数学（文）一轮教学案第八章第2讲空间点线面的位置关系

第2讲空间点、线、面的位置关系

考纲展示命题探究

考点展示考纲要求高考命题探究

理解空间直线、平面位置关系的定义.

(1)1.内容探究：平面的基本性质，平面的位置关系，

(2)了解可以作为推理雌的公理和定理.

空间点、线、面的位置关系异面直线的判定及所成的角的求法是高考命题热点.

能运用公理、定理和已获得的结论证明T

(3)2.形式探究：本讲内容高考中多以解答题形式出现.

空间图形的位置关系的简单命题.

__Z

皤考点空间点、线、面的位置关系

g源基础点重难点

1平面的基本性质

图形文字语言符号语言

A^r

如果一条直线上的两点在

BUI

公理1一个平面内，那么这条直0/Ua

A^a

线在此平面内.

BRa,

续表

图形文字语言符号语言

过不在同一条直线A,B,。三点不共线今有

公理2上的三点,有且只且只有一个平面a,使A

ZH7有一个平面.

续表

图形文字语言符号语言

如果两个不重合的平面有一

若PWa且尸£夕，则

公理3个公共点，那么它们有且只有

Jap]aCB=a,且PWa.

一条过该点的公共直线.

2空间直线的位置关系

⑴位置关系的分类

’共面!相交直线:同一平面内，有且只有一个公共点;

＜直线1平行直线:同一平面内，没有公共点;

、异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点.

(2)平行公理

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

(3)等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互

(4)异面直线所成的角

①定义：设。，。是两条异面直线，经过空间中任一点0作直线

a'//a,b'//b,把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a

与b所成的角.

②范围：［o,f.

3空间直线、平面的位置关系

图形语言符号语言公共点

相交QG。=AL个

直线与-----------a

平行a//a，个

平面/

在平

aUa无数个

面内上

平面与/___/

平行a//13，个

平面4___/

相交an片/无数个

版注意点对异面直线定义的理解

(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个

平面，因此异面直线既不平行，也不相交.

(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面

直线.

(3)异面直线不具有传递性，即若直线a与。异面，8与c异面，

则Q与C不一定是异面直线.

题快做：

1.思维辨析

(1)如果两个不重合的平面a,4有一条公共直线a,就说平面a,

夕相交，并记作aA£=a.()

(2)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.()

(3)两个平面a,4有一个公共点4,就说a,4相交于4点，并

记作aG4=4()

(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()

(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面.()

(6)没有公共点的两条直线是异面直线.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)X(5)V(6)X

2.若空间三条直线a,b,c满足a±b,b±c,则直线。与c()

A.一定平行

B.一定相交

C.一定是异面直线

D.平行、相交、是异面直线都有可能

答案D

解析当a,b,c共面时，a//c；当a,b,c不共面时，a与c

可能异面也可能相交.

3.如图所示，A5CD—AiSGA是长方体，AAi=a,ZBABi=

ZBiAiCi=30°,则A5与4G所成的角为,AAi与耳。所成

的角为.

答案30。45°

解析\'AB//AxBi,

二.ZBiAiCi是45与AiCi所成的角，

二.AB与AiG所成的角为30°.

\'AAi//BB\,

是AAi与所成的角，

由已知条件可以得出

BBi=a,A5i=AiG=2a,AB=y^a,

••BiCi=BC=a.

...四边形是正方形，

...ZBB1C=45°.

（gk命题法解题法

量［考法综述］点、线、面的位置关系是立体几何的核心内容，

高考既有单独考查直线和平面位置关系的题目，也有以多面体为载体

考查线面位置关系的题目.高考试题对点、线、面的位置关系的考查

以理解和掌握为主，试题一般为中等难度.

命题法点、线、面位置关系的判断及异面直线所成的角

典例（1）已知矩形ABC。中，A5=l,将△A3。沿矩

形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）

A.存在某个位置，使得直线AC与直线垂直

B.存在某个位置，使得直线A5与直线CZ）垂直

C.存在某个位置，使得直线与直线垂直

D.对任意位置，三对直线“AC与5。”“AB与CD”“A。与

5C”均不垂直

如图所示，在四棱锥尸一A5CD中，底面A5CD是矩形，以，底

ffiABCD,E是尸。的中点.已知A5=2,AD=25B4=2.求：

①三角形PCD的面积；

②异面直线BC与AE所成的角的大小.

［解析］⑴如图

作AM±BD,垂足为M；作CN±BD垂足为N,若存在某个位

置，使得4CLBZ),则30,平面AM。，5。，平面ANC,矛盾，故

A错误；当翻折到点A在平面5CD上的射影“落在上时，由CD

±CB,CDLAH,所以CDLABH,所以CZ)，A5,故B项正确，D

项错误；若存在某个位置使得则再由CDLCB得平

面ACD,所以NACB=90。，这样|A5|>|5C|,而A5=l,BC=木,矛

盾，故C项错误.

(2)①因为底面A5CD,所以B4LCD.

又因为4Z)，CD,所以CD,平面B4D

从而CDLPD

因为尸£>=^22+(2吸尸=2小,CD=2,

所以三角形PCD的面积为:X2X2小=25.

②取尸5的中点F,连接EF,AF,则EF//BC,从而N4E7(或其

补角)是异面直线BC与AE所成的角.

在AAEF中，由EF=\［2,AF=^2,AE=2知AAE尸是等腰直

7T

角三角形，所以NAE尸=7因此，异面直线与AE所成的角的大小

^4,

［答案］(1)B(2)见解析

9【解题法】异面直线的判定及其所成角的求法

(1)判定空间两条直线是异面直线的方法

①判定定理：平面夕I■点A与平面内一■点5的连线和平面内不

经过点B的直线是异面直线.

②反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可

能，从而可得两直线异面.

(2)求解异面直线所成角的常用方法

①平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利

用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.最终将空间

角转化为平面角，利用解三角形的知识求解(常结合余弦定理求解).

②因为异面直线所成角。的取值范围是0。＜6^90。，所以所作的

角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.

尊厩对点题必刷题

1.若空间中〃个不同的点两两距离都相等，则正整数〃的取

值（

A.至多等于3B.至多等于4

C.等于5D.大于5

答案B

解析首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于

是可以排除C、D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相

等，于是排除A,故选B.

2.若/,根是两条不同的直线，阳垂直于平面a,则帆”是

“/〃a”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由“机_La且/”推出"/Ua或/〃a”,但由

且/〃a”可推出“/，机”，所以'是"/〃a”的必要而不充分

条件，故选B.

m,〃表示两条不同直线，a表示平面.下列说法正确的是（）

A.若机〃a,n//a,则m//n

B.若机_La,nUa,贝!J

C.若冽J_a,mA^n,则“〃a

D.若m//a,m^n,则〃_La

答案B

解析A选项772、〃也可以相交或异面，C选项也可以“Ua,D

选项也可以n//a或〃与a斜交.根据线面垂直的性质可知选B.

4.直三棱柱A5C—ALBCI中，N5cA=90。，M,N分别是A/i,

AiG的中点，BC=CA=CCx,则3M与AN所成角的余弦值为（

B

A,101

D.乎

Jo

答案c

解析取5。的中点Q,连接QN,AQ,易知BM〃QN,则N4N。

即为所求，

设5C=CA=CC=2,

则AQ=小，AN=小,QN=\[6,

AA^+N。一A。5+6—5__6__咽

cos/ANQ=,故选

2AN-NQ—23X必—2相一10

C.

5.如图，在三棱锥4—5CD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=

BC=2,点M,N分别为A。，5。的中点，则异面直线AN,CM所

成的角的余弦值是.

7

答案8

A

解析如右图所示，连接N。，取的中点E,连接ME,CE,

则ME//AN,

则异面直线AN,CM所成的角即为NEMC由题可知CN=1,AN

=2隹

.,.ME=也又CM=2吸，DN=2吸,NE=也,，CE=小，

CAf+EAf—C田8+2—37

川nlcosZCME-2CMEM_2X2碑X啦一乐

如图，四边形A5CD和AOP。均为正方形，它们所在的平面互

相垂直，动点M在线段尸。上，E,尸分别为Ab5。的中点.设异

面直线与A尸所成的角为仇则cos。的最大值为.

2

套案-

口木5

解析取5尸的中点N,连接MN,EN,则EN〃AF所以直线

EN与所成的角就是异面直线与A尸所成的角.在八EMN中,

当点M与点尸重合时，EM1AF,所以当点M逐渐趋近于点。时，

直线EN与的夹角越来越小，此时cos。越来越大.故当点M与

点。重合时，cos。取最大值.设正方形的边长为4,连接E。，NQ,

EO+EN2—QV2

在丛中，由余弦定理,得

EQNcosNQEN2EQEN

20+5-33_22

2X恒X巾——亍所以cos。的最大值为亍

7.如图，在正方体A5CD—A/iGD中，E,F,P,Q,M,N

分别是棱ABAD,DDs,BBx,AiBi,4。的中点，求证：

(1)直线5G〃平面E尸尸0；

(2)直线AG_L平面PQMN.

证明(1)连接AA,由45CO—AiSGDi是正方体，

^ADi//BCi,

因为尸尸分别是4。，。。的中点，所以尸尸〃AA.

从而BC1//FP.

而尸尸u平面EFPQ，且平面EFPQ，故直线5C〃平面EFPQ.

(2)如图，连接AC,BD,

则AC1BD.

由CGJ_平面ABCD,5DU平面ABCD,可得CQ±BD.

XAcncCi=c,

所以瓦)，平面ACC.

而AQU平面ACCi,

所以50LAG.

因为M,N分别是43,Ai。的中点，所以MN〃:BD,从而MN

±ACi.

同理可证尸NLAG.

又PNCMN=N,所以直线AC，平面PQMN.

8.如图，在三棱柱A5C—A1BC1中，侧棱垂直于底面，ABA_BC,

AAi=AC=2,BC=1,E,尸分别是4G,5C的中点.

(1)求证：平面平面B1BCG；

(2)求证：G尸〃平面A5E；

(3)求三棱锥E-ABC的体积.

解(1)证明：在三棱柱ABC—A/C1中，551，底面A5C所以

又因为所以45,平面S5CG.

所以平面平面BiBCCi.

(2)证明：取AB的中点G,连接EG,FG.

因为E,尸分别是AiG,的中点，

所以尸G〃AC,且尸G=；AC

E

A|C.

C

因为AC〃ACi,且AC=AG,

所以尸G〃EC,且尸G=EC.

所以四边形尸GEG为平行四边形.

所以C1F//EG.

又因为EGU平面ABE,平面ABE,

所以G尸〃平面A5E.

(3)因为AAi=AC=2,BC=1,AB±BC,所以AB=事己二4=

V3.

所以三棱锥E-ABC的体积

V=^SAABCAAi=TXTX^3XIX2=^^.

•_/J乙J

学霸错题警示异面直线所成角的概念和范围不清致误

「---1

机已知在空间四边形A5CZ)中，AB=CD=3,点E、尸分别是边

和A。上的点，并且5E:EC=AF：FD=1：2,EF=小,求异面

直线AB和CD所成角的大小.

［错解］

启见）上鼎才运B的王普行员G,

走拉%、任，加用的东

A

.△一中,辨卷中白小.

局理,詹△恕。中，GF，舱.

即NE轩就是曲与。付式的缸

忘△汉6中，由GE/CD,CJ>=3,

§-T»悬阳.

龙△船。中，⑨修，的，麴=3,

寮二卷,♦2=2.

启△£%中，%=/,%=2,日三万，

由余显5t理，居cos/EGF二

E—RAE户__L

正6462•

再从NEG%/沙。.的从直戏用与CP的编发

为心°.

［错因分析］对异面直线所成角的概念和范围不熟悉，误将图中

的NEG尸作为所求直线45与CD所成的角.

［正解］在50上取靠近5的三等分点G,连接尸G、GE,如图

所示.

在△5C。中，亍0EG〃DC

UD

同理，在△A3。中，GF//AB.

所以EG和尸G所成的锐角（或直角）就是异面直线45和C。所成

的角，即NEG尸就是45与CD所成的角或其补角.

EG1

在中，由GE〃CD,CD=3,示=不得£G=L

FG2

在△AB。中，由尸G〃AB,AB=30=全得尸G=2.

9AJDJ

在△EFG中，EG=1,FG=2,石尸=由，

।人，、e/目EGr+FGr-E^1

由余弦定理，得cosNEGF=-ZEGFG—=一亍

所以NEG尸=120。.所以直线45与CO所成角为60°.

［心得体会］

身面直栽衿痴的功的克国是（。。,夕。°［法多］

用金荏文理求导面直俄湾或为时，羽名讥匆的

住核厦召负值，应转化方正面求书第应的锐玲

才走用面直战衿前的笈，肉生易铺设地将?导

面直胸衿就为;6O.

M课时撬分练

时间：45分钟

基础组

1.［2016彳断水中学期末］设a,b,c是三条不同的直线，a,4是两

个不同的平面，则下列命题中，其逆命题不成立的是（）

A.当c，a时，若则a〃£

B.当bua时，若bl/3,则a_L£

C.当Z?Ua,且c是a在a内的射影时，若bJ_c,则a_LZ?

D.当Z?Ua,且cOa时，若c〃a,则人〃c

答案B

解析A的逆命题为：当c，a时，若a〃夕，则C夕，由线面垂

直的性质知c_L£；B的逆命题为：当Z?Ua时，若a_L£,则b_L£,显

然错误;C的逆命题为：当Z?Ua,且c是。在a内的射影时，若a_L

b,则。，c,由三垂线的逆定理知。，c；D的逆命题为：当bua,且

时，若》〃c,则£：〃如由线面平行的判定定理可得c〃a.故选B.

2.[2016箱水二中热身]对于空间的两条直线m,n和一个平面a,

下列命题中的真命题是（）

A.若加〃a,n//a,则加〃八B.若加〃a,nUa,则加〃“

C.若机〃a,〃_La,则机D.若机J_a,〃_La,则机

答案D

解析对A,直线机，〃可能平行、异面或相交，故A错误；对

B,直线机与〃可能平行，也可能异面，故B错误；对C,m与n垂

直而非平行，故C错误；对D,垂直于同一平面的两直线平行，故D

正确.

3.[2016•武邑中学期末]已知直线a和平面a,£,aA£=/,ada,

a耶,且。在a,夕内的射影分别为直线》和c,则直线。和c的位置

关系是（）

A.相交或平行B.相交或异面

C.平行或异面D.相交、平行或异面

答案D

解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，

故选D.

4.[2016彳断水二中预测]已知a,b,c为三条不同的直线，且a

u平面M,0u平面N,MAN=c.①若a与。是异面直线，则c至少

与a,8中的一条相交；②若。不垂直于c,则。与》一定不垂直；

③若a〃儿则必有“〃c；④若a±c,则必有MLN.其中正确

命题的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

答案C

解析命题①③正确，命题②④错误.其中命题②中。和8有可

能垂直；命题④中当b〃c时，平面V,N有可能不垂直，故选C

5.[2016•枣强中学月考]已知正四棱柱A5C。一AbBCiA中，AAi

=2AB,E是的中点，则异面直线与5E所成角的余弦值为

)

A-5B,10

「巫

JoD1

答案B

解析如图,连接AiA由题意知AiDi5C,所以四边形AiDiCB

为平行四边形，故Z)C〃AiA所以NA/E为异面直线DC与5E所成

的角.不妨设A4i=2A5=2,则AiE=l,BE=j,AiB=y[5,在4

AiBE中，

4山2+成一AE

cosNA1BE=2ABEB

5+2—13y[Td,,、*

=2XV5XA/2=10'故选B-

6.[2016彳断水二中猜题]设a,b,c是空间中的三条直线，下面给

出四个命题：

①若a〃Z?,b//c,则a〃c；

②若a_Lb,b-Lc,则a〃c；

③若。与8相交，8与C相交，则。与C相交；

④若QU平面a,Z?u平面.，则q,Z?一定是异面直线.

上述命题中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）.

答案①

解析由公理4知①正确；当a_LZ?,Z?_Lc时，。与c可以相交、

平行或异面，故②错；当。与。相交，。与c相交时，。与c可以相

交、平行，也可以异面，故③错；aUa,bY，并不能说明a与b“不

同在任何一个平面内”，故④错.

7.[2016彳断水二中一轮检测]如图，在直三棱柱A5C—A1BC1中,

ZACB=90°,AAi=2,AC^BC=1,则异面直线45与4。所成角

的余弦值是.

套案近

口木6

解析由于AC〃4G,所以NB4G（或其补角）就是所求异面直

线所成的角.在△R41G中，AiB=AC=l,BCi=小,cosNA41G

6+1~5y/6

—2册XI—6-

8.[2016•冀州中学周测]如图所示，在四面体A5CZ）中,E、F分

别是AC、50的中点，若CD=2A5=2,EFLAB,则E尸与CD所成

的角等于.

c

答案30。

C

解析如图所示，设”为D4的中点，连接”尸，HE,则易得

FHEF.在RtAEFH中，HE=1,HF=g,

：.ZHEF=30°,即E/与CD所成的角为30。.

9.[2016•冀州中学热身]如图所示,正方形中，E,尸分别

是A5,的中点，将此正方形沿E厂折成直二面角后，异面直线A尸

答案I

解析过尸点作加过A点作EF的垂线4G,垂足为G

连接HG,HE,A”.如图

设正方形A5CZ）的边长为2,♦.•平面4EZU平面5CZ）尸E,且AG

LEF,「.46,平面3C。尸E.

•：BE=BH=AE=AF=\,:.EH=EF=#•:G为E尸的中点，

，EG=乎，AG=*.又，：HF=2,：.ZHEG=90°,

：.在RtAEHG中，

吁7臣+（"华

：.在RtAAGH中,

A"=A/哨2+闫2=小.

■:HF//BE,：.AF与BE所成的角即为/AFH.在AAHF中,AF

=1,HF=2,AH=事,：.ZHAF=90°,

AF1

•.cos/AFH—HF—2,

10.[2016•枣强中学周测]如图,在正方体A5CD—4中学A中,

M,N分别是棱CD,CG的中点，则异面直线A]〃与。N所成的角

的大小是.

答案90°

解析连接。1”,则。为在平面。CGA上的射影，在

正方形OCGA中，\'M,N分别是CD,CG的中点，：.DiM±DN,

由三垂线定理得4MLON.即异面直线AiM与。N所成的角为90°.

11.[2016•冀州中学预测]在三棱锥S-ACB中，ZSAB=ZSAC

=ZACB^9Q°,AC=2,BC=y[13,SB=®,则SC与A5所成角

的余弦值为.

套u案J7

解析如图，取5C的中点E,分别在平面A5C内作。石〃AS

在平面SBC内作EF//SC,则异面直线SC与A5所成的角为NFED,

过尸作尸GLAS连接OG,则△。尸G为直角三角形.

由题知AC=2,BC=^13,SB=\[29,可得Z)E=呼，EF=2,

5DEr+EF2—DF^

DF宫,在ADEF中，由余弦定理可得cos/DEF=-指而后一=

ZZD乜•乜r

V17

17,

12.[2016彳断水二中期中]如图所示，在四棱锥尸一A5C。中，底

面是边长为2的菱形，NQA5=60。，对角线AC与5。交于点O,P0

，平面45cZ),05与平面A5C。所成角为60。.

(1)求四棱锥的体积；

(2)若E是05的中点，求异面直线DE与B4所成角的余弦值.

解(1)在四棱锥产一ABCD中，;尸。，平面4BCD,/.ZPBO

是P5与平面A5CZ)所成的角，即NP5O=60。.

在RtAAOB中,\'AB=2,/.BO=ABsin30o=1.

在RtAPOB中，,:POLOB,

：.PO=BO-tSLn6Q°=\[3,

•••底面菱形的面积S=2X；X2X2X乎=2小，

/.四棱锥P-ABCD的体积VP_ABCD=3X2小X小=2.

(2)如图所示，取AB的中点/，连接EEDF.

■:E为PB中点，

.'.EF//PA,

.二NDEF为异面直线DE与孰所成角(或其补角).

在RtAAOB中，

AO=AB-cos30°=5=OP,

.•.在Rt△尸OA中，B4=V6,：.EF=*.

在正三角形45。和正三角形PZ用中，。尸=Z)E=小，由余弦定

…DC+EO—DF2

理传cos/DEF=2DEEF

(5>+]用2—(小)2)也

2fx坐.3一

...异面直线DE与热所成角的余弦值为5.

能力组

13.[2016•枣强中学模拟]已知羽、〃为异面直线，加u平面打，〃u

平面夕，aC0=l,则/()

A.马m、n都相交

B.与根、〃至少一条相交

C.马m、〃都不相交

D.至多与机、”中的一条相交

答案B

解析若I与m、〃都不相交，则/〃机，I//n.