高中数学2轮14 作业18

专题训练•作业（十八）

一、单项选择题

1.（2021•济南市高三模拟）环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全

部街道采取洒水降尘作业.该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选

择A,B,C,D,E,尸中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走

遍全部街道的概率为（）

FED

ABC

11

A6B3

D.g

答案B

解析由题图知，要使洒水车能够不重复地走遍全部街道，则要选择从点B或点E驶入，

若选择点B或点£外的点驶入，则都会重复，所以选择的驶入点使洒水车能够不重复地走

21

遍全部街道的概率.故选B.

o5

2.（2021•重庆一中月考）甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A,B,C三家医院接种新冠疫

苗，每家医院恰有1人预约.已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，B

医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，C医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫

苗，问：甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫

苗的概率等于（）

12

A.QB3

11

C，2D.§

答案C

解析甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A,B,C三家医院接种新冠疫苗的情况有A3?

=6种，符合题意的情况有3种，故所求概率为P=13=；1.故选C.

3.（2021.湖北新高考适应性测试）如果3个正整数按照一定顺序可以组成一个等比数列，则

称这3个数为一组“等比数”（如1,2,4为一组“等比数”）.从1,2,3,4,5,6,7,8,

9中任取3个不同的数，则这3个数构成一组“等比数”的概率为（）

答案c

解析从9个数中任取3个不同的数，有Cg3=84种情况，其中，构成一组“等比数”的情

况有{1,2,4},{1,3,9},{2,4,8},{4,6,9},共4种，故任取3个不同的数构成一

41

组“等比数”的概率P=含=(.故选C.

OH-Z1

4.(2021•吕梁第三次模拟)北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组

网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星

分别为天枢、天璇、天矶、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗，一名天文

爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为()

权

开而A

c—

。42

答案B

解析从七颗星中随机选两颗，共有C72=21种可能的结果，玉衡和天权至少一颗被选中共

有C21c5l+C22=ll种可能的结果，所以所求概率尸=".故选B.

5.(2021•开封市一模)某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明

的概率都是0.8,那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有2个能正常照明的概率是()

A.0.8192B.0.9728

C.0.9744D.0.9984

答案B

解析设吊灯上正常照明的灯泡数量为X,则随机变量X服从二项分布，即X〜B(4,0.8),

记吊灯上灯泡至少有2个能正常照明为事件A,

方法一：P(A)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=C42X0.82XON+C43X08X0.2+C44X0.84=

0.9728.故选B.

方法二：P(A)=l—P(X=0)-P(X=l)=l-C4°X0.24—C/X0.8X0.23=0.9728.故选B.

6.已知某高级中学高三学生有2000名，在第一次模拟考试中数学成绩服从正态分布

Ml20,小)，已知Ri00<f<120)=0.45,若学校教研室欲按分层抽样的方式从中抽出100

份试卷进行分析研究，则应从140分以上的试卷中抽()

A.4份B.5份

C.8份D.10份

答案B

解析因为P0140）」=2P（1臀＜120）=005,所以从14（）分以上的试卷中抽

0.05X2000

X100=5（份）.

2000

7.（2021・山西适应性调研考试）某班会上，班主任拟安排甲、乙、丙、丁、戊五名同学以新

冠肺炎疫情为主题分享体会，要求甲不能排前三位，且乙必须排在丙、丁的前面，则不同的

安排方法的种数为（）

A.8B.12

C.16D.24

答案C

解析本题考查排列组合的应用.根据题意，分3步进行：第一步，甲不能排前三位，则甲

有2种安排方法；第二步，乙必须排在丙、丁的前面，则这三人有C43X2=8种安排方法；

第三步，将戊安排在最后剩下的一个位置上，则共有2X8=16种不同的安排方法.故选C.

8.（2021•云南高中毕业检测）甲、乙、丙三名志愿者到某医院参加抗击新冠肺炎疫情活动，

该医院有48两种类型的机器各一台，其中甲只会操作4种类型的机器，乙、丙两名志愿

者两种类型的机器都会操作.现从甲、乙、丙三名志愿者中选派2人去操作该医院A,B两

种类型的机器（每人操作一台机器），则不同的选派方法一共有（）

A.2种B.4种

C.6种D.8种

答案B

解析本题考查分类加法计数原理及排列的应用.由题知，当选择甲、乙时，有1种选派方

法；当选择甲、丙时，有1种选派方法；当选择乙、丙时，有A?2=2种选派方法.综上，

不同的选派方法共有1+1+2=4（种）.故选B.

9.（2021•山东中学大联考）“总把新桃换旧符”（王安石），“灯前小草写桃符”（陆游），春节

是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴

“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.某商家在春节前开展商品促销

活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领

取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率

是（）

A?

答案B

解析4名顾客每人任意领取一件礼品，基本事件总数为34=81,他们中有且仅有2人领取

的礼品种类相同包含的基本事件个数为C42A33=36,所以有且仅有2人领取的礼品种类相同

364

的概率尸=所=§.故选B.

10.（2021・重庆巴蜀中学适应性测试）小明在做一个与扔质地均匀的正六面体骰子有关的游

戏，规定：若骰子1点或2点向上，则小明前进1步，若骰子3点或4点向上，则小明前进

2步，若骰子5点或6点向上，则小明前进3步.小明连续扔了三次骰子，则他一共前进了

8步的概率是（）

A万B27

9

答案c

解析易知小明三次共前进了8步时，只能是2次前进3步，1次前进2步的情况.根据题

意得，前进1步、前进2步、前进3步的概率相同，均为点故所求概率P=C32X《）2X《＞

=•.故选C.

11.（2021•厦门市高中毕业班质检）如图，已知电路中3个开关闭合的概

（―——

率都是1看且是相互独立的，则灯亮的概率为（）I—|甲7

31

A-8B21|F0—

=屋8u屋-8

答案C

解析由题意，灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，下

边闭合上边闭合一个，

这四种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，

所以灯泡亮的概率为:*枭昇袅［义1+9；乂；+2乂袅］义；=1.故选C.

12.概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、

乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金48枚金币，

先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这

96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合

理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（）

A.甲48枚，乙48枚B.甲64枚，乙32枚

C.甲72枚，乙24枚D.甲80枚，乙16枚

答案c

解析根据题意，前三局比赛中，博弈水平相当的甲、乙，即两人获胜的概率均为去假设

两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率P=微1+15*153=*乙获取96枚金币的概率P2

-2X2=4,则甲应该获得96义(=72枚金币；乙应该获得96X(=24枚金币.故选C.

二、多项选择题

13.某市有A,B,C,。四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A景点的概率

21

为东游览B,C和。景点的概率都是:，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变

量X表示该游客游览的景点个数，下列说法正确的是()

A.该游客至多游览一个景点的概率,

B.P(X=2)=|

C.P(X=4)=击

13

D.£(X)=y

答案ABD

解析随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,

则P(x=o)=(i-f)x(i-gx

p(x=D=|x(i-1)+(i-|)xc3'x|x(i-1)=^

所以该游客至多游览一个景点的概率为P(X=0)+P(X=l)=*+5=:，故A正确；

2

P(X=2)=|XC3'X|X(1-£)+(1-|)XC3X(J)义(1一£)=*故B正确；

2

P(X=3)=|XC3X(J^X(l-£)+(l-1)XC33X(g=女,

P(X=4)=|x⑤故C错误；

1597213

数学期望为E(X)=0X%+1X亢+2X五+3*五+4、五=束，故D正确.故选ABD.

14.(2021•唐山市三模)下列说法正确的是()

A.某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，

并停止投掷，已知每次投中的概率为1多则游戏者闯关成功的概率为喘31

B.从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为啜£

C.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=j(*],2,3),则P(X=2)=,

D.若随机变量〃~N(2,吟,且(5=3〃+1,则P(〃<2)=0.5,E(3)=6

答案AC

解析5次都没投中的概率为

所以游戏者闯关成功的概率为1一言=翁，A正确；从10名男生、5名女生中选取4人，则

其中至少有一名女生分为：1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4

名都是女生四种情况.共有C5©o3+C52cl(>2+C53cd+Cs4=l155种情况.而CsS=l

820,所以其中至少有一名女生的概率为C5'C"+C52?)2^C53cH+Cs4)笔孚.B不正确；

。5C15

由P(X=i)=j(£)(i=l,2,3),则解得"=,,

417

所以尸(X=2)=WXK=G，正确；随机变量〃〜小)，则尸(〃<〃

DZAJvCM2,2)=0.5,E()=2,

所以E(<5)=E(3〃+1)=3E(〃)+1=7,D不正确.故选AC.

三、填空题

15.(2021•沧州联考)已知随机变量X〜N(150.42),若P(XW1.75)=06则P(L25WXWL75)

答案0.2

16.一个盒子中装有3个红球和2个蓝球(小球除颜色外其他均相同)，从盒子中一次性随机

取出3个小球后，再将小球放回，重复50次这样的试验，记取出的3个小球中有2个红球,

1个蓝球的次数为则。的方差是.

答案12

解析由题意，知一次试验中取出2个红球，1个蓝球的概率穿〜8(50,

32

二J的方差。©=50X5X5=12.

17.(2021.鸿浩超级联考)光明中学为做到学校疫情防控常态化，切实保障学生的身体健康，

组织1000名学生进行了一次“防疫知识测试”(满分100分).测试后，对学生的成绩进行

统计和分析，结果如下：学生的平均成绩为》=80,方差为$2=4.82.学校要对成绩不低于

90分的学生进行表彰.假设学生的测试成绩X近似服从正态分布N3,“2)(其中〃近似为

样本平均数三，小近似为样本方差$2),则估计获表彰的学生人数为.(四舍五入,

保留整数)

参考数据：若随机变量Z服从正态分布N@,。2),则有Pa—rzw〃+(7)=0.6826,P3

一2c<ZW"+2cr)=0.9544,P(/L3<7<ZW〃+3O)=0.9974.

答案23

解析因为学生的测试成绩X〜N(80,4.82),且〃+2。=三+26=80+2X4.8=89.6,所以

P(XN90)=P(X>〃+2c)=；(1-0.9544)=0.0228,估计获表彰的学生人数为1000X0.022

8弋23.

18.(2021•湖北省武汉市调研)甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制(当一队赢得三场

胜利时，该队获胜，比赛结束).根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率

为|,乙队获胜的概率为今若前两局中乙队以2：0领先，则下列说法中正确的有(填

序号).

O

①甲队获胜的概率为自；

②乙队以3：0获胜的概率为:：

2

③乙队以3：1获胜的概率通；

4

④乙队以3：2获胜的概率为去

答案①②③

解析对于①，在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜，则第三、四、五局均为甲队取

胜，所以甲队获胜的概率为修=(|)=捺，故①正确；对于②，乙队以3：0获胜，即第三

局乙队获胜，概率为:，故②正确；对于③，乙队以3：1获胜，即第三局甲队获胜，第四局

212

乙队获胜，概率为］故③正确；对于④，若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队取胜,

2214

第三、四局乙队输，所以乙队以3：2获胜的概率为万，故④错误.

培优练：重点班选做

19.(2021•湖南湘潭一模)德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且

遗忘的进程并不是均匀的.最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢.他认为“保持和遗忘是时间

的函数”，他用无实际意义音节(由若干音节字母组成，能够读出，但无实际意义，即不是

词的音节)作为记忆材料，用节省法计算保持和遗忘的数量，并根据他的实验结果绘成描述

遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯遗忘曲线(如图所示).若一名学生背了100个英语单词，

一天后，该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词，不考虑其他因素，则该学生

恰有1个单词不会的概率大约为()

记忆的数量

100%

44%小时后忘记56%

34%一…让忘记66%

21%…T...--------------

A：：口个月后忘记79%

°I小时1天I个月学习后经过的时间

A.0.43B.0.45

C.0.26D.0.15

答案B

解析设事件M为“该学生恰有1个单词不会”，根据艾宾浩斯遗忘曲线得，一天后，100

个英语单词忘记了66个，还记得34个.在100个英语单词中任选2个单词，有CKX?种不

同的结果，恰有1个单词不会，有C661c3/种不同的结果，则该学生恰有1个单词不会的概

率P(M)=C*二0.45.故选B.

20.(2021•八省联考)对一个物理量做”次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后

结果.已知最后结果的误差&「《()，力，为使误差旅在(-0.5,0.5)内的概率不小于0.9544,

至少要测量________次.(若X〜N3,小)，则2@一2O<X<〃+2<T)=0.9544)

答案32

解析由〜M0，$，知〃=0,所以^(|X-/Z|<2<7)=P(-2<7<X—/Z<2rr)=P(—

2o<X<2o-)=0.9544,要使误差的在(-0.5,0.5)内的概率不小于0.9544,则(-20,2o)U(一

0.5,0.5),所以0.5》2\^|,得心32.

|备选题

1.(2021•衡水中学高三调研)甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比

赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10平后，

双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为右甲

2

接发球赢球的概率为台则在比分为10:10后甲先发球的情况下，甲以13：11赢下此局的

概率为()

,2r3

A-25B10

10端

答案c

13123

解析分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为P=5X,X5XW=6；

乙JJJU

②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为22=；1*25*方1*25=X1.

所以所求事件概率为：P+P24.

2.（2021・长春一模）已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽

出的题不再放回.在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为（）

A.|B.1

C.gD.g

答案c

32

5XV4

解析设事件A为“第1次抽到代数题”，事件8为“第2次抽到几何题”，则P（B|A）=\-

5

=；.故选C.

3.（2021・湖北七市联考）清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”

主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年

级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不

相邻的概率为（）

A七B-3

v-24

答案D

解析依题意知，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，

采取抽签方式决定演讲顺序，高二年级3人相邻，基本事件总数〃=A33A88,在高二年级3

人相邻的前提下，高一年级2人不相邻包含的基本事件个数机=A33A66A72,...在高二年级3

人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为尸=*A；孩.故选D

4.（2021•衡阳第二次联考）算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上

发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算，控带四时，

经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，

中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百

位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5,下面一粒珠（简称下珠）代表1,即五粒下珠的大小等于

同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下

珠，得到的数为质数(除了1和本身没有其他的约数)的概率是()

C.1D.$

答案B

解析依题有，算盘所表示的数可能有：17,26,8,35,62,71,80,53,其中是质数的

3

有：17,71,53,故所求事件的概率为P=&.