最值时x的集合;

⑶比较『（一左）与A—77）的大小.

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课后自我反思

本节课是通过