高中数学专项练习：数列解答题

数列解答题

、设各项均为正数的等比数列｛%｝中,％+/=。吗.设

11+4=40d=log2an.

(1)求数列｛"｝的通项公式；

(2)若q=1,c"+|=c"+%，求证:cn<3;

(3)设I=—+--I-----F—,是否存在关于n的整式g(〃),使刀+T2H------・g(〃)

“b2bn

对一切不小于2的整数n都成立？若存在，求出g(〃)，若不存在，说明理由。

333

2、设数列｛a/的各项都是正数，且对任意nGN,,都有a1+a2+a3+……

其中Sn为数列的前n项和.

2

(I)求证：an=2sn—an；

(ID求数列｛a/的通项公式；

(ID)设bn=3n+(—l)nT九・2211(人为非零整数，neN*),试确定入的值，使得对任意的

nGN*,都有、+1>%成立.

解：（I）由已知，当n=l时，a，=S]2又；apoa1=l................1分

当n22时，aj1^+a2^+a3^+.......+an^=sn^................①

a|*^+a2^+a3^+.......+an_j^=sn_|2.................②........................2分

=

①一②得：&n^（sn—Sn-p（Sn+sn-i）=an（Sn+Sn_p'•*an>0/.an^=sn+sn_j

又sn-l=sn-an二an2=2sn-an................3分

2

当n=l时，a]=l也适合上式an=2sn—an................4分

（II）由（1）知，an"=2Sn—...........③当n>2时，]2=2$门_]—....④

a―a=s-sa—

③一④得：n2n-l^2（nn-l+n-l................6分

Van+an_j>0，an—=1/.数列｛aj是等差数列，，an=n................8分

(Ill);an=n:.%=3“+(-1尸-1九・2n.要使%+1>?恒成立，则％+1—％=3旧1+(-1尸

X-2n+1-3n-(-l)n-1X-2n=2X3n-3X(-l)•2门〉0恒成立，即(一人<(|)厂1恒

成立........9分，

(1)当n为奇数时，即衣耻-1恒成立，又(|)nT的最小值为1,.•.九<1；.............io分

(2)当n为偶数时,即心一(y1恒成立，又一.尸"1的最大值为一|,.•.九>一|……11分

即一件。，又九为非零整数，RlI能使得对任意的nGN*,都有bn+i>bn成立.…12分

3、已知各项均为正数的数列｛册｝的首项由=1，且log2%+i=10g2册+1,数列团-册｝

是等差数列，首项为1,公差为2,其中〃eN*.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列也,｝的前〃项和S”.

解：(1)由题可得：巴出■=2,数列｛〃“｝是以1为首项，2为公比的等比数列。

；・an=2〃-1.....................................................6分

(2)由题知：/?〃一。〃=2〃一l,n/?〃=2"一+2〃-1,

2

Sn=(1+2+22+…+2"T)+0+2〃二业=2"+n-1................12分

4、已知〃x)=_「Z数列｛%｝的前n项和为S“，点在曲线y=/(x)上

(〃GN')且q=l,a〃>0.

(I)求数列｛乐｝的通项公式；

(II)求证：+

2

解：(1)」=/(%)=-卜+3且4>0

___二.物蚱泗),数列｛一1｝是等差数列，首项-L公差d=4；.

%”Va；%?«,；,明如

工=1+4("-1)••a,,2=—^―

at~4/1-3

*,>0：♦an=/1、(/7GN*)

j4〃-3

⑵*-------

J4--3

_2>2_+1-J4〃-3

2J471-3yl4n—3+J4—+12

*•*Sn=Q]+。)+…+。〃>—(V5-1)+(V9-V5)

+•••+—(J4/2+1-J4.-3)=—J4-+1-1

22

5、设数列｛4｝的前〃项和为S“，对一切〃eN*,点都在函数/(x)=x+&的

nJ2x

图象上.

(I)求6,出，%的值，猜想见的表达式，并用数学归纳法证明；

（II）将数列｛%｝依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（q）,（4,%），（%，%，

）,（a[,48，,aio）；（4u），（。曾，a13），（。14，415，。忖），（。17，“i8，a”，

«20）：（出]），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺

序构成的数列为｛b,,｝,求%+伉皿的值；

思路点拨：（本题将函数与数列知识交汇在一起，考查了观察、归纳、猜想、用数学归纳法

证明的方法，考查了等差数列、等差数列的求和公式，考查了同学们观察问题、解决问

题的能力。（1）将点代入函数/（x）=X+2中，通过整理得到Sn与a”的关系，

vnJ2x

则%,外,%可求；（2）通过观察发现％）（）是第25组中第4个括号内各数之和，各组第

4个括号中各数之和构成首项为68、公差为80构成等差数列，利用等差数列求和公式

可求.bl00

解：（I）因为点在函数/（x）=x+4•的图象上,

n）2x

故工=〃+所以s“=〃2+，---------------------1分

n2n2

令〃=1,得4=1+5。],所以4=2；

令〃=2,得/+出—4+—，所以。2=4；

令〃=3,得％+。2+。3=9"I---%，所以的=6・

由此猜想：an=2n.................................4分

用数学归纳法证明如下：

①当〃=1时，有上面的求解知，猜想成立.--------5分

②假设”=4伏21)时猜想成立，即ak=2k成立，

则当〃=k+1时，注意到S=n2(neN*),

n“2

7191

故S«+1=(k+l)~，sk=k-+-at.

两式相减，得%+]=2k+1+/%+1—'%，所以4+]=4A+2—a*.

由归纳假设得，ak=2k,

故ak+\=4Z+2—4=4k+2-2k=2(&+1).

这说明〃=Z+1时，猜想也成立.

由①②知，对一切neN”，an=2n成立.............................8分

(II)因为a“=2〃(〃eN*),所以数列｛%｝依次按1项、2项、3项、4项循环地

分为(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20)；(22),(24,26),(28,30,

32),(34,36,38,40)；(42),….每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个

括号，故Am是第25组中第4个括号内各数之和.由分组规律知，由各组第4个括

号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中

所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差

均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中

第4个括号内各数之和是68,

所以%=68+24x80=1988.又.=22,所以仄+a=2010.............14分

1VAzJDIW0n

归纳总结：由已知求出数列的前儿项，做出猜想，然后利用数学归纳法证明，是不完全归纳

法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法。证明的关键是根据已知

条件和假设寻找《与4华或5*与耳”间的关系，使命题得证。

6、已知数列｛4｝满足，一％,且%+1•%<().(〃eN*)

21+an+lan+\+an

(I)求数列｛%｝的通项公式；

(II)若｛九｝=区3-4，试问数列｛3｝中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列？

若存在，求出满足条件的等差数列，若不存在；说明理由.

解：(D由4]=(■,a”+「a”<0知，

当〃为偶数时，<0；当几为奇数时，%>0；2分

由普九三大得…卜F',

所以4（。*—1）=3（。；—1）,

33

即数列｛端一1｝是以%2-1=一；为首项,士为公比的等比数列

4

................5分

(II)由⑴知",=嫁1一片=1一(2-1+3弟）:

则对于任意的weN*，d>"“7分

假设数列｛仇』中存在三项瓦，瓦,〃（r<s<f）成等差数列,

则br>bs>b,,即只能有2bs=b,+0成立，

所以2m且［+半］,2-f-Y=［-Y+

4UJ4UJ4UJUJ9分

所以，2・3'-4-'=3'-41+3',

因为rvsvi,所以，-s〉0,r-r>0,

所以2・3匕4一是偶数，3。4~+3'是奇数，而偶数与奇数不可能相等，

因此数列｛。“｝中任意三项不可能成等差数列...............12分

7、已知数列｛《,｝满足：％=3,区用=%二2,〃eN*.

怎

a_1

（I）证明数列广立为等比数列，并求数列｛凡｝的通项公式；

（II）设瓦=%（4+「2）,数列也｝的前〃项和为S“,求证：S“<2；

2

（HI）设%=n（an-2）,求c,c向的最大值.

证明：(I)•••411二L=a"—=2(

2分

a

n+i-23a“二_2a“-2

又红二•UZHO,

卜等比数列，且公比为2,3分

6Z]—2

ci—12"+l-l

二巴」=2〃，解得为■4分

a,「22n-l

2"+1-12,,+2-11

(D)bn=an(an+i-2)-2)=•5分

2"-12n+I-l2"-l

111

.,•当,N2时，b.=<---r6分

2"-12"-'+2'-'-12"i

1

S=b,+b+b+--■+b<\+-+•H-------r

n2}22"~'

J-11

2

l+———=2-(5尸<2・8分

1---

2

〃2(〃+1)2

(III)c“=〃-(a“-2)=——n%c“+i=9分

L—1(2M-l)(2n+l-l)

令％色±2一=皿=(〃:2)：*=J.>1------------1。分

c”c“+ic“2"-1n-

=>[(〃+2)2-4〃2]2"〉(〃+2f-〃2-------------------11分

=>(3〃+2)(2一〃)2">4〃+4=>〃=1

C”+£+2=皿=(〃；2)2=-------r分

㈤g2"+2-1〃2

所以：CjC2<C2c3>c3c4>­••

12

故(C“C“+|)1ra*=c2c3=—,-------14分

8、已知等差数列伍“｝的前”项和为S,，。2=4,55=35.

（I）求数列｛《,｝的前〃项和S”;

（II）若数列｛2｝满足b„=ea",求数列｛，｝的前"项和T“

解：（I）设数列｛%｝的首项为4,公差为d.

氏+d=4(.

则45(5-1),5分

〕54+八1=35Id=3

2

/.an=3n-2.

前〃项和Sn(3H-l)

=^+3n-2)=7分

22

(II)an=3n—2,

3n28分

：.bn=e-且bi=e.

当n>2时，

，数列｛或｝构成首项为e,公比为e3的等比数列

e(l-g3n)e3"+'-e

13分

]-e3~e3-l

数列也,｝的前n项的和是7；=e'—e

9、已知等差数列｛4｝的公差大于0,且。3，%是方程一-14%+45=0的两根，数列｛2｝

的前A项和为S“，且S”=1一夕“

(1)求数列｛%｝、｛6“｝的通项公式；

(2)记c“=anbn,求证：c“+]<c„.(neN*)

19解：(1);&\旬一a：=2且的=1.

谑以1为首项，，2为公差的等差数列。2分

a：=2万一1又aK>0,：,a*=-j2n-1(»eN")

..........6分

(2)当“22时，；看=以一3=E一标1......8分

:.---F—H----1-----+—=4---F.z-<1+(^3-1)+(V5-六月)H----F

的a2aK1J372«-1

/22-1+-3=J2g-1

....................10分

又力=1时,」-=1=、/2xl-l,所以当neAT,

ai

.'.—H----F•■•H---VW2H-1

。2a*..............................................12分

方法二：数学归纳法

(1)当n=l时，左边=1,右边=1,不等式成立。

7分

(2)假设n=k结论成立,即:

111111r-~7

---1----F…4----I+,••H/4y/2k—1

a1。2a卜1-\/3J2A—18分

那么当n=k+l时，+'+••J-='+••+-/=+/■=WJ及-1+-」=

4%/］白V2^1辰+1V2U1

=^2k-\+,2<72^4+,2.=72^4+72^+1-72^4

Wk+\V21+1+V3P1

=7^71=』2(k+I)T

所以当n=k+l时，结论成立。

11分

综合以上(1)(2)不等式对于任意的〃eN*成立。

12分

(其它证法以例给分)

10、已知数列｛““｝的前”项和为S"，若q=2,n-an+l=S„+n(n+l)0

⑴令b“=(j2)M.S„,是否存在正整数加，使得对一切正整数〃，总有2<m,若存在,

求出m的最小值；若不存在，说明理由。

(2)令C,='g(〃eN+),｛C,,｝的前〃项和为7；,求证：4<3neN*。

解：(1)令〃=1,1・4=。1+1・2,即出一。1二2

1〃,%=S“+〃("+l)

由I

(n-l)-a„=S(l.1+n(«-l)

=«-%+i一(〃-1)%=册+2n=>an+l-an=2(n>2)

：%%=2，；.a“+i-a“=2(〃eN),

即数列｛%｝是以2为首项、2为公差的等差数列，Aa„=2n..........................2分

27

•••S“=n(n+1),bn=(-)"-5„=(?”•〃(〃+1)

.•.导=(g)(l+：)21,解得nW4,.........................................................................4分

.••4<W<“=&>%>%>……>b,>……

a=少320最32大0，...mN—,Am的最小值为4..............................................6分

458181

丁9i

•“，=。+。2+……%=Z72K

k=\akk=l7k

n1n6

<i+y.___________=i+E

k=2J(Z—1)(A+1)-J(Z+1)+(A—1)

n2

<1+Z+乙依-i）（%+i）9分.

k=27（^-i）（^+i）-（VT+T+VTH）k=2

1+Z(i一一r——)=1+(1+—------7=--1)<2+—<3.

MyJk_1y/k+12y/nJn+l2

分.

'-Tn<312

FLi

另解•,・(=C|+C2+.........%=£F=Z-/=T

&=]cikk=i7k

<1+\-；==

B&k_l)k(k+1)

=]+寸]_______2_<1+y]2

一+右京<+右展—l)(k+DJk+h

I<，1\、、“啦11、°加°

=1+〉(；——j=)=1+(1+-----=——1=)<2+——<3.

金Nk-1Nk+124nJ.+l2

I1<3。...............................................12分.

11、已知数列｛4｝满足:01=02=03=2,4+产。曾2…4T(O》3),记

bn_2=Q；+%4------卜a；-aia2…(心3).

(1)求证数列｛儿｝为等差数列，并求其通项公式；

(2)设c“=1+，•+/•,数列｛后｝的前0项和为工，求证：n<Sn<n+l.

b〃

解：⑴方法一当n23时，因4_2+…+“：-q/…。”①，

故"-I=a；+a2+.,,+4：+aLi-a\a2-"a„an^\®-........................................................2分

②-①，得6「，2=。3-《的…a”(a“+i-1)=〃3-(%+1)(",,“T)=L为常数，

所以，数列｛儿｝为等差数列..............................................5分

因bi=a；+a；+a；-qa2%=4,故bn=n+3..........................................................8分

-

方法二当n23时，。道2…。"=1+。"1，aia2"anan+i=l+an+2>

将上两式相除并变形，得alt=a„+2-all+l+\..........................................................2分

于是，当neN*时，

bn=af+«2+--.+a，一…4+2

-aaa

=a；+a；+a；+(%-q+1)+…+(«„+34+2+D-\2'",.+2

=a；+“；+“；+(a„+3-a4+«-!)-(>+a„+3)

=10+n-a4.

又2a3-1=7,故b"=n+3(neN*).

所以数列｛bj为等差数列，且b/n+3..........................................................................8分

h1।1(5+3)(〃+4)+1>

12分

(〃+3)2(n+4)2-(”+3)2(〃+4尸

(〃+3)(〃+4)+1山1=uJ1

(n+3)(及+4)(〃+3)(〃+4)M+3〃+4

所以5=(l+---)+(l+---)+---+(l+—--------!­)="+，,......15分

4556〃+3几+44〃+4

即n<Sn<n+l..................................................................................................................16分

方法二因q,=l+——+—^>1,故而>1，S„>n..................................10分

"(“+3)2(〃+4/7

,11,11

C=1H----------4----------<1H---------------------1------------------

"("+3)25+4)2("+2)(”+3)(”+3)(〃+4)

n+2n+4几+2〃+2

故&7<1+---，于是+―-—)<〃+1・........................................................16分

〃+2〃+2

12、已知数列｛%｝是各项均不为0的等差数列，公差为d,s,为其前〃项和，且满足

4；=$21，"WN*.数列｛4｝满足《=--—,7；为数列｛"｝的前"项和.

a“•°”+i

(I)求为、d和T.；

(II)若对任意的N*,不等式入7；<〃+8•(-1)"恒成立，求实数X的取值范围;

(HI)是否存在正整数机,〃(1<〃?<〃)，使得(，Tm,7；成等比数列？若存在，求出所

有机，〃的值；若不存在，请说明理由.

解：(I)解法一：在a；=S2“_|中，令〃=1,〃=2,

a,"=S],

得｛1,1即

a2=S3>

f2

a=3,

<](2分)

(〃]+d)?-3〃]+3d,

解得卬=1,d=2,................(3分)

/.an=2n-\.

=______1_()

anan+.(2〃-1)(2〃+1)22n-l2n+l

-----)=-----(5分)

2〃+12〃+1

解法二：•.•｛%｝是等差数列,,色+十2〃一1

2

4+.2,1

：.s2n-l一（2n-l）=（2/?-l）a„.（2分）

由an=S2n-1>得知2=Q〃T）%，

又丁a0,an=2/7—l,则。]=1,d=2・（3分）

(Tn求法同法一)

(H)①当〃为偶数时，要使不等式入(<〃+8・(-1)”恒成立，即需不等式

.（〃+8）（2〃+1）。8「卜一山一

A<---------i=2〃+—+17恒成立.（6分）

nn

Q

v2H+->8,等号在〃=2时取得.

n

二此时4需满,足4<25.（7分）

②当〃为奇数时，要使不等式九7；<”+8<-1)"恒成立，即需不等式

.（〃一8）（2〃+1）8,,八

A<------------------=2n-------15恒成v立%,……（8分）

nn

QQ

・・・2〃——是随〃的增大而增大，.•・〃=1时2〃-？取得最小值一6.

nn

・•・此时4需满足4<—21.……（9分）

综合①、②可得；I的取值范围是X<—21.……(10分)

1En

（III）7]-T=---------

3''〃2加+12〃+1

即，一二3

若工，7；〃，7；成等比数列，贝|J(—―)2…（11分）

2m4-132n+l4m~+4加+16〃+3

/、」、」m-n3-2〃?~+4〃？+1„

（法一）由一w--------=------,可得一=-------------->0,

4〃厂+4m+16/1+3nm~

即一2/??+4m+1>0,.......（12分）

1--<m<l+—.......（13分）

22

又且机>1,所以m=2,此时〃=12.

因此，当且仅当加=2,〃=12时，.数列也｝中的几小1成等比数列.……（14分）

Yl]|i

（法二）因为‘一=—故------------<-,即.2，〃2-4/n-l<0,

6〃+36+364m-+4/n+16

n

1-—<m<l+—>（以下同上）.（13分）

22

13、已知各项均为正数的等比数列仅“｝的公比为q,且0<q<g。

（1）在数列｛%｝中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由;

（2）若q=l,且对任意正整数出,-+4+2）仍是该数列中的某一项。

（i）求公比q；

（ii）若6“=-log*（应+1）,S"==+=+…+匕，7；=E+S2+…+S“，试用S20H

表水72sL

⑴由条件知：a“=qq"T,0<q<；,a,>0,

所以数列｛%｝是递减数列，若有4,am,（&<〃?<"）成等差数列，

则中项不可能是（最大），也不可能是。“（最小），.........2分

,nknk

若2a,n=ak+an。2q~=1+q~,（*）

由2q*kW2q〈l,1+qh~k>1,知（*）式不成立，

故4,an不可能成等差数列.......................4分

⑵。）方法—：%_%+]_。八2=qqi（i_q_r）=aMT-0+；）2+（，…6分

151

由_（4+]）2知，4_以+1_%+2<4<%1<…，

且4+2>4+2>®+3>…，....................8分

所以4--4+2=ak+\9即4~+2q—1=°，

所以q=V^-l,............................................10分

a9k

方法二：设cik—4+]—4+2=m贝!J1—q—彳=q"，...........6分

由]-q_q2e,1|知，九一k=1,即，〃=%+1,8分

以下同方法一.10分

(ii)b“=一,…12分

n

方法一：S=1+—+-+■••+—

"23n

7；,=l+(l+1)+(l+i+1、Z1111