等差数列课时优化训练 高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2等差数列一、单选题1．已知等差数列的前项和为，若，则等于A．18 B．36 C．45 D．722．已知数列是等差数列，且，则（

）A． B． C． D．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（1匹尺，一丈尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹一丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（

）A．15 B． C． D．4．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬霜雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧.“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中有一个问题：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸）则下列说法不正确的为（

）A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B．立春和立秋两个节气的晷长相同C．春分的晷长为七尺五寸 D．立春的晷长比秋分的晷长长5．已知数列{an}是等差数列，若，且它的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的n的最大值为A．11 B．12 C．21 D．226．为等差数列的前项和，满足，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．47．若等差数列的公差，前n项和为，若，都有，则（

）A． B． C． D．8．已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前100项和等于（

）A． B． C． D．1二、多选题9．记为等差数列的前项和，则（

）A． B．C．，，成等差数列 D．，，成等差数列10．数列的前项和为，已知，则（

）A．是递增数列 B．是等差数列C．当时， D．当或4时，取得最大值11．已知等差数列的前n项和为，若，，则（

）．A． B．C．，使得 D．是公差为的等差数列三、填空题12．等差数列共项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，则.13．已知等差数列的通项公式，记其前n项和为，那么当时，取得最小值．14．已知数列是等差数列，是其前n项和．若，则．15．已知数列是等差数列，，则使的最大整数n的值为.四、解答题16．等差数列的公差为，数列的前项和为．(1)已知，，，求及；(2)已知，，，求；(3)已知，求.17．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.18．已知数列满足，.(1)求的通项公式；(2)若，记数列的前99项和为，求.参考答案：1．C【解析】，选C2．B【解析】由等差数列的性质可直接求解.【解析】是等差数列，，则.故选：B.【小结点评】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.3．D【分析】根据给定的信息可得数列为等差数列，再利用等差数列前n项和公式及通项的性质求解作答.【解析】依题意，数列为递增等差数列，且，所以.故选：D4．B【分析】设上半年的晷影长为等差数列,公差为d1,设下半年的晷影长为等差数列,公差为d2,求出通项公式，利用等差数列的知识即可求解.【解析】先取上半年进行研究,设晷影长为等差数列,公差为d1,则a1=135,a13=15,∴，∴.再取下半年进行研究,设晷影长为等差数列,公差为d2,则b1=15,,∴.对于A：由上面可知，，，所以相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺，故A正确；对于B、D：立春对应的是中的，所以，立秋对应的是中的，所以.故B错误，D正确；对于C：春分对应的是中的，所以.故C正确.故选：B5．C【解析】由题意得，由前n项和Sn有最大值可知等差数列{an}为递减，d<0.所以，所以，所以n=21,选C.6．A【分析】设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式及前n项和公式列方程即可得解.【解析】设等差数列的公差为d，因为，，所以，解得.故选：A.【小结点评】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7．D【分析】由，都有，可得，再根据等差数列的性质即可判断.【解析】等差数列的公差，，都有，，.故选：.【小结点评】本题考查等差数列的性质，属于基础题.8．A【分析】由题意可知，直线与直线垂直，且直线过圆心，可求得和的值，然后利用等差数列的求和公式求得，利用裂项相消法可求得数列的前项和.【解析】因为直线与圆的两个交点关于直线对称，所以直线经过圆心，且直线与直线垂直，所以，，解得，，则，，以数列的前100项和为．故选：A.9．BCD【分析】利用等差数列求和公式分别判断.【解析】由已知得，A选项，，，，所以，A选项错误；B选项，，B选项正确；C选项，，，，，，则，C选项正确；D选项，，，，则，D选项正确；故选：BCD.10．CD【分析】利用求出可判断ABC，对配方后，利用二次函数的性质可判断D.【解析】当时，，当时，，不满足上式，所以，对于A，由于，，所以不是递增数列，所以A错误，对于B，由于，，，所以，所以不是等差数列，所以B错误，对于C，由，得，所以当时，，所以C正确，对于D，，因为，所以当或4时，取得最大值，所以D正确，故选：CD.11．ACD【分析】根据条件求出等差数列的公差、首项、前项和，再能过计算判断各个选项的正误.【解析】对于A，记数列的公差为d，，故，则，故，故A正确；对于B，，，故，故B错误；对于C，若成立，则，即，解得或（舍），故当，成立，故C正确；对于D，，，故是首项为1，公差为的等差数列，故D正确．故选：ACD12．29【分析】根据等差数列的前项和性质，直接计算，即可得出结果.【解析】因为等差数列共项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，记奇数项之和为，偶数项之和为，则.故答案为：.【小结点评】本题主要考查等差数列前项和性质的应用，属于基础题型.13．3【分析】由为递增数列，，，可得结论.【解析】等差数列的通项公式，则为递增数列，当时，；当时，，所以时，取得最小值．故答案为：314．16【分析】由等差数列前n项和公式及下标和定理得，结合求出，再由计算即可．【解析】设等差数列的公差为，由，得，所以，即，解得，所以，故答案为：16．15．10【分析】由题可得，再结合条件及等差数列前n项和公式即得.【解析】，又∴，数列公差小于零，数列为递减数列，∴，∴当时，，当时，.故答案为：10.16．(1)(2)(3)【分析】（1）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算；（2）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算；（3）方法一：根据题意得到，结合等差数列通项公式进行计算；方法二：结合题意得到，利用等差数列的性质直接求解即可.【解析】（1）因为，所以整理得，解得或（负值舍去），所以（2）因为，所以，又因为，所以（3）方法一：由，即，所以方法二：由，得，所以17．4，3，2【分析】设这三个数依次为，根据题意列式求解即可.【解析】设