高中数学空间向量与立体几何教案新课标人教A选修

3.1.2空间向量的数乘运算（一）

教学要求：理解共线或平行向量的概念，驾驭表示方法；理解共线向量定理及其

推论；驾驭空间直线的向量参数方程；会运用上述学问解决立体几何中有关的简

洁问题.

教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式.

教学过程：

一、复习引入

1.回忆平面对量向量学问：平行向量或共线向量？怎样断定向量B及非零向量2

是否共线？

方向一样或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平

移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量.

向量B及非零向量之共线的充要条件是有且只有一个实数人使B.称平

面对量共线定理，

二、新课讲授

L定义：及平面对量一样，假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或

重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.，平行于1记作5〃丸

2.关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间随意两个向量之、b（BWO）,的充要条件是存在实

数A,使力=45.

理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若方（五NO）,则有B=

Aa,其中4是唯一确定的实数。②推断定理：若存在唯一实数4,使B=4M（五

W0）,则有不〃B（若用此结论推断2、各所在直线平行，还需5（或B）上有一

点不在B（或方）上）.

⑵对于确定的4和5，B=表示空间及M平行或共线，长度为\Aa\,当丸＞0

时及2同向，当时及,反向的全部向量.

3.推论：假如］为经过已知点4且平行于已知非零向量2的直线，那么对于随

意一点0,点尸在直线.1上的充要条件是存在实数t满意等式%

OP=OA+ta.b

其中向量M叫做直线，的方向向量.

推论证明如下：

l//a,对于/上随意一点R存在唯一的实数1,使得m=/方.（*）

又对于空间随意一点。，有存=丽-前，

OP-OA=ta，OP=OA+ta.①

若在/上取而'=2,则有丽=两+/而.（**）

又•:AB^OB-OA：.OP^OA+t（OB-OA）--t）OA+tOB.②

当时，.③

2

理解：⑴表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中

点公式.事实上，表达式（*）和（**）既是表达式①和②的根底，也是直线参数方

程的表达形式.A

⑵表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公]\c

式./X

⑶推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或断定.

空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理及平面对量完全0

一样，

是平面对量相关学问的推广.

4.出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形

是平行四边形.（分析：如何用向量方法来证明？）

5.出示例2：如图。是空间随意一点，C、〃是线段力£的三等分点，分别用方、

0分表示0D.

三、稳固练习：作业:

3.1.2空间向量的数乘运算（二）

教学要求：理解向量及平面平行、共面对量的意义，驾驭向量及平面平行的表示

方法；理解共面对量定理及其推论；驾驭点在已知平面内的充要条件；会用上述

学问解决立几中有关的简洁问题.

教学重点：点在已知平面内的充要条件.

教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解及运用.

教学过程：

一、复习引入

1.空间向量的有关学问一一共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以

及空间直线的向量表示式、中点公式.

2.必修④《平面对量》，平面对量的一个重要定理一一平面对量根本定理：假如

8、色是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的随意一个向量a,

有且只有一对实数乙、（，使3=九良+人比其中不共线向量鱼叫做表示

这一平面内全部向量的一组基底.

二、新课讲授

1.定义：假如表示空间向量a的有向线段所在直线及已知平面。平行或在平面

a内,则称向量a平行于平面a,记作a//a.

向量及平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线及平面平行时两者是

没有公共点的.

2.定义：平行于同一平面的向量叫做共面对量.共面对量不肯定是在同一平面

内的，但可以平移到同一平面内.

3.探讨：空间中随意三个向量肯定是共面对量吗？请举例说明.

结论：空间中的随意三个向量不肯定是共面对量.例如：/-........

0

对于空间四边形［a〃AB.AC,而这三个向量就不是共面对量.

4.探讨：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面对量呢？

5.得出共面对量定理：假如两个向量a、8不共线，则向量p及向量a、6共面

的充要条件是存在实数对x,y,使得p=xa+yb.

证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线.

,/向量p及向量a、6共面

由平面对量根本定理得：存在一对有序实数对x,y,使得p=xa+yb.

充分性：如图，;xa,分别及a、b共线，/.xa,yb都在a、b确定的

平面内.

又•••xa+yb是以IxaI、Iyb\为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的

向量，并且此平行四边形在a、6确定的平面内，

斤xa+yb在a、6确定的平面内，即向量p及向量a、b共面.

说明：当夕、a、。都是非零向量时，共面对量定理事实上也是夕、a、6所在的

三条直线共面的充要条件，但用于断定时，还须要证明其中一条直线上有一点在

另两条直线所确定的平面内.

6.共面对量定理的推论是：空间一点夕在平面极仍内的充要条件是存在有序实

数对x,y,使得丽=x诙+y访，①或对于空间随意肯定点0,有

OP=OM+xMA+yMB.②

分析：⑴推论中的X、y是唯一的一对有序实数；(2)|i|oK=OM'+xMA'+yMB'

f#:Of^ObT+x(OT-OM~)+y(OB~-OAT),OTx-y)OHT+xOA+yOB~③

公式①②③都是只欣48四点共面的充要条件.

7.例题：课本几例1,解略.

小结：向量方法证明四点共面

三、稳固练习

向量的数量积（2）

一、教学目的：①向量的数量积运算

②利用向量的数量积运算断定垂直、求模、求角

二、教学重点：①向量的数量积运算

②利用向量的数量积运算断定垂直、求模、求角

三、教学方法：练习法，纠错法，归纳法

四、教学过程：

考点一：向量的数量积运算

（一）、学问要点：

1）定义：①设<£,B>=e,则£石=（。的范围为）

②设a=（玉,X）,B=（w,%）贝Ia石=o

注：①。石不能写成aB,或axB②的结果为一个数值。

2）投影：坂在£方向上的投影为o

3）向量数量积运算律：

®a*b=b*a②（2a）.1=2（a石）=”《（萩）（§）（a+b）*c=a*c+h*c

注：①没有结合律（a・b）・c=a•（万》c）

（二）例题讲练

1、下列命题：①若£石=0,则」中至少一b个为。②若£且£石=£・2,则］;=2

③（a.S）.c=«.0.c）（4）（3a+2&）.（3a-2石）=9问?一4

中正确有个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

2、已知AABC中，A,B,C所对的边为a,b,c,且a=3,b=l,C=30°,则

BC.CA=o

3>若a,b,c满意a+B+c=6,且,=3,忖=1,k|=4,则

a*b+b*c+a*c=。

4、已知W=W=2,且£及B的夹角为g,则£+石在£上的投影

为O

考点二：向量数量积性质应用

（一）、学问要点：

石=0（用于断定垂直问题）

②同=身（用于求模运算问题）

③（用于求角运算问题）

（二）例题讲练

1>已知忖=2,忖=3,且a及坂的夹角为c=3>a+2b,d=ma-b,求当m

为何值时工，2

2、已知同=1,忖=1,忸—2耳=3,则忸+B卜o

3、已知a和E是非零向量，且，卜园=,-可，求a及a+B的夹角

4、已知同=4,忖=2,且2和区不共线，求使£+4及的夹角是锐角时

彳的取值范围

稳固练习

1＞已知q和02是两个单位向量，夹角为g，则（q-02）.（-Bq+应）等于（）

95

A.-8B.-C.--D.8

22

2、已知1和公是两个单位向量，夹角为?，则下面对量中及21-1垂直的是（）

A.耳+02B.e,-e2C.exD.e2

3、在AABC中，设获=a,BC=b,CA=c,若a（a+A）＜0,则A4BC（）

（A）直角三角形（8）锐角三角形（C）钝角三角形（。）无法断定

4、已知。和石是非零向量，且a+35及7a-5石垂直，及7。-2万垂直，求。及B

的夹角。

5、已知函、0B,阮是非零的单位向量，且函+砺+加=6,求证：

MBC为正三角形。

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

教学要求：驾驭空间向量的正交分解及空间向量根本定理和坐标表示；驾驭空间

向量的坐标运算的规律；会依据向量的坐标，推断两个向量共线或垂

直.

教学重点：空间向量根本定理、向量的坐标运算.

教学难点：理解空间向量根本定理.

教学过程：

一、新课引入

1.回忆：平面对量的加减及数乘运算以及平面对量的坐标运算,

2.复习：平面对量根本定理.

二、讲授新课

1.类比：由平面对量的根本定理，对平面内的随意向量入均可分解为不共线的

两个向量41和4瓦，使£=41+4正.假如I，％时，这种分解就是平面对量的

正交分解.假如取或，不为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量，则存

在一对实数小人使得£=行+方，即得到平面对量的坐标表示£=(x,y).

推广到空间向量，结论会如何呢？

⑴空间向量的正交分解：对空间的随意向量入均可分解为不共面的三个向量

4%、4a2、4%，使a=44+4。2+4。3.假如4两两垂直，这种分解就是空

间向量的正交分解.

⑵空间向量根本定理：假如三个向量见反之不共面，那么对空间

任一向量万，存在有序实数组{x,y,z},使得万=x£+)而+zt?.把

丘瓦"}叫做空间的一个基底(base),£,瓦工都叫做基向量.

2.单位正交基底：假如空间一个基底的三个基向量相互垂直,

且长度都为1,则这个基底叫做单位正交基底，通常用表示.

单位一一三个基向量的长度都为1;正交一一三个基向量相互

垂直.

选取空间一点。和一个单位正交基底以点。为原

点，分别以，/女的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y

轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz,

3.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a,且设人j、女为坐

标向量，则存在唯一的有序实数组(4,a2M3)，使a=4»+%J+小比

空间中相等的向量其坐标是一样的.一探讨：向量坐标及点

的坐标的关系？

向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设/(X|，M，Z|),

B{x2,y2,z2),则而'=。方一以=(x,,y2,z2)一(百,％,马)=

（々-玉，%一%,Z2-Z|）.

4.向量的直角坐标运算：设a，4,外,4)，力=(伪也也)，则

⑴a+6=(a,+bva2+b2M3+4);(2)&—6=(a,-bt,a2-b2,a3-Z>3);

(3)Aa—(Aat,Aa2,Aa3)(As/?);(4)a,b—atht+a2b2+a3b3

证明方法：及平面对量一样，将a=a"+&J+a*和8=4>+4/+感女代入

即可.

5.两个向量共线或垂直的断定：设3=3”％,%)，6=(々也也)，则

(Da//6=a—Xbofl)=Ab},a2-Ab2,a3=Ab3,(Ae/?)<=>;

(2)a_l_b=a*Z>=0<=>afy+a2b2=0.

6.练习：已知a=(2,-3,5),b-(-3,1,-4),求a+瓦a~b,8a,a•b.解：略.

7.出示例：

三、稳固练习作业

3.1.5空间向量运算的坐标表示（夹角和间隔公式）

教学要求：驾驭空间向量的长度公式、夹角公式、两点间间隔公式、中点坐标

公式，并会用这些公式解决有关问题.

教学重点：夹角公式、间隔公式.

教学难点：夹角公式、间隔公式的应用.

教学过程：

一、复习引入

1.向量的直角坐标运算法则：设a=（%，4，%），6=屹也也），则

（l）a+Z>=（6+/?,,«,+b2,a^+优）；（2）a—b—（«,-ht,ay-b^,a3-Z?,）;

（3）/Ia=（义GR）；⑷&*b=afy+a2b2+a3b3

上述运算法则怎样证明呢？（将a=a"+生J+a3a和6=4J+4A代入

即可）

2.怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减

去起点的坐标.）

二、新课讲授

L向量的模：设a=（q,4,%），6=（4也也），求这两个向量的模.

Ial=二+域+嫉,|b\=拆+优+6.这两个式子我们称为向量的长度

公式.

这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度.

2.夹角公式推导：a•b=a\bcos<a,b>

她+a2b2+%/=Jd+G+d•Qb；+b；+b；,cos<a,b>

由此可以得出：cosVa,6>=她+%勺”也

Ja：+a；+a；亚+b；+b；

这个公式成为两个向量的夹角公式.利用这个共识，我们可以求出两个向量

的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：

当cos<a、人>=1时，a及6同向；当cos<a、6>=—1时，a及6反向；

当cosVa、6>=0时，aJLb.

3.两点间间隔共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的间隔

公式：

在空间直角坐标系中，已知点A（X|，X，4）,B（x2,y2,z2）,则

222

dAB-yl(x2-x,)+(jv,-y2)+(Z]-z2)>其中服、B表示力及白两点间的间隔.

3.练习：已知4(3,3,1)、8(1,0,5),求：⑴线段/夕的中点坐标和长度；⑵到

/、8两点间隔相等的点P(x,y,z)的坐标腔八z满意的条件.

(答案：(2,—,3)；>/29;4x+6y-8z+7=0)

说明：⑴中点坐标公式：=;

⑵中点0的轨迹是线段4夕的垂直平分平面.在空间中，关于腔八z的

三元一次方程的图形是平面.

4.出示例5：如图，在正方体ABS-AAGO中，，求g及。片所成的角的余弦值.

分析：如何建系？一点的坐标？一如何用向量运算求夹角？一变式：

课本电、例6

5.用向量方法证明：假如两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行.

三.稳固练习

作业：课本办练习3题.

3.2立体几何中的向量方法(一)

教学要求：向量运算在几何证明及计算中的应用.驾驭利用向量运算解几何题的

方法，并能解简洁的立体几何问题.

教学重点：向量运算在几何证明及计算中的应用.

教学难点：向量运算在几何证明及计算中的应用.

教学过程：

一、复习引入

1.用向量解决立体几何中的一些典型问题的根本思索方法是：⑴如何把已知的

几何条件(如线段、角度等)转化为向量表示；⑵考虑一些未知的向量能否用

基向量或其他已知向量表式；⑶如何对已经表示出来的向量进展运算，才能获

得须要的结论?

2.通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？

⑴利用定义a,b—\a\\bcosVa,或cos<a,b>=,可求两个向量的数量

积或夹角问题；

⑵利用性质a_Lboa•b=0可以解决线段或直线的垂直问题；

⑶利用性质a・a=lai2,可以解决线段的长或两点间的间隔问题.

二、例题讲解

1.出示例1:已知空间四边形必完'中，OA^BC,OBVAC.求证：OC±AB.

证明：OCAB=OC(OB-OA)=OCOB-OCOA.

VOA1BC,OB±AC,：.OABC=0,OBAC=0,

OA(OC-OB)^0,OB(OC-OA)^0.

：.OAOC=OAOB,OBOC=OBOA.

：.OCOB=OCOA,OCAB=0./.OCVAB

练习：教材P105例1及P106思索题

分析：如何转化为向量问题？进展怎样的向量运算？

2.出示例2：如图，已知线段［夕在平面a内，?

ACla,线段应比相，线段ZDBD'=30,假如43=a,AC=BAb,求。、

〃间的间隔.

解：由AC_La,可知ACJ_AB.

由/。3少=30可知，<£¥，的>=120,

，|CD|2=(C4+AB+BD)2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2(CAAB+CABD+ABBD)

=b2+a2+b2+2b2cosn0=a2+b2.

：.CD=yja2+b2.

练习：教材P106例2及其107思索题

分析：如何转化为向量问题？进展怎样的向量运算？

说明：此方法也是用向量法求二面角的一种有效方法，应引起留意。

3.出示例3：如图，M、N分别是棱长为1的正方体ABC。-4。的棱、BC'

的中点.求异面直线的V及C。所成的角.

解：'：MN=,CD7=CC7+CD,

：.MNC^—•(CC+CD)=-(|CC|2+CC-CD+BCCC7+BCCD).

2

VCC'LCD,CC'IBC,BCLCD,/.CC.CD=0,BCCC=0,BCCD^O,

：.MNCD7=-|CC712=-.…求得COS<MN,€^>=~,/.<W,CD7>=60.

222

4.小结：.

(1)向量法解题“三步曲”：①化为向量问题一②进展向量运算一③回到图形

问题.

(2)利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已

知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明

三、稳固练习作业：课本外？练习1、2题.

3.2立体几何中的向量方法(二)

教学要求：向量运算在几何证明及计算中的应用.驾驭利用向量运算解几何题的

方法，并能解简洁的立体几何问题.

教学重点：向量运算在几何证明及计算中的应用.

教学难点：向量运算在几何证明及计算中的应用.

教学过程：

一、复习引入

探讨：将立体几何问题转化为向量问题的途径？

(1)通过一组基向量探讨的向量法，它利用向量的概念及其运算解决问题;

(2)通过空间直角坐标系探讨的坐标法，它通过坐标把向量转

化为数及其运算来解决问题.

二、例题讲解

1.出示例1:如图，在正方体A88-A8CQ中，£、尸分别是、

切的中点，求证：RF上平面4座.

证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度，且设方•=1,

DC=J,西=比以上j、A为坐标向量建立空间直角坐标系〃一xyz,则

VAD=(-1,0,0),麻■=((),.,.布•麻'=(-1,0,0)•(0,g,-i)

=0,

...2尸_L

又A£=(0,l,-),：.AE(0,1,-)«(0,p-l)=0,/.D,F1AE.

又AOflAE=A,ADE.

说明：⑴“不妨设”是我们在解题中常用的小技巧，通常可用于设定某些及题

目要求无关的一些数据，以使问题的解决简洁化.如在立体几何中求角的大小、

断定直线及直线或直线及平面的位置关系时，可以约定一些根本的长度.⑵空间

直角坐标些建立，可以选取随意一点和一个单位正交基底，但详细设置时仍应留

意几何体中的点、线、面的特征，把它们放在恰当的位置，才能便利计算和证明.

2.出示例2：课本几7例3

分析：如何转化为向量问题？进展怎样的向量运算？

3.出示例3：课本乙9例4

分析：如何转化为向量问题？进展怎样的向量运算？

4.出示例4：证：假如两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行.

改写为：已知：直线平面%直线皮〃_平面%。、8为垂足.求证：如〃物.

证明：以点。为原点，以射线力为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz,i,J,k

为沿X轴，y轴，Z轴的坐标向量，且设而'=(x,y,z).

BD1.a,：.BD1i,BD±j,

BD•i=(x,y,z)•(1,0,0)=x=0,BD•J=(x,y,z),(0,1,0)=y=0,

:.M=(0,0,z).：.BD=zk.即而7/斤由已知为两个不同的点，.•.而〃劭.

5.法向量定义：假如表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面。，则称这个

向量垂直于平面a,记作a,a.假如a_La,那么向量a叫做平面。的法向量.

6.小结：

向量法解题“三步曲”：(1)化为向量问题一(2)进展向量运算一(3)回到

图形问题.

三、稳固练习作业：课本岛-习题A组1、2题.

3.2立体几何中的向量方法（三）

教学要求：向量运算在几何证明及计算中的应用.驾驭利用向量运算解几何题的

方法，并能解简洁的立体几何问题.

教学重点：向量运算在几何证明及计算中的应用.

教学难点：向量运算在几何证明及计算中的应用.

教学过程：

一、复习引入

1.法向量定义：假如直线/J•平面取直线/的方向向量为£,则向量£叫作平

面a的法向量（normalvectors）.利用法向量，可以奇妙的解决空间角度和间

隔.

2.探讨：如何利用法向量求线面角？一面面角？

直线/夕及平面a所成的角9,可看成是向量通所在直线及平面a的法向量;;

所在直线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量及平面的法向量的

所成的线线角，依据两个向量所成角的余弦公式，我们可以得到如下向量法的公

式：

sin^=|cos（M«）|=^.

3.探讨：如何利用向量求空间间隔？

两异面直线的间隔，转化为及两异面直线都相交的线段在公垂向量上的投影

长.

点到平面的间隔，转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长.

二、例题讲解：

1.出示例1:长方体A5c中，4决例=2,4分4,

E、厂分别是AR、儿?的中点，。是与的交点.求

直线如及平面叱所成角的正弦.

解：以点〃为空间直角坐标系的原点，DA、DC、DO,

为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则

£>(2,2,0),理,0,2),F(2,2,0),0(1,4,1),C(0,4,0).

设平面庞F的法向量为n=(x,y,z),

则，而说=(1。2),而=(2,2,0).

，即，解得x:y:z=-2:2:l,“=(-2,2,1).

,/n»OF=\n\\OF\cosa,而历：=(1,一2,—1).

.n»OF-2x1+2x(-2)+1x(-1)7"

••cosot―—―-------；-=-,—,==----------

\n\*\OF\7(-2)2+22+1.712+(-2)2+(-1)218

所以，直线如及平面颂所成角的正弦为述.

18

2.变式：用向量法求：二面角4-QE-O余弦；〃及〃夕的间隔；。点到平面

颂的间隔.

三、稳固练习

作业：课本凡2、习题A组5、6题.

法向量在立体几何中的应用

向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何及立体几何里的应用更为干

脆，用向量的方法特殊便于探讨空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入

中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学

问题带来了一套全新的思想方法一一向量法。下面就向量中的一种特殊向量一一

法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。

一、平面的法向量的定义

假如表示向量々的有向线段所在直线垂直于平面a,则称这个向量Z垂直于平面

a,

记作aJ_a,假如a_La,那么向量a叫做平面a的法向量

二、平面的法向量的求法

1、在几何体中找平面的垂线对应的有向线段作为平面的法向量；

2、在空间直角坐标系中利用向量的坐标运算来求法向量。

问题：已知不共线的三点坐标，如何求经过这三点的

平面的一个法向量？_

在空间直角坐标系中，已知A(3,(),0),5((),4,0),

C(0,0,2),试求平面ABC的一个法向量.

解:设平面ABC的一个法向量为〃=（x,y9z）

贝|/_1彳瓦2_1就.<丽=（一3,4,0）,AC=（-3,0,2）

.](x,j,z)-(-3,4,0)=0—+=0

l(x,y,z).(-3,0,2)=0-3x+2z=0

取x=4,则〃=(4,3,6)

...n=(4,3,6)是平面ABC的一个法向量.

问题:如何求平面的法向量？

（1股平面的法向量为〃={x,y,z}

⑵找出（求出）平面内的两个不共线的向量的

坐标a=（%,〃,《）,b=（a2,b2,c2）

⑶根据法向量的定义建立关于x,y9z的方程

«-a=0

一一

{〃•力=0

（4懈方程组,取其中的一个解,即得法向量.

练习：在三棱锥P—ABC中，PA_L平面ABC,

ZBAC=90°,AB=2,AC=PA=1,

求平面PBC的一个法向量。

写出平面ABC的一个法向量

三、利用平面的法向量求空间角

1、求直线和平面所成的角。

如图（图2）所示，设PA及平面a的

法向量）所在直线所成的角为0,则PA及a所成的角为，

（其中cos。=|cos<PA,n>|）

一设直线/,机的方向向量分别为平面。,用的法向量分别为

所以：--mil

jr•u

直线/与平面a所成的角为。（0WeW?）,sin6=

2丽’

例2.如图（图3）所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形,

PA_L底面ABCD,AE±PD,EF//CD,PA=3AB,

求直线AC及平面AEFB所成角的正弦值。

2.直线及直线所成的角：-工

jra-b

两直线/,〃，所成的角为不）,cose=：n=；

2a\\b

3.求二面角的大小。

设乙,〃2分别为平面%小的法向量，二面角〃的大小为。，向量

例3.如图（图6）所示，在棱长为1的正方体

ABCD-ABCD中，AC及BD交于点E,GB及

CBi交于点F0（1）求证：ACJ_平面DBG

（2）求二面角B—EF—C的大小。

佟I

X

四、利用法向量求间隔

1.求点到平面的间隔

利用法向量求点面间隔的根本思路是：如图7,点P为平面a外一点，点A

为平面a内任一点，平面的法向量为］过点P作平面a的垂避血，记PA和7所

成的角为0,则P到平面a的间隔公式为:

—*—*IpA,M

|PH1=1PH1=1PA\cose二I;

例4.如图8所示，在三棱锥S-ABC中，AABC是s

边长为4的正三角形，平面SAC,平面ABC,/

SA=SC=2V3,M、N分别为