高中数学-归纳猜想证明教学设计学情分析教材分析课后反思

猜想、归纳、证明

--------数学归纳法的应用教学设计

一、教学设计思路

本节课学习是一个开放性、研究性且具有挑战性的课题，为学生提供了一个思考、探究

的平台，这样的活动显然不能通过讲解、告知的方法，只能让学生在解决问题的过程中去

体验、领悟，获得解决问题的方法和途径，所以我选择了以“自主探索，大胆猜想一一启

发诱导，数学证明一一分组讨论，合理拓广”为主的教学方法.不断经历猜想、判断、证

实或修正，综合运用推理证明中的归纳、类比、数学归纳法等知识，由特殊到一般地探索

与发现的过程，让学生在“做”中“学”，体验以数学的方式来“做数学”，感悟处理问

题的策略和方法。

教学时要为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及

时交流自己的想法和做法，可以采用小组合作的方法进行教学，注意问题的连贯性和前后

内容的一致性，引导学生分类研究，由特殊到一般，启发学生发现更一般性的结论，寻找

一般性的解决方法，对不同学生有不同要求，鼓励主动参与、积极思考、让每位学生都获

得成功的体验；关注学生活动过程，包括是否能：发现新问题、尝试从不同角度思考，善

于归纳总结等。

在学习方法上，应充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自己观察、大胆猜

想、进行小组讨论和交流、师生共同归纳总结，体验学习的过程.

为了把课堂延伸到课外，我设计了课前预习微课和课后巩固微课；让数学学习可以在

家中继续。

二、课前学生自学课前预习微课：

归纳猜想证明课前预习微课

例1：分析下述证明2+4+....+2n=n2+n+l的过程中的错误：

证明：假设当n=k时等式成立，即：2+4+....+2k=k2+k+l,那么

2+4+....+2k+2(k+l)=k2+k+l+2(k+1)

=k2+k+l+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,即当n=k+l时等式也成立。因此对于任何n为正整数等式

都成立。.

例2：证明：,+2+2+…+j+-!-=1—'

222232"T2"2"

例3：已知/5)=,+』+…其中n为大于2的整数，设数列｛&｝的各项为正，且满

23n

77〃h

足％=她>0),64灯(〃>1)；证明：a<——-——(〃>2)。

〃+4-1n\+f(ri)-b

练习：

1、用数学归纳法证明+〃<”+1。

2、已知数列｛6,｝中，出=3,前n项和S”满足条件$产6-231«计算a21a%&,然后猜想a„的表达

式，并证明你的结论。

三、课堂全景实录：

归纳、猜想、证明

——数学归纳法的应用

（一）、教学内容分析

归纳法是曲一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法.归纳法分为不完全归纳

法与完全归纳法.对于无穷尽的事例，用不完全归纳法去发现,规律，得出结论，并设法予

以证明，这就是“归纳一猜想一论证”的思维方法.教材在介绍归纳法的基础上，通过例

题，引导学生体验和学习这种科学研究的思维方法.论证时采用的数学归纳法是证明与自

然数有关命题的一种重要方法，是演绎推理.本节内容将归纳推理和演绎推理紧密结合起

来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识.

（二）、教学目标设计

1,了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的适用情况和

证期步骤.

2.通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归纳法证明的

思想方法，获得对于“归纳一猜想一论证”过程的体.验，初步形成在观察的基础上进行归

纳猜想和发现的能力.

3.体验概念形成过程，引起对“归纳一猜想一论证”思维方法的兴趣，提升数学素养.

（三）、教学重点与难点

重点：“归纳一猜想一论证”思维方法的渗透和学习.

难点：对数学归纳法的进一步理解和应用.

（四）、教学流程设计

（五）、教学过程设计

36人分成6组，四人一个小组；四桌坐六人，共6个小组（打好组排）

1.引入

同学们，前面我们学习了推理和证明，请观察下面这段视频中用到了哪些数学方法？

播放牛顿与苹果的视频。

牛顿为什么要试飞呢？

【因为牛顿想验证有翅膀的动物是否也下落，结果证实了猜想。】

【用到了什么数学方法呢？］（类比、归纳）

【非常好，归纳、猜想和证明是科学研究的基本方法之一，也是这一节课的主要内容

（板书课题）】

【下面请同学们看学案思考题，先独立思考，（约2分钟后）然后小组讨论。】

提醒学生讨论

思考题：仔细观察下列各式你能分别做出什么一般性的猜想？

（1）

1=一1,1”+“1=-1---1--+---1--+1,=3

2x48'2x44x66‘2x44x66x816

274+4^6+6^8+8x10-5

（2）a=-1=<=—1=H*-J=<V2,c=-1=H—\=H--<A/3

V2V2V6V2V6V12

,1,11,,1111113

2232345672

⑶11111C

1+-+-+—+•••+——>2

23415

大约5勿•钾后【先请学生回答，并上黑板板书，把名字写在猜想结论之前；并解释你是根

这个题目的哪个特点猜想出结论的？】

据

1111n

由此猜测，(+…+三力一；一

1)_______+2x44x6+6x82n(2n+^27)=74(〃+1)

1111

————-4-——-I—•••-4-——<<\/r1?

(2)VTTIVMA/3^4+

1+W+…

2342"-12

【让学生板书结束后，直接说明根据哪个特点得出猜想的。同时：其它同学认真听，如果

有错误或不同想法请举手示意。】

街接【我们已经得出了三个猜想，下面就让我们证明一下这三个猜想是否正确吧。由（1、

2）两个小组证明猜想1；（3、4）两个小组证明猜想2；（5、6）两个小组证明猜想3.】

让学生先独立证明,再此过程中,找三名同学上黑板板书1、3.准备好投影。找同学后

【请同学们组内互相交流一下你的想法。】

（3）板演找一个典型错误。

【现在各小组来汇报一下你的成果。其他同学认真听，若论证有错或你有更好的论证方法

请举手示意。】

让学生讲自己的思路,教师点评。

【汇报完后（第一组）（1）点评肯定学生，（2）强调书学归纳法的步骤：数学归纳法有

三步：（1）初值检验（2）递推证明（3）得出结论（用红色笔标出归纳假设。其它同学还

有其它方法吗？）】

【让学生上黑板投影；点评：（肯定学生（2）在用数学归纳法证明递推性时要学会灵活使

用用到综合法、分析法和反证法等数学方法。））】

（2）

（3）板演,讲出错,其它同学指出来

，指出错误

【在数学归纳法的证明中要注意等式左边分母是连续自然数,截止到2"-1,由n=k到n=k+l

要注意增加的项数。】

【(肯定学生，在证明递推性时要注意观察左边变化的规律，注意改变量是多少。】

思考题1:

1111n

---------1-----------1F•••H=--------------

2x44x66x8-----2n(2n+2)4(n+l)

证明方法一：

1

(1)当n=l时，左边=8=右边成立；

(2)假设当n=k时成立,

1111k

即：2x44x66x82%(2%+2)4(攵+1)

则n=k+l时，

11111

---------1-----------1F•••H1------------------------------

2x44x66x8-----2%(2&+2)(2%+2)(22+4)

1

=____k____I----------------------------=___k_+__\__

4(%+1)(2%+2)(2%+4)4(攵+2)

所以，当n=k+l时成立。

由数学归纳法对正整数都成立。

证明方法二：

1111

---------1----------HF•••H

2x44x66x8----2〃(2〃+2)

1111111.

——(----------1-------------P••,---------------------)

224462〃2〃+2

—_1/z_1_____1__,I—___n___

~222〃+2-45+I)

思考题2：

证明方法一:

(1)当n=l时左=正＜1=右，成立。

(2)假设命题当n=k时成立：即

1111

—7=^^=d4+…—<4k

71x2J2x3J3x4Ji(6+1)

则当n=k+l时:

11

4—]=

〃出+1)J(』+l)(A+2)

要证：

y/~k+―/=<Nk+\

J优+1)伏+2)

即证:/1<y/k+l—y/k-i1--产

收+l)(k+2)/k+\+4k

也即4(k+l)(Z+2)>VT+1+4k

平方：(也(A+1))2-2Mz+1)+1>0

即：(也伏+1)-1)2〉0

而以上各步可逆，所以当n=k+l时成立。

由数学归纳法可知，对所有正整数都成立。

(采用分析法可以为解题开辟思路】

证明方法二：对原式构造两个n维向量：

——1]1

。二(1,1，…[),〃=(I,/，…，I^=)

Vlx2J2x3JMX(H+1)

则原式左边二a-b<4-」一+…+---------)=.n(l------)<4n

\1x22x3nx(n+l)vn+1

思考题3：

egI111几

猜想1H1F,••4----->-9

232"-12

下面用数学归纳发证明：

(1)当n=l时，左边=1,右边=’,不等式成立;

2

(2)当n=k时，不等式成立：

1+3+…+4〉支

232人一12

〜，1111k11

232*-12i+1-l22k2k+'-\

k2*k+\

>—I-/~r=----

22k+]2

所以，当1!=1<+1时也成立；由数学归纳法对所有正整数都成立。

方法二：放缩法：

1+LL1+…+」+-----1----1-----1_1>

23222"~'2W-1+1--------2〃-1-

,71-1774-1n

1+-----=------>—

222232"222

选题目的：经历和体验“归纳一猜想一论证”的完整过程，理解掌握这一重要的思维方

法.

【下面请同学们回忆一下猜想、论证的过程，谈一下你的感受。】

让学生总结,并引导,这节课经过大家猜想、论证发现了什么呀?

（六）、小结

本节课主要学习用“归纳一猜想一论证”的方法分析和解决问题.

归纳一猜想一论证是分析和解决问题的常用方法，它经历三个过程：尝试、观察

特例、体验、归纳猜测一般规律、证明猜想.要求在分析和解决问题时要“大胆假设，小

心求证”.大胆假设，也就是大胆猜测，这是探索发现真理的重要手段，是创造的源泉；

但对猜想要小心求证，这是思维严谨的体现.在证明过程中，进一步学习了如何用数学归

纳法进行演绎推理证明.

【同学们都说出了自己的感触，体会到归纳、猜想、证明是一个重要的数学方法。同学们：

请大家记住：数学学习不仅仅是解题，重要的是通过知识的学习，学会用数学的眼睛

去观察世界，用数学方法去看待问题、解决问题，这才是数学素养的内涵，也是我们学习

数学的价值所在。】

（七）.作业

（1）微课中的例题（2）微课中的练习。

课后思考题；

1：通过计算比较下列各组中两个数的大小

1、⑴F和21⑵2,和3?⑶34和4,

(4)4'和5’(5)5,和Y

（八）、教学建议与说明

1.以问题为中心.通过对问题1的分析与解决，追根溯源，提出疑惑.通过对问题2,

3,4的感受体验，思维冲击，大胆质疑.通过分析解决例题1,形成方法.

2.以思维方法为主线.应切实让学生感受“归纳一猜想一论证”这一重要数学思维方

法的发展过程和理性认识，将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这

一重要的数学思想有一个整体认识.

（九），板书设f--------------------------------

课题

猜想1猜想3

猜想2

四、课后复习微课：

数学归纳证明课后微课

例1：已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b为实数都满足

/（。。）=叭/?）+灰口）,若/（2）=1,凡=%’.

2n

⑴求/2）、/'（'）、/'（-!-）的值；（2）猜测数列｛《,｝的通项公式，并用数学归纳法证明。

4816

X11

例2.已知函数/（x）=/—f+'+w且存在与€（0,5）,使/（入0）=/：（1）证明：/（幻

在R上单调增函数。（2）设X]=0,x,+]=/（x.），x=g，y.+i=/（笫），其中n=l,2......

证明：

x”<xn+l<x0<yn+l<yn;

sinx

例3.已知函数/,=——（x>0）,设£i（x）为力的导数，n为正整数，证明：对任意

x

的正整数n,等式|<|=方-都成立。

练习1：等比数列｛凡｝的前n项和为Sn,已知对任意的n为正整数，点（n,Sn）均在函数

y="+rS>0//1,）的图像上。（1）求r的值。（2）当b=2时，记

bn=2(log,an+1),〃GN*,求证：仇+1•瓦”...%+1>J〃+1o

hb2b„

2.数列｛4｝满足S„=2n-a„,n为正整数，先计算前4项后猜想a”并用数学归纳法证明。

附录1：学生学习导学案

学案

山东省实验中学数学导学案

人教B版数学选修2-2第2章7节课题：归纳、猜想、证明

——数学归纳法的应用

编号：编制人张庆国审核人张永花

执教教师张庆国学生姓名

1.了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的

适用情况和证期步骤.

2.通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归

学习

纳法证明的思想方法，获得对于“归纳一猜想一论证”过程的体验，初步形成

目标

在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力.

3.体验概念形成过程，引起对“归纳一猜想一论证”思维方法的兴趣，提升数

学素养.

重点难重点“归纳一猜想一论证”思维方法的渗透和学习.

点预测难点对数学归纳法的进一步理解和应用.

知识

清单

学习过程学法指导疑难梳理

一、自主预习，温故知新

(独学)

观看课前微课《归纳、猜想、证明课前预习》.

结论:复习巩固数学归纳法。

练习：微课中的练习

二、引入课题，激发兴趣

观看视频

三、合作探究，归纳展示

（对学、群学）

1、大胆猜测

思考题：仔细观察下列各式你能分别做出什么一般性的猜想？

__1_=_1___1__1___1_=_1___1__|___1__|__1__=_3_

⑴2x482x44x6652x44x66x816’

11111

++-1~-

2x44x66x88x105

你猜的结论是：__________________________________________

（4）a=-1=<Vl,b=-4=+-\=<V2,c=-1=+-}=+J—<V3

V2V2V67276Vl2

你猜的结论是：_________________________________________

,1,11,,1111113

1>—,1+—+—>1,1+—+—+—+—+—+—〉一

2232345672

（5）,1111c

23415

你猜的结论是：___________________________________________

2、小心求证：

证明你的猜测并把证明过程依次写在相应的题号下面：

思考题1：

思考题2：

思考题3:

实战小结：

四、讨论交流，点拨提升

课堂小结：

五、学能展示，课堂闯关

思考题：通过计算比较下列各组中两个数的大小

1、(1)12^2'(2)2^和?(3)3,和4,(4)4,和54(5)56和6,

2、在仔细观察、分析和研究1的基础上，猜测

n,””和(/1尸的大小关系，并加以证明。

3、根据2中得出的一般结论，试比较20172tHs和2018刈，的大小。

4、课后请看《归纳、猜想、证明》数学归纳法的应用微课《高考题中

的数学归纳法证明的常见问题》

我学到的知识我学到的方法与思想我今后还要

学努力做好

后

反

思

猜想、归纳、证明

--------数学归纳法的应用学情分析

虽然高二学生已经具有一定的逻辑思维能力，但他们的逻辑思维能力是初步的，尤其

是学生的基础又参差不齐，为此教学要照顾全体，注重提高差生兴趣，耐心讲解，耐心辅

导，循序渐进。为了更好地完成本节课的教学任务，让学生尽快掌握知识和方法，针对学

生的认识规律，借助电教及多媒体教学手段，通过实例，使学生直观感觉、猜想、观察体

会数学的奇妙，在此基础上进一步寻求证明猜想，先让学生自己独立思考，看能否调动前

面已经学过的数学知识，做到：不俳不启、不俳不发。让学生充分体会后讨论，在讨论中

提高，然后再讲解、总结，做到：举一而三反。使学生的认识上升到理性认识，在此过程

中培养学生善于交流，积极进取的良好情感。教无定法，教必有法，贵在得法。荷兰数学

教育家弗赖登塔尔认为，学习数学归纳法的正确途径是，向学生提出一些必须用数学归纳

法才能解决的问题，迫使他们直观地使用这个方法，从而发现这个方法，在学生发现和懂

得这个方法之后再帮助他们用抽象的形式把它叙述出来。根据本节课的内容特点和教学目

标，我采用启发，引导，探索式相结合的方法，将逻辑演绎编写的教材还原成生动活泼的

思维创造活动，启发学生积极思考，勇于探索，激发学生的兴奋点，从而使学生产生浓厚

的兴趣，发挥学生的主观能动性，体现学生的主体作用。

根据本节内容的特点，为了更有效地突出重点，突破难点，增大课堂容量，提高课堂效率，

使学生尽快掌握本节的教学内容，除采用常规的教学手段外，特采用多媒体教学手段，激

发学生兴趣，强化记忆，节省教学时间，会收到事半功倍的效果。

附录1:学生学习学案

山东省实验中学数学导学案

人教B版数学选修2-2第2章7节课题：归纳、猜想、证明

数学归纳法的应用

编号：编制人张庆国审核人张永花

执教教师张庆国学生姓名

1.了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的

适用情况和证期步骤.

2.通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归

学习

纳法证明的思想方法，获得对于“归纳一猜想一论证”过程的体验，初步形成

目标

在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力.

3.体验概念形成过程，引起对“归纳一猜想一论证”思维方法的兴趣，提升数

学素养.

重点难重点“归纳一猜想一论证”思维方法的渗透和学习.

点预测难点对数学归纳法的进一步理解和应用.

知识

清单

学习过程学法指导疑难梳理

二、自主预习，温故知新

（独学）

观看课前微课《归纳、猜想、证明课前预习》.

结论:复习巩固数学归纳法。

练习：微课中的练习

三、引入课题，激发兴趣

观看视频

三、合作探究，归纳展示

（对学、群学）

1、大胆猜测

思考题：仔细观察下列各式你能分别做出什么一般性的猜想？

__1=_1___1_1__1_=1____1_1__1__1_1__=_3

（D2x48'2x44x66'2x44x66x816’

11111

+++—

2x44x66x88x105

你猜的结论是：__________________________________________

（6）a=—1=<Vl,b=-4=+-4=<V2,c=-4=+—1=+v百

V2V2V67276VLl2

你猜的结论是：_________________________________________

,111,1111113

1>—,1+-+->1,1+-+-+—+-+-+—>-

2232345672

(7),1111.

23415

你猜的结论是：___________________________________________

2、小心求证：

证明你的猜测并把证明过程依次写在相应的题号下面：

思考题1s

思考题2；

思考题3:

实战小结：

四、讨论交流，点拨提升

课堂小结：

五、学能展示，课堂闯关

思考题：通过计算比较下列各组中两个数的大小

1、(1)1?和T(2)2,和1(3)34和1(4)4$和5’(5)5、和6$

2、在仔细观察、分析和研究1的基础上，猜测

和(n+l)n的大小关系，并加以证明。

5、根据2中得出的一般结论，试比较2017Ms和2018刈，的大小。

6、课后请看《归纳、猜想、证明》数学归纳法的应用微课《高考题中

的数学归纳法证明的常见问题》

我学到的知识我学到的方法与思想我今后还要

学努力做好

后

反

思

课堂效果分析

数学常规课堂教学效果分析表

课题归纳、猜想、证明班级高二12班时间4月11日

科目高二数学授课人张庆国评课人张永花

丸行效果

项目内容很好较有待

好般改进

语言准确、简练、生动、流畅。

教师

身体语言（教态）利用恰当，对学生学习产生正面影

教学

响。

基本

V

功板书、板图计划周密、工整、规范；教学媒体、教具

选择合理，操作熟练。

问题设计合理，意图明确；给予学生思考的时间和空V

师

间充裕。

生

正确领会学生的发言，适时、适当评价；恰当使用表V

教

扬、批评。

学

V

活学生充分经历数学活动，活动设计合理，基础知识、

动基本技能得到提高。

生生合作交流、互动热烈，有实效。V

教学教学目标明确，重点突出，难点突破。V

目标

结构简洁、清晰，层次分明。V

与结

构完成本课时教学计划，能根据实际情况适时应变。V

通过本节课的学习，学生掌握基础知识扎实，基本技能得到很好的训练和培

养。通过让学生在合作交流中学习有效的培养了学生学习能力和良好的道德情感

价值观。还有微课的引入对本节课增色不少，探索课外引导学生学习提供了非

常重要的思路。通过对比实验可以发现，有了微课学生对数学归纳法的出错几率

亮

点大大降低，从而提高了课堂效率。把课堂真正的还给学生，才能真正的让学生理

及

解数学学、做数学最后才能激发出学习兴趣，真正的爱上数学。在本节课中学生

改

进是课堂的主体，通过学生表情的猜测、证明的过程，回答问题、练习、交流、测

建

议试等信息反馈，可获知教学信息的传输是畅通的，亦可看出新知识新技能的掌握

是扎实的。教学任务完成的很好，包括大多数中下学生同样也通过有效的课上练

习掌握了知识。从而反映出任课教师较高的教学水平。

总之，本节课在教师的引导帮助下，全体学生的潜力得到很大限度的挖掘，

智力好的学生吃得饱，中等水平的学生吸收得好，差的学生消化得了，学生人人

学有所得。课堂教学中充分体现师生平等、教学民主的思想，师生信息交流畅通，

情感交流融洽，合作和谐，配合默契，教与学的气氛达到最优化，课堂教学效果

达到最大化。教师教得轻松，学生学得愉快。很好的完成了教学任务。

附件1:学生学习学案

山东省实验中学数学导学案

人教B版数学选修2-2第2章7节课题：归纳、猜想、证明

——数学归纳法的应用

编号：编制人张庆国审核人张永花

执教教师张庆国学生姓名

1.了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的

适用情况和证期步骤.

2.通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归

学习

纳法证明的思想方法，获得对于“归纳一猜想一论证”过程的体.验，初步形成

目标

在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力.

3.体验概念形成过程，引起对“归纳一猜想一论证”思维方法的兴趣，提升数

学素养.

重点难重点“归纳一猜想一论证”思维方法的渗透和学习.

点预测

难点对数学归纳法的进一步理解和应用.

知识

清单

学习过程学法指导疑难梳理

三、自主预习，温故知新

（独学）

观看课前微课《归纳、猜想、证明课前预习》.

结论:复习巩固数学归纳法。

练习：微课中的练习

四、引入课题，激发兴趣

观看视频

三、合作探究，归纳展示

（对学、群学）

1、大胆猜测

思考题：仔细观察下列各式你能分别做出什么一般性的猜想？

111111113

⑴2x4-8'2x44x6-6,2x44x66x8-16’

11111

111—

2x44x66x88x105

你猜的结论是：__________________________________________

(8)a=—<Vl,b=+—!=<V2,c=-4=-4--4=+—j=<V3

V2V2V6V2V6V12

你猜的结论是：_________________________________________

.1,11,,1111113

1>—,1+—+->1,1+-+-+—+-+—+—>—

2232345672

(9),1111c

23415

你猜的结论是：___________________________________________

2,小心求证：

证明你的猜测并把证明过程依次写在相应的题号下面：

思考题1：

思考题2：

思考题3:

实战小结：

四、讨论交流，点拨提升

课堂小结：

五、学能展示，课堂闯关

思考题：通过计算比较下列各组中两个数的大小

1,(1)1?和2[(2)2,和3,(3)34和d(4)45和5,(5)5,和65

2、在仔细观察、分析和研究1的基础上，猜测

和(n+l)”的大小关系，并加以证明。

7、根据2中得出的一般结论，试比较2017刈$和201821n7的大小。

8、课后请看《归纳、猜想、证明》数学归纳法的应用微课《高考题中

的数学归纳法证明的常见问题》

我学到的知识我学到的方法与思想我今后还要

学努力做好

后

反

思

猜想、归纳、证明

--------数学归纳法的应用教材分析：

《猜想、证明、证明》是人教版教科书《数学》选修2-2第二章第3单元第2节数学

归纳法应用举例部分，处于推理证明这一章的最后一节的最后一个部分；下一张是复数；

笔者一直认为作为第二章的尾节，作用有对前面各章节的总结和综合训练；就好像从整个

高中数学教材中的复数一样是整个高中数学的收尾之章。作为本节要求学生从知识与技能

上要探索“任意给定一个条件，能否推出一个一般的命题。”的议题.从过程与方法上要

经历猜想、证明、证明的数学思考过程，体验相应的数学思想方法，发展学生的推理能力；

并在解决问题的过程中综合应用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体

性认识.从情感态度价值观上要通过反思自己及同伴解决问题的过程，使学生提出问题的

能力得到发展并在求解相应的“问题串”中，使学生体会到不同数学领域之间的联系.

本节课学习是一个开放性、研究性且具有挑战性的课题，为学生提供了一个思考、探究

的平台，这样的活动显然不能通过讲解、告知的方法，只能让学生在解决问题的过程中去

体验、领悟，获得解决问题的方法和途径，所以我选择了以“自主探索，大胆猜想一一启

发诱导，数学证明一一分组讨论，合理拓广”为主的教学方法.不断经历猜想、判断、证

实或修正，综合运用推理证明中的归纳、类比、数学归纳法等知识，由特殊到一般地探索

与发现的过程，让学生在“做”中“学”，体验以数学的方式来“做数学”，感悟处理问

题的策略和方法。

教学时要为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及

时交流自己的想法和做法，可以采用小组合作的方法进行教学，注意问题的连贯性和前后

内容的一致性，引导学生分类研究，由特殊到一般，启发学生发现更一般性的结论，寻找

一般性的解决方法，对不同学生有不同要求，鼓励主动参与、积极思考、让每位学生都获

得成功的体验；关注学生活动过程，包括是否能：发现新问题、尝试从不同角度思考，善

于归纳总结等。

在学习方法上，应充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自己观察、大胆猜

想、进行小组讨论和交流、师生共同归纳总结，体验学习的过程.

附录1:学生学习学案

山东省实验中学数学导学案

人教B版数学选修2-2第2章7节课题：归纳、猜想、证明

——数学归纳法的应用

编号：编制人张庆国审核人张永花

执教教师张庆国学生姓名

1.了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的

适用情况和证朋步骤.

2.通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归

学习

纳法证明的思想方法，获得对于“归纳一猜想一论证”过程的体.验，初步形成

目标

在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力.

3.体验概念形成过程，引起对“归纳一猜想一论证”思维方法的兴趣，提升数

学素养.

重点难重点“归纳一猜想一论证”思维方法的渗透和学习.

点预测难点对数学归纳法的进一步理解和应用.

知识

清单

学习过程学法指导疑难梳理

四、自主预习，温故知新

（独学）

观看课前微课《归纳、猜想、证明课前预习》.

结论:复习巩固数学归纳法。

练习：微课中的练习

五、引入课题，激发兴趣

观看视频

三、合作探究，归纳展示

(对学、群学)

1、大胆猜测

思考题：仔细观察下列各式你能分别做出什么一般性的猜想？

111111113

___=______1____=______1_____1____=__

⑴2x482x44x662x44x66x816’

11111

111—

2x44x66x88x105

你猜的结论是：__________________________________________

(10)a=<VT,h=H—<V2,c=—1=^H—H—<V3

V2V2V6V2V6V12

你猜的结论是：_________________________________________

,1,11,1111113

1>—,1+—+->1,1+-+-+—+-+—+—>—

2232345672

(11),1111.

1+—+-+—+•••+—>2

23415

你猜的结论是：___________________________________________

2、小心求证:

证明你的猜测并把证明过程依次写在相应的题号下面：

思考题1：

思考题2：

思考题3:

实战小结：

四、讨论交流，点拨提升

课堂小结：

五、学能展示，课堂闯关

思考题：通过计算比较下列各组中两个数的大小

1、(1)F和T(2)2,和3。(3)34和4,(4)4,和5,(5)56和6$

2、在仔细观察、分析和研究1的基础上，猜测

和(n+1)"的大小关系，并加以证明。

9、根据2中得出的一般结论，试比较2017犯8和201嗽"的大小。

10、课后请看《归纳、猜想、证明》数学归纳法的应用微课《高考题

中的数学归纳法证明的常见问题》

我学到的知识我学到的方法与思想我今后还要

学努力做好

后

反

思

猜想、归纳、证明

--------数学归纳法的应用评测练习

1:分析下述证明2+4+.....+2n=n2+n+l的过程中的错误:

证明：假设当n=k时等式成立，

即：2+4+.....+2k=k2+k+l,

那么2+4+.....+2k+2(k+l)=k2+k+l+2(k+l)

=k2+k+l+2(k+l)=(k+l)2+(k+l)+l,

即当n=k+l时等式也成立。

因此对于任何n为正整数等式都成立。.

2.观察下列等式，并从中归纳出一般结论：

1=『，1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,.......

3.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，oooeeoooeeooo-,按这

种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是.

7598139b+mb

4.由一>—,—>—,——>一，…若a>b>0,m>0,则与一之间的大小关系

10811102521a+ma

为.

11.

5.设〃22,〃£?/,(2x+—)n-(3x+—)M=%+4然+生无+…

+a„x",将|%|(0WZW〃)的最小值记为T“，则(=0,1=J-5,4=0,

4=最一"，…，(，…其中4=--------------------

6,在矩形纸片内有〃个点，连同矩形的4个顶点共(〃+4)个点，这(〃+4)个

点中无3点共线，以这些点作三角形的顶点，把矩形纸片剪成若干个三角形，这些三角形

纸片的个数记为｛4｝.⑴求4,%%；⑵求｛4｝中风与q,T(/N2)之间的关系；

7,观察下列两式：①tanl0°-tan20°+tan20°-211600+tan60°-tanl0°=1；

②tan5°-tan10°+tan10°-tan750+tan75°-tan5°=1.

分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式.

8,已知RtAABC的内切圆半径r=-------/,,是直角边长);那么,在有一

a+b+yja2+b2

个顶点P处侧棱相互垂直的三棱锥P-ABC中,记RtAPAB,RtAPBC,RtAPAC的面积分别

为S”S2，S3,猜测这个三棱锥的内切球半径/•的表达式,并证明.

C211I11,1

9:证明：万+齐+初+…+尹+f=1一牙

10、已知/(")='+'+…其中n为大于2的整数，设数列｛4｝的各项为正，且满足

23n

na

=b(b>0),an<-'-'-'-(n>1)；证明：an<-----------(〃>2)。

〃+%l+f(n)-b

11、用数学归纳法证明J"+九<"+]。

12、已知数列｛%｝中，a,=3.前n项和S„满足条件S“=6-2a”“计算a2,a3)也,然后猜想演的表

达式，并证明你的结论。

13：已知函数/(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b为实数都满足

/(4。)=叭。)+灰4),若/(:)=1,4"="2).

2n

(2)求/(L)、/-(-)./'(-!-)的值；(2)猜测数列｛%｝的通项公式，并用数学归纳法证明。

4816

V*11

14、.已知函数/(*)=/—/+彳+^且存在两€(0,]),使/5)=/：(1)证明：/(幻

在R上单调增函数。(2)设X=0,x“+]=/(x,,)，x=：，笫+1=/(%)，其中0=1,2......

证明：

X”<4+1</<%+1<%；

sinx

15、.已知函数4=——。>0),设/1。)为工1(1)的导数，n为正整数，证明：对任意

x

的正整数n,等式|相<(?)|=5-都成立。

16、等比数列｛%｝的前n项和为Sn,已知对任意的n为正整数，点(n,Sn)均在函数

y=b'+rS>0力/1,）的图像上。（1）求r的值。（2）当b=2时，记

bn=2（log,an+1）,neN*,求证：•仇+L.4+1>J〃+1。

b\b2b„

17、.数列｛4｝满足S.=2n-a„,n为正整数，先计算前4项后猜想a”并用数学归纳法证明。

附件1：学生学习学案：

山东省实验中学数学导学案

人教B版数学选修2-2第2章7节课题：归纳、猜想、证明

——数学归纳法的应用

编号：编制人张庆国审核人张永花

执教教师张庆国学生姓名

1.了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的

适用情况和证期步骤.

2.通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归

学习

纳法证明的思想方法，获得对于“归纳一猜想一论证”过程的体.验，初步形成

目标

在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力.

3.体验概念形成过程，引起对“归纳一猜想一论证”思维方法的兴趣，提升数

学素养.

重点难重点“归纳一猜想一论证”思维方法的渗透和学习.

点预测

难点对数学归纳法的进一步理解和应用.

知识

清单

学习过程学法指导疑难梳理

五、自主预习，温故知新

（独学）

观看课前微课《归纳