高中数学直线与平面垂直的性质专项练习

高中数学直线与平面垂直的性质专项练习

■知识对点练•

ZHISHIDUIDIANLIAN

知识点一直线与平面垂直的性质

1.在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面

的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（）

A.相交B.平行

C.异面D.相交或平行

2.直线/垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD,直线m垂直于AD和BC，则

/与m的位置关系是（）

A.相交B.平行C.异面D.不确定

3.a,b是异面直线,直线/_La,lA.b,直线mLa,m±b，则/与根的位置

关系是________.

4.如图户,已知aCl/3=I,EA.La于A,£8_1_用于B,aua,a.LAB.

求证：a//l.

5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，43,平面PAD,AD

=AP,E是PD的中点，M,N分别在4?,PC±,fiMN±AB,MNLPC.证明：

AE//MN.

证明因为AB，平面PAD,AEu平面PAD,

6.如图所示，在正方体ABC。-ABGQi中，加是45上一点，N是4c的

中点，MAQ平面AiDC.

求证：(l)MN〃ADi；

(2)M是AB的中点.

知识点二平行、垂直关系的综合问题

7.设a,b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是()

A.存在唯一一条直线I,使得l±a,且l1b

B.存在唯——条直线/,使得l//a,且ILb

C.存在唯---个平面a,使得aua，且方〃a

D,存在唯---个平面a，使得aua，且匕_La

8.给出下列命题：

①a_l_a,Z?ua=>a_Lb；(2)a±a,a//b=bLa；③a_La,b//a=»a_Lb；(4)«±Z?,

a_Lc,bua,cua=>a_La；⑤。〃a,a±Z?=>Z?±a；⑥a_La,b工a=b〃a.

其中真命题的个数是()

A.3B.4C.5D.6

9.已知/,〃z,〃是三条不同的直线，a是一平面.下列命题中正确的个数为

（）

①若I//m,m//n,/_La,则；

②若I//m,m_La,,则/〃〃；

③若I//a,l-Lm,则

A.1B.2C.3D.0

-------课时综合练-------

KESHIZONGHELIAN

一、选择题

1.is.ABC所在的平面为a,直线l^AB,/.LAC,直线mYBC,m^AC,贝1]

直线/，机的位置关系是（）

A.相交B.平行C.异面D.不确定

2.已知加，n为异面直线，m_L平面a,平面[i,直线/满足,

18，/印,则（）

A.a//£且/〃a

B.a_L夕且/，夕

C.a与4相交，且交线垂直于/

D.a与夕相交，且交线平行于/

3.如图，在反43。中，NACB=90°,直线I过点A且垂直于平面ABC,动

点PG/,当点P逐渐远离点A时，NPC8的大小（）

p

B

C

A.变大B.变小

C.不变D.有时变大有时变小

4.多选）如图,直线PA垂直于圆。所在的平面,AABC内接于圆。，且A3

为圆。的直径，点M为线段PB的中点.以下各命题中，真命题为（）

A.BCLPC

B.0M〃平面APC

C.点B到平面PAC的距离等于线段BC的长

D.三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半

5.已知正四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，=2,CC=2啦，E为CG的中

点，则直线AC\与平面BED的距离为（）

A.1B.小C.啦D.2

二、填空题

6.地面上有两根旗杆，底端相距a米，它们的高分别是b米和c米3〉c）,

则它们顶端的距离为米.

7.边长为a的正方形ABCD中，E为A8的中点下为BC的中点，将“即,

△8ER和△£＞（而分别沿DE,故和DF折起使A,B,。重合于一点4,则三棱锥

A-EFD的体积为.

8.如图，在正方体ABCD-AliGOi中，点E是棱BC的中点，点F是棱

CF—

CO上的动点.当而=时，。归，平面

三、解答题

9.如图，在正方体ABCD-A\B\C\D\中，点E,尸分别在A\D,AC±,EF

±AiD,EFLAC,求证：EF//BD\.

10.如图，菱形ABC。中,ZABC=60°,AC与8。相交于点。，EB=EC=

ED,CF//AE,AB=2,CF=3.

⑴求证：EAL平面ABC。；

⑵求四面体F-ECB的体积.

第2课时直线与平面垂直的性质

-------知识对点练-------

ZHISHIDUIDIANLIAN

知识点一直线与平面垂直的性质

1.在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面

的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（）

A.相交B.平行

C.异面D.相交或平行

答案B

解析圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂

直的性质定理可知，二者平行.

2.直线/垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD,直线m垂直于AD和BC,则

/与m的位置关系是（）

A.相交B.平行C.异面D.不确定

答案D

解析根据题意，L平面ABCD，机可能在平面ABCD内，也可能垂直平面

ABCD,所以直线/与〃，可能平行、相交或异面，故选D.

3.0,/?是异面直线，直线/_La,ll.b,直线mLa,mVb，则/与，〃的位置

关系是________.

答案I//m

解析将b平移至c,且使a与c相交，则a,c确定一个平面,记作平面a.

,机_Lc,又l^La,m^a，二/_L平面a,〃？_1_平面a,.,.I//

m.

4.如图月,已知aC0=l,EAA.aA,EBLQ于B,qua,aA-AB.

求证:a//1.

证明,JEALa,EBLp,aC\0=I,：.l±EA,ILEB.

又•：EAClEB=E,E4u平面EAB,EBu平面EAB,

."J■平面EAB.

又aua,EA±a,.'.a.LEA.

又a±AB,ABHEA=A,ABu平面EAB,E4u平面EAB,."JL平面EAB,：.

a//l.

5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，A3,平面PAD,AD

=AP,E是P。的中点，M,N分别在AB,PC上，SMN.LAB,MNLPC证明：

AE//MN.

证明因为AB,平面PAD,AEu平面PAD,

所以AELAB,SLAB//CD,所以AE±CD.

因为AO=AP,E是P。的中点，所以AELPD

又CDCPD=D,所以AE,平面PCD.

因为MNLAB,AB//CD,所以MNLCD.

又MNA-PC,PCQCD=C,

所以MN_L平面PCD,所以AE〃MN.

6.如图所示，在正方体ABC。GD中，加是45上一点，"是4。的

中点，MN,平面A।DC.

求证：（l）MN〃AOi；

⑵M是AB的中点.

证明⑴•••四边形ADD14为正方形，

•.,。£>_1_平面4。£）自1,，8_1_4。1.

\'AiDC}CD=D,.,MDil5F®AiDC.

又MN_L平面4OC,.•.MN〃ADi.

⑵如图所示，设A£h与4。的交点为。，连接ON,在△AiOC中,A\O=OD,

AiN=NC

：.ON^CD^AB,

：.ON//AM.

又MN//OA,

，四边形AMNO为平行四边形,

：.AM=ON=^AB,即M是A3的中点.

知识点二平行、垂直关系的综合问题

7.设。,b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（）

A.存在唯——条直线I，使得,且

B.存在唯——条直线/,使得l//a,且ILb

C.存在唯---个平面a,使得aua，且Z?〃a

D.存在唯---个平面a,使得aua，且匕_La

答案C

解析过直线a上任意一点P,作匕的平行线。，由a,c相交确定一个平面

a.直线/只需垂直于平面a,就会与a,b都垂直，这样的直线有无数条，故A错

误.根据异面两条直线所成角的定义，排除B.根据线面垂直的概念，排除D.故选

C.

8.给出下列命题：

①,Oua=>a_Lb；②aJLa,a〃/?=b_La；③a_La,b〃a0aLb；@al.b,

a_Lc,bua,cua=a_La;⑤。〃a,a_Lb=b_La；⑥a_La,bLa=b〃a.

其中真命题的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

答案A

解析因为«±a,所以a垂直于平面a内的任意直线，所以①正确.若两条

平行线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与这个平面垂直，所以②

正确.由线面垂直，线线、线面平行的性质知，若,b//a,则aLb,所以

③正确.由线面垂直的判定定理可知，④不正确.当a〃a,万时，〃可能与a

平行、垂直、斜交或b在。内，所以⑤不正确.当a_La,b±a时，b可能与a平

行，b也可能在a内，故⑥不正确.

9.已知/,机，〃是三条不同的直线，a是一平面.下列命题中正确的个数为

（）

①若I//m,m//n,Z_Lot,则n_La；

②若I//m,〃2_La,”_La,则/〃〃；

③若/〃a,l-Lm,则

A.1B.2C.3D.0

答案B

解析对于①，因为/〃m,m//n,所以/〃〃，又/±a,所以〃_La,即①正

确;对于②，因为m±a,n±a,所以m//n，又Z〃加，所以l//n,即②正确；对

于③,因为/〃a,l-Lm,所以m//a或mua或mLa或相与a斜交,即③错误.

-------课时综合练-------

KESHIZONGHELIAN

一、选择题

1.LABC所在的平面为a,直线IA,AB,ILAC,直线mA.BC,m±AC,贝（］

直线/，加的位置关系是（）

A.相交B.平行C.异面D.不确定

答案B

解析AABC所在平面为a,/LAB,l±AC,ABQAC=A,J.lLa,又m

_LBC,m.LAC,BCC\AC=C,Z/7m.

2.已知"2,n为异面直线,m_L平面a,〃_L平面B,直线l满足ILm,ILn,

18,l邨，则（）

A.a//4且/〃a

B.a，夕且△尸

C.a与夕相交，且交线垂直于/

D.a与4相交，且交线平行于/

答案D

解析由于m,n为异面直线，"2_1_平面a,〃_L平面B,则平面a与平面夕

必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m,n,又直线/满足dm"_L〃"Ca,

/中，则交线平行于/，故选D.

3.如图，在△ABC中，NACB=90°,直线/过点A且垂直于平面ABC,动

点PG/,当点P逐渐远离点A时，NPCB的大小（）

A.变大B.变小

C.不变D.有时变大有时变小

答案C

解析：直线LL平面A8C,3c又NACB=90°,.•.ACL8C,

平面APC,：.BC±PC,即NPCB为直角，即NPC8的大小与点P的位置无关，

故选C.

4.多选）如图，直线PA垂直于圆。所在的平面,AABC内接于圆。，且A3

为圆。的直径，点M为线段PB的中点.以下各命题中，真命题为（）

p.

A.BCtPC

B.0M〃平面APC

C.点B到平面PAC的距离等于线段BC的长

D.三棱推M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半

答案ABCD

解析PA±平面ABC,BCu平面ABC,：.PA±BC/：AB是圆0的直径，

.♦.ACJLBC.又%u平面PAC,ACu平面PAC，所AC=AW面PAC."：PCa

平面PAC,：.8CUC.故A,C正确；；M是PB的中点，。是AB的中点，,0M

〃刑u平面PAC,0MC平面PAC,〃平面勿C.故B,D正确.

5.已知正四棱柱ABCD-A\B\C\D\中，AB=2,CG=26，E为CG的中

点,则直线AC与平面BED的距离为（）

A.1B.小C.啦D.2

答案A

解析如图，连接AC交BD于点。.在△CGA中，易证又OEu平

面BDE,AGC平面BDE,〃平面BDE，，直线AG与平面BED的距离为

点A到平面BED的距离.连接AE.在三棱锥E-AB。中，VE-ABD=/ABDXEC=|

x；x2x2x/=半.在三棱锥A-BDE中，BD=26，BE=DE=#—BD=3

义2\取勺乖2_一取2=26.设点A至I」平面BED的距离为h,贝I」以-BDE=；

SbEBDXh=；x2mx/7=4当?=,解得/?=1,故选A.

Ik工

E

G

二、填空题

6.地面上有两根旗杆，底端相距a米,它们的高分别是b米和c米3〉c),

则它们顶端的距离为米.

答案[♦+b-c~

解析如图，由于两旗杆都与地面垂直，故两旗杆AD与BC平行，且四边

形ABCD是直角梯形，设A。=c•米，=匕米，过。作DELBC于E,则QE=

a米，CE=(b-c)米,所以DC=yja2+b-c~米).

7.边长为a的正方形ABCD中，E为AB的中点产为BC的中点，将ME。,

△BEF和△OCT分另(J沿。E,"和折起使A,B,C重合于一点A',贝U三棱锥

A，-EFD的体积为.

球案—

口木24

解析以等腰直角三角形A'EF为底,D4为高，易求三棱锥的体积.

8.如图，在正方体ABCD-48G。中，点E是棱BC的中点，点F是棱

C。上的动点.当哥=时，_L平面ASE

答案1

解析连接MB,则A\B是在平面ABBA内的射影.

'：AB\LA\B,平面AIBEOI.

•.•OiEu平面ABEOi,，DiEJ_A8.

若。归_1_平面ABiF,则DiElAF.

连接DE,'：AFLDD\,DiEClDDi=D\,

平面DiED.

又OEu平面D\ED,J.DELAF.

•••四边形ABCD是正方形，E是8C的中点，

•••当且仅当F是CD的中点时，DE1AF,

即当点尸是C。的中点时，AE_L平面ABiF.

・，•当务=1时，DEJ•平面ABE

三、解答题

9.如图，在正方体ABCD-A\B\C\D\中，点E,尸分别在A\D,AC±,EF

±AiD,EFLAC,求证：EF//BD\.

证明如图所示，连接4G,CiD,B\D\