数学选择性必修第一册5数学选择性必修第一册42二项式系数的性质

4.2二项式系数的性质

I川川川川I川川川川川川川川川I川川川I川川川川川川川川川山即囱即陶•I课I前I预I习］乃川川用勿"勿川"勿"川川川川川川川川川“出川川川”,

(教材要点］

要点一杨辉三角的特点

(1)在同一行中每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数.

(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的，即C3+1

要点二二项式系数的和

(l)Cg+*+髭+…+喘=.

(2)己+鬣+第+...=墨+髭+然+・••=.

状元随笔对于2n=3+禺+鬣+…+喘，也可以从集合的角度解释.设A是含有n

个元素的集合，求A的子集个数时，可以按照子集中含有元素的个数进行分类：没有元素的

子集(即空集)有3个，含1个元素的子集有最个，含2个元素的子集有

鬣个......含n个元素的子集有3个，故所有子集的个数为田+禺+量+…+喘

=2n.

［基础自测］

1.思考辨析(正确的画“J”，错误的画“X”)

(l)(a+b)"的展开式中，二项式系数具有对称性.()

(2)二项展开式的二项式系数和为C"鬣+♦♦•+*.()

(3)二项式展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和.()

(4)二项展开式项的系数是先增后减的.()

2.(1-2x)15的展开式中的各项系数和是()

A.1B.-1

C.215D.315

3.若(l+3x)"的展开式中，第3项的二项式系数为6,则第4项的系数为()

A.4B.27

C.36D.108

4.(2%-I"展开式中各项系数的和为；各项的二项式系数和为

I川川川川"W"田川川川川川卅川川川川川川川川川卅川“1国国隰国•I课卜矍解逅加加依

题型一杨辉三角

例1如下图，它满足：①第〃行首尾两数均为〃；②表中的递推关系类似杨辉三角，则

第〃行(〃22)第二个数是多少？

1

22

343

4774

51114115

6162525166

方法归纳

解决与杨辉三角有关的问题的一般方法是：观察——分析，实验——猜想结论——证明，

要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律，取决于我们的观察能力，注意观察方法：横看、

竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察(横看成岭侧成峰，远近高低各不同).

跟踪训练1如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第行中从左

至右第14与第15个数的比为2:3.

第。行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

题型二二项式系数和与各项的系数和的基本问题

例2(1)在(3x2-1)n的展开式中，所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的

和为()

A.-32B.0C.32D.1

(2)在(x+专了的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为32,则广的系数为()

A.50B.70C.90D.120

方法归纳

(1)对于(a+力”展开式中，二项式系数的和是CR+禺+鬣+-+C»=2n.

(2)对于(办+力”的式子，求其展开式中的各项系数之和常用赋值法.

跟踪训练2(1)设(5x一次)”的展开式的各项系数之和为二项式系数之和为N,M-

N=240,则展开式中％3项的系数为()

A.500B.-500

C.150D.-150

(2)如果(3x-金7的展开式中各项系数之和为128,则〃的值为,展开式中妥的

系数为.

题型三二项展开式中系数和问题

例3已知(1—ZxAuao+aix+ai/H------\~aix1.

(1)求m+〃2+…+s；

(2)求ai+s+as+s；

(3)求1aoi+|ai|T----\-\aj\.

状元随笔解决二项式系数和问题的思维过程如下:

对久孑中的*赋值，月的曼

切入点

腑二项五的系数分离出来

求

二怎样药工赋值

项

思

父

考展外式中的常数项和最高

系

点

数次项的系数如何求出

的

和如何得到所求他的代教关系

一|解题过行一—X赋阖一I变巧I一I结论

方法归纳

对于(4+法)"=〃0+〃|无+〃加2+—+04的展开式，求各项系数和时，可令X=1,得ao

+〃i+〃2H-----F〃〃=(〃+/?)”.

若求奇数项和或偶数项和，可分别令x=l和x=-1,得

(a()+ai+a2+・・・+an=(a+b)n,

nn

l^o—a1+a2—…+(—l)an=(a—b),

两式相加减即可求出结果.对于形如(渥+〃x+c)〃的式子，求其展开式的各项系数和，

只需令x=l.对于("+勿)"(〃，为常数)的式子，求其展开式的各项系数和，可令x=y=l.

跟踪训练3多项式元3+xlO=4o+〃](x+1)+…+〃9(x+1)9+。10(工+I)10.

(1)求oo+.T-----卜愚+内。的值；

(2)求。0—〃]+。2—〃3+…—。9+。10的值；

⑶求如

易错辨析错用二项式系数的性质

例4(1+2%严的展开式中，X的奇次项系数的和与“的偶次项系数的和各是多少？

解析：设x的奇次项系数的和为A,x的偶次项系数的和为3,则令x=l,得A+5=32。,

令x=—1,得B—A=l,

；.28=32。+1,4=空3

22

即奇次项系数的和为殳F，偶次项系数的和为号.

【易错警示】

易错原因纠错心得

求解本题，容易出现下列两种错误.

错解一：•.•二项展开式中奇次项系数的和与偶次项系数的和

相同，奇次项系数的和与偶次项系数的和均为2”.对于求系数和的问题，要注

错解二：由二项展开式知x的奇次项系数的和为C2K2+%•意用赋值法解决.奇、偶次

35

2+C^0-2+-+C^-219,项是针对X的指数而言，奇、

x的偶次项系数的和为C*o+22+C丸.24+…/C翁22。.偶数项是针对第几项而言.

错解一是将系数和与二项式系数和混淆了；错解二解法欠妥，

很难求出数值.其原因在于没把握住求系数和的根本方法.

［课堂十分钟］

1.杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具

有类似性质的行是（)

1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

A.第6行B.第7行

C.第8行D.第9行

2.在（a+勿"的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则〃=（）

A.6B.7

C.8D.9

3.若（x+3），）"展开式的各项系数和等于（7“+6>°展开式中的二项式系数之和，则〃的值

为（）

A.5B.8

C.10D.15

4.若卜2+e）n展开式的各项系数之和为32,则其展开式中的常数项是.

1

5.已知（x一机）7=如+。［%+42%2_j-----\-ajx的展开式中/的系数是一35,求ai+az+eH—

+。7.

4.2二项式系数的性质

新知初探•课前预习

要点一

(1)相等⑵和Cfl+踹

要点二

(1)2"(2)2广1

［基础自测］

1.(1)V(2)X(3)X(4)X

2.解析：令x=l得各项系数和为-1.

答案：B

3.解析：7i+i=C3(3x)«,

由C^=6,得〃=4.

/(3x)3,故第4项的系数为第X33=1O8,故选D.

答案：D

4.解析：令展开式左、右两边x=l,得各项系数和为1;各二项式系数之和为26=64.

答案：164

题型探究•课堂解透

例1解析：设第〃行第2个数为斯(〃22),

nlfa2=2.

贝留••all+\-an=n.

{n+an=an+1(n>2)

—〃〃-1)+H----F(6-2

an=(an-i-a,i-2)他)+〃

=2+2+3+4H------

’.(n—1)(14-n—1)

_n2-n+2

2•

跟踪训练1解析：即」.,・〃=34.

Cfi3n—33

答案：34

例2解析：(1)由题意知2〃=32,得〃=5.令x=l,可得展开式中各项系数的和为(3X12

-1>=32.故选C.

(2)令x=l,得各项系数和为4〃，又二项式系数和为2〃，所以由题意知2〃=32,得〃=5,

二项展开式的通项为T"C。产〈•匕小叱一秋，令5一主=2,得-2,所以炉的系数

为鬣32=90,故选C.

答案：(l)C(2)C

跟踪训练2解析：(1)N=2",令x=l,则M=(5-l)"=4"=(2")2

.♦.(2")2—2"=240

；.2"=16,An=4.

k

...71+1="(5x)4-{(一五)"=(一1)("54-4-£

令4-5=3,即仁2

此时以Sq-iyniso.

(2)令x=l,得展开式的各项系数之和为2",

,5k

所以2"=128,解得〃=7,所以展开式的通项为(一1户37-七多-一9，

令7—1%=-3,解得仁6.

所以展开式中专的系数是3。=21.

答案：(l)C(2)721

例3解析：(1)当x=l时，等号左边为(1—2)7=—1,等号右边为ao+“i+a2H------Fs,

.•・4o+4]+〃2+…+〃7=-1.当X=0时，。0=1.

••a\+公+…+。7=—1—1=-2.

(2)令X=l,得00+0+02+…+。7=-1,①

令x=-1,得ao~a]+。2-々3+441的+/一S=37,②

①一②，得2(〃]+。3+。5+。7)=—1—37,

.•・。|+。3+。5+。7=-^-=-1094.

(3)由展开式，知0,。3,。5,。7均为负数，卬，〃2,6U,%均为正数，

；・|。()|+|〃||+…+|〃7|=40-〃]+"2-S+S-■恁+期-。7.

由(2)可知，引一0+々2—④+四一。5+46—。7=