等差数列知识点总结

等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：a,,—%=d(d为常数)(〃22)；

2.等差数列通项公式：

+(〃-l)d=d〃+qN"),首项：q,公差:d,末项：〃〃

推广：an=am+(n-ni)d.从而d二4——；

n-m

3.等差中项

(1)如果a,A,8成等差数列，那么A叫做。与。的等差中项.即：A=-^2A=a+b

2

(2)等差中项：数列｛%｝是等差数列=2%=。,泊+a“+](〃N2)o2a.+]=a”+《什2

4.等差数列的前n项和公式：

〃(q+a“)〃(〃一1)

S,,=---!----=na.+-------a

n2,2

S„=An2+Bn,neN*A=2,B=fll-2

特别地，当项数为奇数2〃+l时，区用是项数为2n+l的等差数列的中间项

5.等差数列的判定方法

(1)定义法：若%=d或a,用一%=d(常数〃eN*)o｛%｝是等差数列.

(2)等差中项：数列｛%｝是等差数列o2a“=%_1+an+l(n>2)2all+i=an+an+2.

(3)数列｛%｝是等差数列。=女〃+b(其中左力是常数)。(K=d,b=al-d)

(4)数列｛%｝是等差数列。S.=A〃2+8〃，(其中A、B是常数)。

6.等差数列的证明方法

定义法：若-a,—=d或”“+1-a“="(常数〃eN*)o｛%｝是等差数列.

7.提醒：等差数列的通项公式明及前n项和S“公式中，涉及到5个元素：q、d、n、a”及S“，其中％、d

称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.

8.等差数列的性质：

(1)当公差时，

等差数列的通项公式4=4+(〃-l)d=d〃+q是关于〃的一次函数，且斜率为公差d：

前〃和S“=叫+?ST)d=+(«,--)«是关于〃的二次函数且常数项为0.

(2)若公差d>0,则为递增等差数列，若公差d<0,则为递减等差数列，若公差4=0,则为常数歹h

(3)当〃]+"=〃+<7时，则有+。“=%,+4,特别地，当加+〃=2〃时，则有=2%,.

注：aI+an=a2+an_x=a3+an_2=■■■,

(4)若｛4｝、也｝为等差数列，则｛9,+耳,｛4凡+42｝都为等差数列

⑸若｛%｝是等差数列，则5“,52”-5”,53”-52“，一也成等差数列

(6)数列｛。“｝为等差数列，每隔k(keN*)项取出一项(am,am+k,am+2k,a,n+3k,­••)仍为等差数列

(7)设数列｛4｝是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，S,,是前n项的和

1.当项数为偶数2〃时，

c_,,,,一"(4+%i)

S奇=4+«3+45+'"+a2n-\=------------------------=na.

n(a2+a2ll]

Sf禺=a2+a4+a6^^a2n==〃""+l

Sfs一$奇=na„+i-na„=n(a,l+1-a,,)=nd

S奇_nan_an

、偶%+i

2、当项数为奇数2〃+1时，则

§2〃+]=S奇+5偶=（2〃+1）《+1S=（〃+1）4』盘=四

n5

4+】5儡=几。"1S偶n

等差数列练习：

一、选择题

]已知｛%｝为等差数列，4+%+%=105,4+4+%=99,则生0等于（）

A.-1B.1C.3D.7

2.设S,是等差数列｛2｝的前n项和，已知%=3,4=11，则S?等于（）

A.13B.35C.49D.63

3.等差数列｛6,｝的前n项和为S“，且S3=6,%=4,则公差d等于（）

5

A.1B.-C.-2D.3

3

4.已知｛《,｝为等差数列，且%—2%=—1，4=°，则公差d=（）

A.-2B.--C.-D.2

22

5.设等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若§3=9,S6=36,则%+4+佝=（）

（因为Sn是等差数列所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等差数列）

A.63B.45C.36D.27

6.在等差数列｛。“｝中，a5+«13=40,则ag+ag+al0=（）。

A.72B.60C.48D.36

1、已知等差数列｛a“｝中，a2+a5+ag+al2=60,那么=

A.390B.195C.180D.120

2、等差数列｛4,｝的前加项的和为30,前2加项的和为100,则它的前3帆项的和为（）

A.130B.170C.210D.260

二、填空题

1、等差数列｛风｝中，若4=%+6，则S9=.

2、等差数列｛4｝中，若S“=3〃2+2〃，则公差d=.

3.设等差数列｛a,J共有3n项，它的前2n项和为100,后2n项和是200,则该数列的中间n项和等于.

1、设等差数列｛4,,｝的前n项的和为S°,且S4=-62,S6=-75,求：（1）｛4“｝的通项公式a„及前n项

的和S1,；（2））ai|+1a21+1a：（|+...+|an求Tn

答案：l.B2.C3.C4.B5.B6.B

1.B2.C

1.02.d=6

解：（1）设｛Q九｝的公差为d,>?4=-62,

4«i+」彳4d-62

$6=-75,**•

6QI+亨d-755

=-20

解得

d=3'

•二an—a\+(n-1)d=-20+3(n-1)=3几-23.

•Q_Tl(。1+a)_n(3n-43)_3

---------n----------------------Tl243

222

（2）fia=3n-23<0,解得几因此九二7.

n3

当八之8时，。8>。，

当八W7时，Tn=-（Qi+Q2+・・g）=43!-3J,

2

当几28时,Tn—-（。1+。2+,•・。7）+（++••・。71）

2

=S-2Sz=3n-