人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册综合检测（解析版）

高中数学选择性必修第一册综合检测

(时间：120分钟满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的)

1.若直线/：x-2y+«=0(AGR)过点(0,2),则A的值为(B)

A.-4B.4C.2D.-2解析：由题意可得，0—4+/=0,解得A=4.

2.已知空间向量a=(i+l,L2),b=(6,1,4),若a〃b,贝!U+"=()

A.3B.—3

C.5D.-5

解析：选C因为a〃b,所以-Z—=-7=~i»所以42+4=67,解得2=2,所以一二7=3，解得〃=3,

所以；i+/,=5.故选C.

3.如图，空间四边形O48C中，~OA=a,~OB=b,~OC=c,点M为入04的中点，点

N在线段5c上，且CN=2NB,则诉=()%\

B._乎+葩+3c

1,2,,1

D.一即+非+3c

解析：选D^N=~ON~'OM=~dc+~CN04=7)C+^CB-\OA=~OC+^(OB-7)C)-^OA=

乙3乙J乙

4.中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国

陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠

释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为()

A.8小

C.4^3

解析：选C因为椭圆的2a=8,23=4,所以a=4,b=2,因为层="+,2,所以c2=12=＞。=2审，则

2c=4巾.故选C.

5.已知圆工2+炉+2工一27+〃=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数。的值是()

A.-2B.-4

C.-6D.—8

解析：选B圆的标准方程为(x+l)2+(y-l)2=2—%/=2—％则圆心(-1,1)到直线x+y+2=0的距

离为^―节产W=&,由22+(也)2=2—〃，得Q=­4.

6.已知在一个二面角的棱上有两个点A,B,线段AC,50分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直

于棱AB,AB=5,AC=3,BD=4,CD=5yfl9则这个二面角的度数为()

A.30°B.45°

C.90°D.150°

解析：选C设这个二面角的度数为a,由题意得而=/+3+说，-----、

：JCD2=^CA2+AB2+~BD2-\-2\CA\-\BD\cos(n-a),二(5啦了=9+25+?/16-

2X3X4Xcosa,解得cosa=0,/.a=90°,即这个二面角的度数为90。，故选C.

2

7.直线/与抛物线C：V=2x交于A,5两点，O为坐标原点，若直线OA,。〃的斜率队，后满足心左2=§,

则直线/过定点()

A.(-3,0)B.(0,-3)

C.(3,0)D.(0,3)

解析：选A设直线/的方程为力，A(xi,ji),B(X29J2),

因为幺eg,所以

又%=2xi,於=2x2,所以了,2=6.将直线］:代入抛物线C:产=2^•得产―2小)一26=0,

所以yi)2=—2万=6,所以力=—3,即直线/:x=my—39所以直线/过定点(一3,0).

8.设椭圆9+£=1和双曲线与一尸1的公共焦点为尸1，F2,尸是两曲线的一个公共点，则cosN尸依2

的值等于()

A-3B4

”展

v-95

解析：选A由题意知，尸1(一2,0),尸2(2,0),

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9.下列各组向量中，是平行向量的是()

A.a=(l,2,-2),b=(-2,-4,4)

B.c=(l,0,0),d=(-3,0,0)

C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)

D.g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)

解析：选ABC对于A,有b=-2a,所以a与b是平行向量；

对于B,有d=-3c,所以c与d是平行向量；

对于C,f是零向量，与e是平行向量；

对于D,不满足g=2h,所以g与h不是平行向量.

10.已知点4(一1,1),以3,1),直线/过点C(1⑶且与线段A8相交，则直线/与圆(x-6)2+y2=2的位置

关系是()

A.相交B.相离

C.相切D.不好确定

解析：选BC因为Mc=l,kBc=-l,直线/的斜率的范围是(一8,-1]U[1,+«>),直线5c方程

为x+y-4=0,圆(*-6)2+产=2的圆心(6,0)到直线8c的距离为也，因此圆(工-6)2+产=2与直线8c相切，

结合图象可知，直线/与圆(*一6)2+y=2的位置关系是相切或相离.

11.已知双曲线C过点(3,啦)且渐近线为7=号，则下列结论正确的是()

A.C的方程为子一步=1

B.C的离心率为由

C.曲线y=eL2—1经过C的一个焦点

D.直线x—6-1=0与C有两个公共点

解析：选AC\•双曲线的渐近线为y=±乎x,.•.设双曲线C的方程为^-y2=：.qwo),又过点(3,也)

得2=1.故选项A正确；此时C的离心率6为¥，故B选项错误；y=e*-2-i经过C的焦点(2,0),故选项

C正确；联立直线和双曲线C的方程，得/=0,故有一个公共点，所以D选项错误.

12.已知过抛物线C：V=8x的焦点尸的直线/交抛物线于P,。两点，若R为线段尸。的中点，连接

OR并延长交抛物线C于点S,则陶的可能取值是()

A.1B.2

C.3D.4

解析：选CD由题意知，V=8x的焦点F的坐标为(2,0).直线/的斜率存在且不为0,设直线/方程为^=

fy=k(x—2),

k(x—2).由彳消去y整理得RR—4优2+2)工+4d=0,设尸(x】，ji),Q(x2,yi)9K(xo,Jo),

iy=8x,

J3),则*1+*2=4("，2),故Xo=%'=青/，y0=k(x0—2)=jc，所以4<„=券=母5,直线OS的方程为

尸母¥，代入抛物线方程，解得代=氢与津，由条件知A2>0.所以髓=藁=炉+2>2.故选c、D.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)

13.已知圆C：(万-2)2+。-1)2=10与直线/：2x+y=0,则圆C与直线/的位置关系是

|2X2+1|__5_

解析：由题意有圆心C(2,l),半径厂=师，则圆心到直线/:2x+y=0的距离d==乖<「

较+1―市

=Vio,故直线与圆C相交.

答案：相交

14.已知平行六面体ABCD-AiBiCiDi,AB=AD=AAi=l,NBAD=N

=/。44尸60。，则AG=.

解析：'：AB=AD=AAt=l,ZBAD=ZBAAi=ZDAAt=60°,

：.~ABAD=ADAZ=ABAAJ=1,'：ACi=~AB+'AD+AAi,

2222：：：

：.ACi='AB+^D+AA^+2ABAD+2ADAZ+2ABAAi=6,/.|AG1=^6.

答案：木

15.已知4(2,也)是椭圆方+£=1上一点，尸是椭圆的右焦点，设点尸到直线x=4的距离为d,则,”

_\AF\_

―------，d---------•

解析：4(2,也)是椭圆，+==1上一点，代入可得'+1=1,解得机=8,：.c=y]a2—b2=2,F(2,0).

|AF|=A/(2-2)2+(V2-0)2=V2,点F到直线x=4的距离为d=2,•,•午

答案：8申

16.已知尸为双曲线E：1一£=l(a>0,/»0)的右焦点，过点/向双曲线E的一条渐近线引垂线，垂

足为A,且交另一条渐近线于点B,若|。尸|=|尸为，则双曲线E的离心率是

解析：双曲线E:$一方=1的渐近线方程为产备，若[0尸|=|尸阴，

角形OA8中，由ZAOF=NBOF=ZABO=30°,可得;=tan30。=拳，

答案：毕

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知直线/的方程为3x+4y—12=0,分别求下列直线，'的方程，/‘满足：

(1)过点(-1,3),且与/平行.

(2)与直线/关于y轴对称.

33

解：⑴因为/〃,所以/'的斜率为一,所以直线/'的方程为y—3=—示*+1),即3x+4y-9=0.

(2)/与y轴交于点(0,3),该点也在直线V上，在直线I上取一点A(4,0),则点A关于y轴的对称点A'(一

4,0)在直线/'上，所以直线/'经过(0,3)和(一4,0)两点，故直线/'的方程为3x-4y+12=0.

18.(12分)直线/经过两点(2,1),(6,3).

(1)求直线/的方程；

(2)圆C的圆心在直线/上，并且与x轴相切于(2,0)点，求圆C的方程.

解：⑴由已知可得，直线/的斜率A=W=；，

所以直线/的方程为x-2j=0.

(2)因为圆C的圆心在直线/上，

所以可设圆心坐标为(2a,a),

因为圆C与x轴相切于(2,0)点，

所以圆心在直线x=2上，所以a=l,

所以圆心坐标为(2,1),半径为1,

所以圆C的方程为(*-2)2+6-1)2=1.

19.（12分）在长方体45CD-A131GO1中，AB=BC=1,AAt=2,E为85中点.

⑴证明：AC.LD1E；

⑵求DE与平面ADiE所成角的正弦值.

解：(1)证明：连接

ABCD,ACCYWABCD,

：.DiDA.AC.

在长方形ABC。中，AB=BC,：.BD±AC.

又80noi0=0,.•.AC_L平面88山1£),

；Z>iEU平面BBiDiD,：.AC±DtE.

(2)以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

则4(1,0,0),01(0,0,2),E(l,l,l),AE=(0,1,1),同=(-1,0,2),DE=(1,1,1).

设平面AOiE的法向量为n=(x,y,z),

\n-AD\=09—x+2z=0,

则1:即

y+z=O,

[n-AE=0>

令z=L得n=(2,—1,1).

,―>、2-1+1啦

..cos〈n,DE)=而1=3'

DE与平面ADtE所成角的正弦值为坐.

20.(12分)已知抛物线C：x2=4y的焦点为凡直线y=fcr+,”W>0)与抛物线C交于不同的两点M,N.

⑴若抛物线C在点M和N处的切线互相垂直，求机的值；

(2)若m=2,求IMFHNFI的最小值.

解：(1)设M(xi,ji),N(X2,J2),对？=，求导得：

故抛物线C在点M和N处切线的斜率分别为冷和经，

又切线互相垂直，

•*.yy=­1,即x「x2=14,

把y=kx-\-m代入C的方程得x2—4kx—4m=0.

.".xiX2=~4m.

故m=l.

(2)设M(xi,yi),N(X2,J2),由抛物线定义可知

|A/F|=ji+1,闪川=及+1,

由(1)和，〃=2,知xiX2=-8,XI+X2=4A,

所以|AfFHNF|=(yi+l)(j2+l)=(hi+3)・(Ax2+3)=A2xiX2+3A(xi+x2)+9=4&2+9,

所以当A=0时，IMFHNFI取得最小值，且最小值为9.

21.(12分汝口图，在四棱锥P-A8C。中，平面ABC。，CD1.PD,AD//BC,AD=CD=1,8c=2,

二面角尸-CQ-A为45。，E为。。的中点，点尸在PC上，且不？=3”.

(1)求证：四边形48。为直角梯形;

⑵求二面角F-AE-D的余弦值.

解：(1)证明：因为R1JL平面A5C。，所以

又因为「。J_CD,PACiPD=P,

所以CDJ_平面RW,所以CDLW.

因为AO〃3C,且AOW3C,

所以四边形ABCD为直角梯形.

⑵过点4作A。的垂线交8c于点M,则PAA.AD,以A为坐标原点，分别以AM,AD,AP

为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Ax”,则40,0,0),5(1,-1,0),C(l,l,0),0(0,1,0),

由(1)知CO_LAZ),XCD±PD,

则NPZM为二面角P-CD-4的平面角，

所以NPZM=45。，PA=1,

所以尸(0,0,1),£(0,1,

所以1^=(0,号，Tc=(1,1,—1),^AP=

(0,0,1).

所以弁=”=&4)＞看=*+"=&今|

设平面AE尸的一个法向量为ni=(x,y,Z),

nrAE=0,j+z=0,

则1一即・

|.ni-AF=0,.x+y+2z=0.

令2=1,则y=—1,x=-1,所以ru=(—1,—1,1),

又平面PAD的一个法向量为n2=(l,0,0),

npn2-1

所以COS〈ni，112〉

一|小卜|闻一6一3

由图知二面角F-AE-D为钝角，

所以二面角F・AE-D的余弦值为一竽

22.(12分)已知椭圆C：£+£=13乂＞0)的上、下两个焦点分别为凡，Fi,过点尸1与y轴垂直的直线

交椭圆C于M