高一数学新教材人教A版2019同步教学 对数（原卷版）

对数

【题型归纳目录】

题型一：对数的定义

题型二：指数式与对数式互化及其应用

题型三：利用对数恒等式化简求值

题型四：积、商、塞的对数

题型五：一类与对数有关方程的求解问题

题型六：对数运算法则的应用

题型七：换底公式的运用

题型八：由已知对数求解未知对数式

题型九：证明常见的对数恒等式

【知识点梳理】

知识点一、对数概念

1、对数的概念

如果”"=%卜/>0,且那么数6叫做以“为底N的对数，记作：k>g“N=〃.其中“叫做对数

的底数，N叫做真数.

知识点诠释：

对数式/og“N=人中各字母的取值范围是：且N>0,bwR.

2、对数log,,N(。>0且。工1)具有下列性质：

(1)0和负数没有对数，即N>0；

(2)1的对数为0,即log,,1=0；

(3)底的对数等于1,即Iog"=l.

3、两种特殊的对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，lo&oN简记作IgN.以e(e是一个无理数，e=2.7182…)

为底的对数叫做自然对数，log,N简记为InN.

4、对数式与指数式的关系

由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关

系可由下图表示.

指数式对数式

指数对数

事真数

II

b

a=NlogaN=b

底数

由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.

知识点二、对数的运算法则

已知log,,M,log,,N(a>0且awl,M、N>0)

(1)正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

log„(MN)=log,,M+log,,N

推广：log”(MMNJ=log„N+log“M++log„Nk(乂、M、、Nk>0)

(2)两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；

log“刀=log“"Tog"N

(3)正数的幕的对数等于幕的底数的对数乘以幕指数；

log,,Ma=<zlog„M

知识点诠释：

(1)利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才

能成立.

(2)不能将和、差、积、商、暴的对数与对数的和、差、积、商、募混淆起来，即下面的等式是错

误的：

log,,(M土N)=log,,M±loguN,

log„(M-N)=log“M-log„N,

知识点三、对数公式

1、对数恒等式：

ab=N

=N

logoN=b

2、换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0,存1,的前提下有：

(1)log4M=log,,M”(〃eR)

6

令log.M=b,则有/=M,(a)"=M",即(/)"="',即b=log“.M",即：logaM=loga„M".

（2）log,,M=（c>0,c1）,令iog«M=b,则有a"=M,则有log""=log,.A/（c>0,cw1）

log,a

即8•log”a=log,M,即-=1°。。用,即k>g“M0,cw1）

log.,alog,,a

当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性.而且

由（2）还可以得到一个重要的结论：log*=」一（a>0,a#l,6>0）*l）.

log/

【典型例题】

题型一：对数的定义

2

例1.（2022•江苏省南通中学局一阶段练习）已知对数式1。&“川7工有意义，则a的取值范围为（）

A.（-1,4）B.（-1,0）（0,4）

C.（-4.0）（0,1）D.H，l）

例2.（2022.全国•高一课时练习）使log,（2-3a）有意义的实数。的取值范围是（）

A.。收）B.（0,1）_（1,+<»）

C.（0,|）D.（|，T

例3.（2022.江苏南通•高一期末）使式子log-（-Y+X+6）有意义的x的取值范围是（）

A.（-2,3）B.（2,3）C.[-2,3]D.（2,3]

变式1.（2022.全国•高一课时练习）若1。&臼（1-&）有意义，则实数4的取值范围是.

【方法技巧与总结】

对数式/og“N=人中各字母的取值范围是：a>0且awl,N>0,bwR.

题型二：指数式与对数式互化及其应用

例4.（2022・全国•高一课时练习）有以下四个结论，其中正确的是（）

A.lg（lglO）=lB.lg（lne）=0

C.若e=lnx,贝/e?D.ln（lgl）=0

例5.（2022.天津市红桥区教师发展中心高一期末）有以下四个结论：①lg（lgl0）=0；②ln（lge）=0；③若

10=lgx,则x=10；④若e=lnx,贝1底=缶，其中正确的是（）

A.①②B.②④

C.①③D.③④

例6.（2022・全国•高一课时练习）下列对数式中，与指数式7'=9等价的是（）.

A.log7x=9B.log9x=7C.log79=xD.log.、9=7

变式2.（2022・全国,高一课时练习）若log*必z,则（）

A.y7=B.y=x1:C.y=lxD.y=zlx

变式3.（2022.全国.高一单元测试）将"2〃=N（。＞0且axl）转化为对数形式，其中错误的是（）

A.b=alog“N-B.b=log（（：N.

N

C.log/N=2；D.b=log„—.

变式4.（多选题）（2022•湖南湘西•高一期末）下列指数式与对数式互化正确的一组是（）

A.10。=1与lgl=0B.Iog34=2与）=3

-1]1]

1

C.27=-^log27-=--D.1吗5=1与宁=5

【方法技巧与总结】

对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手

段.

题型三：利用对数恒等式化简求值

例7.（2022•河南•高三阶段练习（文））计算：3?+嗝3=.（可保留根式）

例8.（2022.上海市杨浦高级中学高一期中）化简3幅产的结果为（）

1,.1

A.xB.-C.\x\D.—

x|x|

例9.（2022•新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）化简：2、+砥$4=.

变式5.（2022・贵州•遵义四中高一期末）4脸有=.

【方法技巧与总结】

对数恒等式4°g"N=N中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.

题型四：积、商、塞的对数

例10.（2022.全国•高一专题练习）计算

*16

(1)logs8

(2)lg5-lg20+(lg2)2

例11.（2022・全国•高一课时练习）己知1。8“（与々…々必）=5,则log^xj+log"》；+…+log“x；（）2i=.

例12.（2022•湖南•平江县第三中学高一期中）计算Iog327+lg25+lg4+log42=.

【方法技巧与总结】

利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把

握它们.在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零：二要注意积、商、幕的对数运算对应着对

数的和、差、积得运算.

题型五：一类与对数有关方程的求解问题

例13.（2022•江苏省如皋中学高一阶段练习）解关于x的方程.

42

⑴--2户=3;

（2）log2（x+4）+log2（x-1）=1+log2（x+1）.

例14.（2022・湖南•高一课时练习）已知演，巧是方程3（炮刈2-电炉+1=0的两个实数根，求

馆(中2>(1呜W+kg./)的值.

例15.（2022•全国•高一课时练习）解方程：,31gx-2-31gx+4=0.

变式6.（2022.上海.高一单元测试）解关于x的方程:

⑴3*5=53+2+2；

2

⑵bg<x+2)(4x+5)-log(4A+5)(x+4x+4)-1=0；

变式7.(2022・全国•高一课时练习)解方程：Iog3(l-2x3')=2x+l.

【方法技巧与总结】

直接利用定义法或者换元法

题型六：对数运算法则的应用

例16.(2022.全国•高一课时练习)计算：

7

(I)lgl4-21g-+lg7-lgl8；

(2)(lg5)2+31g2+21g5+lg2xlg5；

⑶(logo2『+(log63y+3log62x(^log6V18-1log()2^|.

例17.(2022・全国•高一课时练习)(I)0og37+log73『-詈¥-(陛”)。；

log73

108231

(2)log^9+ilg25+lg2-log49xlog38+2-+In.

例18.(2022・湖南・华容县教育科学研究室高一期末)计算下列各式的值：

⑴(2|)。+2一2.|0.064*(2；,

51L

(2)-log23-(log32+logo2)+(log?3彳>+In五一1g1.

变式8.(2022・全国•高一专题练习)求值21og,2-log,+log,8-5^3+(lg5)2+lg2xl50

9g

【方法技巧与总结】

（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才

能成立.

（2）不能将和、差、积、商、幕的对数与对数的和、差、积、商、睡混淆起来.

题型七：换底公式的运用

例19.（2022•全国,高一单元测试）（2log43+log83）（log32+log,2）=

例20.（2022•全国•高一专题练习）若2"=3"=加，且—1■—=2,则加=_____________.

ab

例21.（2022・江苏•高一专题练习）log591og2251og34=.

+¥

变式9.（2022•全国•高一专题练习）若不,yfze/?,且3*=4=12"主/式几〃+1）,nwN,则〃的值

是—.

变式10.（2022•上海•高一单元测试）已知若log/+k）g/=g,a"=/,则。+2力=.

变式11.（2022・吉林・抚松县第一中学高一开学考试）若2"=3"=",则的值为___________.

ah

变式12.（2022.山东滨州.高一期末）已知2"=3"=log,64,则,+：=______.

ab

变式13.（2022•上海•高一单元测试）若Iog9（2a+A）=log3疝，则。+助的最小值为.

【方法技巧与总结】

（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质.

（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式.

（3）解决这类问题要注意隐含条件"log“a=1”的灵活运用.

题型八：由已知对数求解未知对数式

例22.（2022•全国•高一课时练习）若ln2=a,\n3=b,则1暇18=（）

a+3ba+2ba+2ba+3b

A.：—B.---------C.z—D.--------

cf3ao13a

例23.（2022•全国•高一专题练习）（1）已知log23=a,36=7,试用。力表示log^56；

49

（2）已知log32=a,log37="试用表示logzs?.

8

例24.（2022.浙江•高一期中）设lg2=“，lg3=6,把1叫18用含。，方的式子表示，形式为

变式14.（2022・上海闵行•高一期末）己知10。=3,用。表示logJO=.

变式15.（2022全国高一课时练习）已知a=1g2,b=\g3,!S!|log365=（）

2a+26\-a

A.B.

\-a2a+b

2-2a、\-a

C.--------D.---------

a+b2a+2b

变式16.（2022・浙江・玉环中学高一阶段练习）已知1og,3=a,则下列能化简为的是（）

1+2a

A.log83B.Iogl83C.logl86D.logl23

变式17.（2022・江苏•高一专题练习）己知"=1（^2,那么log’8-21og36用。表示是（）

A.5a—2B.ci-2C.3a—（l+a）~D.3a—/—I

【方法技巧与总结】

利用对数运算法则的应用进行转换.

题型九：证明常见的对数恒等式

例25.（2022・湖南•高一课时练习）利用换底公式证明：log泮Jog,clog’anl.

hhm

例26.(2022•安徽•高一阶段练习)(1)设a>6>0,〃?>0,证明：一<——■

aa+m

(2)设a>6>l,机>0,证明：log,/<log("+M(Z>+〃?).

例27.（2022•江苏•高一课时练习）设a,b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明:

(2)log„bm=~\ogb(meR,neR〃w0).

an(lf

变式18.（2022.全国•高一单元测试）已知x,九z为正数，3，=4'=6工，2x=py.

（1）求。；

变式19.（2022・江苏•高一单元测试）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔1550

年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（EWer,1707年-

1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若优=N（a>。，。*0）,则x叫做以。为

底N的对数，记作%=log,,N.比如指数式24=16可以转化为4=log216,对数式2=log325可以转化为

52=25..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

log,,MN=logaM+logaN（a>0,a^i,M>0,N>0）.

理由如下：设log“"=m,log„N=n,所以M=d",N=a",所以

MN=a'"a"=am+",由对数的定义得:m+〃=/%MN,又因为"?+〃=log“M+log“N,所以

log.,MN=log„M+log（,N

解决以下问题：

（1）将指数53=125转化为对数式:

（2）仿照上面的材料，试证明：log“x=log“M-log“N（a>0,awl,M>0,N>0）.

（3）拓展运用：计算/。&2+/。8318-/。834=

【方法技巧与总结】

利用换底公式和作差法进行证明.

【同步练习】

一、单选题

1.（2022•江苏•南通一中高一阶段练习）已知2"=3"=〃?且!+?=2,则，"等于（）

ab

A.V6B.6C.12D.36

2.（2022・山东•临沂二十四中高一阶段练习）1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化

计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指

数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数.若5'=2,怆2忆0.301（）,则x的值约

为（）

A.0.431B.0.430C.0.429D.2.322

3.（2022•江苏省如皋中学高一期末）已知函数“X）满足/（3'）=1幅工，则/⑼=（）

A.-1B.1C.2D.0

4.（2022・全国•高一单元测试）设Iog74=a,log73=6,plljlog4936=（）

A.-u-bB.—b+aC.—a+bD.-b—ci

2222

5.（2022•全国•高一课时练习）化简（10862）2+豌62―10863+210863-6喻2的值为（）

A.-log62B.-log63C.logs3D.-1

（排I,则/

6.（2022.云南昆明.高一期末）已知函数”x）hf|logi3|=(

一\2力

log3x,x>0

A."B.-1C.1D.3

8

7.（2022•全国•高一单元测试）计算:1.1°+e,n2-0.5-2+坨25+21g2=()

A.0B.1C.2D.3

8.（2022・湖南•长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知/>0,log5b=〃，怆8=c,5J=10,则下列等

式一定成立的是（）

A.d=acB.a=cdC.c=abD.d=〃+c

二、多选题

9.（2022・全国•高一单元测试）下列运算中正确的是（）

log,8,_（_13

、l^?=10g«5B.行."=>

C.若a+“T=14,则a5+“-5=3D-I-I+In（Ine）=7

10.（2022•全国•高一单元测试）已知当x>y>l时，lgx>lgy>0.根据上述结论，若10"=4,10*=25,

则（）

A.a+b=2B.b-a=\C.a/7>8（lg2）2D.b-a>\^6

11.（2022.全国.高一课时练习）下列命题正确的是（）

A.若。>0,旦aw1,则Vx>0,y>0,iog“(x+y)=iog“x+iog“y

B.若a>0,且