高考数学二轮复习 第1部分 重点强化 6 函数与导数 第15讲 函数与方程教学案 理-人教版高三全册数学教学案

第15讲函数与方程

考纲要求真题统计命题规律锁定题型

分析近五年全国卷发现高考命题有以

了解函数的零点与方程年卷；

2017mT”下规律：

根的联系，了解指数函1.函数零点个数的判断

2017年I卷T、；函数的零点、方程根的个数的判定以及

数、对数函数及再函数的2.巳知函数的零点个数求参数的

2016年I卷马；应用零点存在性定理判断函数零点的

增长特征，了解函数模型取值范围

2014年I卷T”个数等是高考的热点,常与导致结合命

的应用.

黑，磋度较尢

题型1函数零点个数的判断

(对应学生用书第50页)

■核心知识储备.........................................................

1.零点存在性定理

如果函数y=f(x)在区间［a,。］上的图象是连续不断的一条曲线，且有/'(a)•f(6)<0,

那么，函数y=f(x)在区间(a,6)内有零点，即存在cG(a,6)使得f(c)=0,这个c

也就是方程/Xx)：。的根.

2.函数的零点与方程根的关系

函数尺x)=f(x)—以x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根，即函数y=f(x)的图象与

函数y=g(x)的图象交点的横坐标.

■典题试解寻法.........................................................

【典题1］(考查数形结合法判断函数的零点个数)己知定义在R上的函数/"(X)满足：①图

象关于(1,0)点对称；②f(—1+x)=f(—1—x)；③当xG［—1,1］时，f(x)=

1-x,x©[―1,0],

则函数y=f(x)—在区间［-3,3］上的零点个数为

cos万x,0,1],

()

A.5B.6

C.7D.8

①”等价转化

［思路分析］函数尸f(x)—R在区间［—3,3］上的零点个数------函数尸f(x)

Z1V数形结合

与函数在［—3,3］上的图象交点个数--------►下结论.

［解析］因为/"(一l+x)=f(—1—x),所以函数/"(X)

的图象关于直线x=-1对称，又函数/Xx)的图象关于

点(1,0)对称，如图，画出f(x)以及g(x)=(3在［—3,3］上的图象.由图可知，两

函数图象的交点个数为5,所以函数y=F(x)一(3在区间［-3,3］上的零点个数为5,

故选A.

［答案］A

2

【典题2】(考查应用零点存在性定理判断函数的零点个数)已知函数£(x)=xlnx-彳

―,e=2.71828…为自然对数的底数).

(1)求曲线尸f(x)在点(1,f(D)处的切线方程；

(2)讨论函数£,(x)的零点个数.

【导学号：07804105］

［解］(1)因为/；(x)=xlnx—

所以灯(x)=lnx+l—2x,

所以(1)=1—2=—1.

又f(l)=—1,所以曲线(x)在点(1,/；(1))处的切线方程为旷+1=—(》—1),

即y=­x.

2

(2)令£(x)=0,得xlnx一二=0(〃£N*,x>0),

n

所以〃Inx—x=0.

令g(x)=〃lnx—x,则函数£(x)的零点与函数g(x)=〃lnx—x的零点相同.

nn—Y

因为g'(x)=;­l=­［,令g'(x)=0,得

所以当力〃时，g’(x)<0；当0<X</7时g'(x)>0,

所以函数g(x)在区间(0,〃］上单调递增，在区间［〃，+8)上单调递减.

所以函数g(x)在x=〃处有最大值，且g(〃)=〃ln77.

①当〃=1时，g(l)=ln1—1=—1<0,所以函数g(x)=/?lnx—x的零点个数为0；

②当〃=2时，g(2)=21n2—2<21ne—2=0,所以函数g(x)=〃lnx—x的零点个数

为0;

③当〃23时，g{n)=nlnn—n=n(\n〃-l)2/7(ln3—l)>/?(ln6—1)=0,

因为g(e2")=〃lne2(,-en<2n-^"=2n2-(1+3)n<2n-1+3〃+”-"；「X9<2n

—[l+3r+3r(〃-l)]=­T?2—KO,且g⑴<0,

所以由函数零点的存在性定理，可得函数g(x)=〃lnX—X在区间(1,〃)和(〃，+°°)

内都恰有一一个零点.所以函数g(x)=〃lnx—x的零点个数为2.

综上所述，当力=1或〃=2时，函数£(x)的零点个数为0；当后3且时，函

数M的零点个数为2.

[类题通法]

1.求函数零点个数的两种方法：

1由函数零点存在性定理，结合函数的单调性判断；

2由函数的单调性及函数极值的正负来确定.

2.零点个数的讨论,对于不可求的零点，需要通过方程转化为初等函数的交点个数判

断.

3.零点讨论中的参数，针对参数的讨论有两个方向：一是方程根的个数；二是参数对

构造的初等函数图象形状的影响.

■对点即时训练.........................................................

[2,+2

-3

1.已知函数/2,则函数尸(x)=/[f(x)]—2f(x)—5的零点

lllog2X—lx>l

个数是()

A.4B.5

C.6D.7

3

A[(数形结合思想)令/1(x)=3则函数尺x)可化为y=/U)—2Lg,则函数Nx)

33

的零点问题可转化为方程f(t)—2e-2=0有根的问题.令y=F1)-2/-5=0,即

3

rtt)=2i+-,如图(1),由数形结合得t.=0,l<t2<2,如图(2),再由数形结合得，

当/"(x)=0时，x=2,有1个解，当/Xx)=七时，有3个解，所以网x)=/(f(x)]

—2/Xx)—]共有4个零点.

故选A.]

016017

2.函数f(x)=(/1+x—多x+x千x一----7x^77+7^x777、Icos2x在区间［—3,3］上零点的个数

\乙oquioUi//

为()

A.3B.4

C.5D.6

//y/oi6”

C［设函数g(x)=l+x—w+可-7-I----9nic+o017,力(X)=C0S2x,则/'(X)=

g(x)方(x),g'(x)=1—x+f—f+…—/。1。+「。”>=(］—x)+f(］—x)+...+1201」(］

—x)当一时，显然g'(x)20；g'(*)=l+x(x-1)+x"(x—1)H—

+”d),当"后3时,显然g'(x)>0,所以g(+在区间［-3,3］上是增函数,

又g(-l)<0,g(0)=l>0,所以g(所在区间［-3,3］上有且只有1个零点刘€(—1,0),

且照#一~十.方(x)=cos2x在区间［-3,3］上有4个零点：一牛，一p5，牛，

所以函数f(x)=g(x)从x)在区间［-3,3］上有5个零点.］

■题型强化集训........................................................

(见专题限时集训丁2、15、16、73、T.4)

题型2已知函数的零点个数求参数的取值范围

(对应学生用书第51页)

■核心知识储备........................................................

己知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法：

①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式

确定参数的值或取值范围.

②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决.

③数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.

■典题试解寻法........................................................

【典题1】(考查已知函数的零点个数求参数范围)(2017•太原二模)已知f(x)=fe»,若

函数/*)=/!(才)一如(0+1恰有四个零点，则实数/的取值范围是()

A.(—8,—2)U(2,+°0)

■2

求〃x令Fx—t

［思路分析］F(x)=?e'-------------►画F(x)的图象----------►g(x)有四个零点

数形结合

等价转化,(4、(4、二次函数根的分布

------->方程户-找+1=0在(0,司和仁，+8)各有1解------------►实数“

的取值范围.

［解析］(数形结合思想)/''(x)=xe'(x+2),令f(x)〉0,得/Xx)的单调递增区间

为(一8,—2),(0,+8),令/(%)<0,得f(x)的单调递减区间为(一2,0),所以

A-2)=4/>0为函数f(x)的极大值，A0)=0为函数f(x)的极小值，故f(x)20,

作出其函数图象如图所示.因为函数g(x)=/(*)-*f(x)+1恰有四个零点，令f(x)

=t,则关于力的方程「一日+1=。有两个不相同的根，记为力”友，且0<M4eT,4e

zl=A2-4>04e2

~\t2,所以_2,'解得冷了+不故选口

16e4Ae+KO

［答案］D

fIx|,xWm,

【典题2】(考查已知方程根的个数求参数范围)己知函数/1(x)=,°,,

［jr—2mx+im,x>m

其中勿>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=6有三个不同的根，则勿的取值范围

是.

【导学号：07804106］

等价转化

［思路分析］方程f(x)=8有三个不同的根------函数/'(X)与函数y=人有三个不

分类讨论数形结合

同的交点------►依据m的取值画函数/1(X)的图象------►求m的取值范围.

Ix\,xWm,。。

［解析］f(x)=,当x>/时，f(公=e-2mx+4m=(X-而z+

x-2mx+4m,x>m,

4m—m，其顶点为(m,4m—m)；当寸，函数f(x)的图象与直线x=/»的交点为0(m,

ni).

ni>0,

①当2、即0〈加W3时，函数/1(x)的图象如图⑴所示，易得直线y=人与

4m-m土拼,

函数Hx)的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；

［4z»-Mm,

②当即m>3时，函数f(x)的图象如图⑵所示，则存在实数。满足4m

［加>0,

—使得直线y=6与函数f(x)的图象有三个不同的交点，符合题意.

综上，)的取值范围为(3,+°°).

［答案］(3,+8)

【典题3】(考查导数在函数零点中的应用)(2016•全国I卷节选)已知函数f(*)=(x-

2)e'+a(x—l)2有两个零点，求a的取值范围.

分a=0,a>0,a<0

［思路分析］求/•'(x)----------------►求函数的单调性及极值

由fx有2个零点

----------►确定a的取值范围.

［解］f(x)=(>—l)e'+2a(x—1)=(x—1)(e*+2a).

①设a=0,则/'(x)=(x—2)e',/'(x)只有一个零点.

②设a>0,则当xC(—8,1)时，f(^)<0；

当xC(l,+8)时，f(x)>0,

所以/'(x)在(-8,1)内单调递减，在(1,+8)内单调递增.

又f(l)=—e,f(2)=a,取6满足6co且6cln*

则f(b)>|(Z>—2)+a(6—1"=/,一封〉。，

故f(x)存在两个零点.

③设aVO,由F'(x)=0得x=l或x=ln(—2a).

若a》一则ln(-2a)Wl,故当xG(l,+°°)W,f(x)>0,因此/"(x)在(1,+

8)内单调递增.

又当时，Ax)<0,所以『(%)不存在两个零点.

Q

若a<一］,则ln(—2a)>L故当xW(1,1n(-2a))时，f(x)<0；

当xC(ln(-2a),+8)时，f(x)>0.

因此/Xx)在(1,In(—2a))内单调递减，在(ln(-2a),+8)内单调递增.

又当xWl时，Xx)<0,所以/'(x)不存在两个零点.

综上，a的取值范围为(0,+8).

［类题通法］

己知函数的零点个数求参数取值范围问题的关键有以下几点：一是将原函数的

零点个数问题转化为方程根的个数问题，并进行适当化简、整理；二是构造新的函数，

把方程根的个数问题转化为新构造的两个函数的图象交点个数问题；三是对新构造的

函数进行画图；四是观察图象，得参数的取值范围.

■对点即时训练.........................................................

1.设5］表示不小于实数x的最小整数，如［2.6］=3,［—3.5］=-3.已知函数〃X)=［回2

-2W,若函数尸(王)=『(王)一幺(*-2)+2在(-1,4］上有两个零点，则实数X的取值范

围是()

一|,一1)U[2,5)B.-1,-|ju[5,10)

A.

<41「41.

C.一],-1U[5,10)D.—g,-1Uf[5,10)

B［令P(x)=O,得/'(x)=4(x—2)—2,作出函数产=F(x)

和y=A(x—2)—2的图象如图所示.若函数户(x)=f(x)

—4(x—2)+2在(一1,4］上有两个零点，则函数f(x)和

g(x)=%(x-2)—2的图象在(-1,4］上有两个交点.因为

g(x)过定点—(2,-2),经计算可得心=5,A/w=10,km

2「2、

=-1,履•=一§,所以k的取值范围是一1,—gj

U［5,10).故选B.］

2.已知函数/Xx)=e'，若关于x的不等式［f(x)『一2f(x)—a20在［0,1］上有解，则实数

的取值范围为.

【导学号：07804107]

222

(-8,e-2e][由[/(%)]-2AA)-a20在[0,1]上有解，可得aW[/U)]-2/(%)，

即aWe*—2e*.令g(x)=6?'—2e'(0W后1),则aWg⑸皿,因为OWxWl,所以

IWe'We,则当e'=e,即x=l时，g(x)“”=e'一2e,即aWe?-2e,故实数a的取值

范围是(-8,ez-2e].]

■题型强化集训.....................................................

(见专题限时集训「、13、74、Ty>%、T9、T|。、Til.T12)

三年真题I验收复习效果

(对应学生用书第52页)

1.(2017•全国IH卷)已知函数f(x)=?—2x+a(ei+e-+)有唯一零点,则a=()

C[法一：(换元法)7•(x)=f—2x+a(e'T+er+')=(x—l)2+a[ei+e7i>]—1,

令t=x-\,则g(。=f(t+l)=d+a(e'+e-')—1.

■:g(—t)=(­O'+ad'+e')—l=g(力，

函数以力为偶函数.

有唯一零点，...£1)也有唯一零点.

又g")为偶函数，由偶函数的性质知屋0)=0,

/.2a—1=0,解得a=；.

故选C.

,+,

法二：(等价转化法)f(x)=0»a(e'-+e^)=-7+2^.

e'T+ef24尸|'e"』2,

当且仅当x—\时取"=".

一*+2X=—(X-1)2+1W1,当且仅当x=l时取“=”.

若a>0,贝ija(e*T+e-E)22a,

要使/U)有唯一零点，则必有2a=1,即a=*

若aWO,则/Xx)的零点不唯一.

故选c.]

2.(2014•全国I卷)已知函数f(x)=a/-3/+l,若f(x)存在唯一的零点刘，且刘>0,则

a的取值范围是()

【导学号：07804108]

A.(2,+8)B.(—8,—2)

C.(1,+8)D.(-8,-1)

B\_f(x)=3af—6x,

当a=3时，f(力=9f-6x=3x(3x-2),

则当xc(—8,0)时，f(x)>0；

xd(0,