高中数学：培养逆向思维的方法

高中数学：培养逆向思维的方法

逆向思维，可以开拓我们的视野，还可以提高思维的敏

捷性和灵活性。

一、利用概念数学，渗透逆向思维

例1.已知函数f(x)=(m-l*-mx+2是偶函数,比较股75)与

f(a?-a+l)的大小。

解：由f(x)=(m-l*-mx+2得

f(-x)=(m-l)x2+mx+2

又f(x)为偶函数，所以(m-l)x2-mx+2=(m-l*+mx+2

则m=0,

所以f(x)=-x?+2,所以f(x)在血+8)上为减函数，又

a2-a+l=(a-0,5)2+0,7520.75,所以f(0.75)2f(a?-a+1).

例2.函数y=(a「3a+3)ax是指数函数，则有()

A.a=l或a=2

B.a=1

C.a=2

D.a=1且a=2

略解：由指数函数定义知a?-3a+3=1同时a>0且”1,所以

a=2.答案选C。

点拨：以上两例为偶函数，指数函数概念的逆应用。

二、利用运算律，公式及题目中条件的逆用强化逆向思

维

例1.求值lg，+lg51g2+lg5

解：原式=lg2Qg2+lg5)+lg5=lg2+lg5=lgl0=l

例2.化简sm2a(0°<2a<90°)

解：原式Vl-2sinacostx

=vsin2a-2sincxcos(x+cos2(x

=J(sin(x-cose)2=|sina-coscx|

又因为0。<2&<90。所以0。<二<45。

则cosex>sinex所以原式=cosa-sinoc

点拨：以上两例是对数运算律及三角公式的逆用。

例3.已矢口l。ga*=（l。gb'=4（a>0，b>。，a*l，b*l）求值l。gx必

解:易知一由蝇胪工（

得W=与则a=x?同理b=x3.

所以ab=x§从而logx必=51ogxx=5.

点拨：本例突出对数与指数形式的互化。

例4.已知增函数y=f3)的定义域为(。，+8),且

f⑵=l,f(xy)=f(x)+f(y)求满足f(x)+f(x-3)K2的x的范围。

解：由f的)=f(x)+f(y)知

f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]=f(x2-3x)

又f(4)=f(2x2)=f⑵+f⑵=2要使

f(x)+f(x-3)42需x>Q①，x-3>0②

f(x2-3x)4f(4)③同时成立。

又y=f(x)是增函数，由③得炉-3x44④

联立①②④解得34.

点拨：本例条件的逆用是解答本题的关键。

三、在分析解题思路的教学中培养逆向思维

例1.若不等式M+bx+Z＞。的解集是则a-b

()

A.-10

B.-14

C.10

D.14

11

解：由题意一,可是方程强2+收+2=。的两根，由根与系数

关系得

解得a=T2,b=-2.

所以a-b=TO,因而选Ao

点拨：本题是一元二次不等式解法思路的逆过程。

例2.函数y=ig国*+2x+i)值域为R,求a的范围。

解：由题意知ax2+2x+l应取到一切正数，

当a=0时显然符合题意

当a#0时需a>0,AN0解得OvaMl综上可得04aq.

点拨：本题由值域为R反推真数部分应取到一切正数，

从而找到了突破口。

四、在逆反转换中拓展逆向思维

例1.甲，乙，丙，丁四名射击运动员同时向某一目标射

击，若他们各自单独命中目标的概率依次是0.8,

0.85,0.9,0.95。请问该目标被击中的概率是多少？

解：“该目标被击中”记作事件A,

则它的对立事件为“四人都未击中目标”，

其发生的概率是Q-0.8)x(l-0.85)x(1-0.9)x(1-0.95)=0.00015,

故P(A)=1-0.00015=0.99985.

点拨：本题利用逆反转换避免了分类讨论，也减少了计

舁里。

例2.已知点（1,2）既在函数旷=疡忑的图象上，又在

它的反函数的图象上，求a,b的值。

解：因为点（1,2）在函数丫=巨石的图象上，

所以2=Ja+b即a+b=4①

又点（1,2）在它的反函数的图象上，

所以（2,1）也在函数丫=反鹏图象上，

所以1=J2a+b即2a+b=1②

联立①②解得a=-3,b=7.

点拨：本题利用函数及其反函数的互反关系避免了求反

函数，抓住了问题的实质。

例3.k为何值时，一元二次方程（k+Dx2-4x+k-2=0至少有

一正根。

略解：满足下列条件时，所给方程有两负根①，

Xl+X2<0②,