高中数学讲义微58 数学归纳法

微专题58数学归纳法

一、基础知识：

1、数学归纳法适用的范围：关于正整数〃的命题(例如数列，不等式，整除问题等)，则可以

考虑使用数学归纳法进行证明

2、第一数学归纳法：通过假设〃=%成立，再结合其它条件去证〃=左+1成立即可。证明的

步骤如下：

(1)归纳验证：验证〃(人是满足条件的最小整数)时，命题成立

(2)归纳假设：假设〃=%(左成立，证明当〃=4+1时，命题也成立

(3)归纳结论：得到结论：〃2N时，命题均成立

3、第一归纳法要注意的地方：

(1)数学归纳法所证命题不一定从〃=1开始成立，可从任意一个正整数“°开始，此时归纳

验证从n=%开始

(2)归纳假设中，要注意kN%,保证递推的连续性

(3)归纳假设中的〃=%,命题成立，是证明〃=%+1命题成立的重要条件。在证明的过程

中要注意寻找"=k+l与n=k的联系

4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设〃=左命题成立时，可用

的条件只有〃=左，而不能默认其它〃〈女的时依然成立.第二数学归纳法是对第一归纳法的

补充，将归纳假设扩充为假设〃W%，命题均成立，然后证明〃=%+1命题成立。可使用的条

件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：

(1)归纳验证：验证〃=%(〃。是满足条件的最小整数)时，命题成立

(2)归纳假设：假设〃4攵伏2%,〃€“成立，证明当“=女+1时，命题也成立

(3)归纳结论：得到结论：时，命题均成立

二、典型例题

例I：己知等比数列｛怎｝的首项q=2,公比4=3,设S”是它的前〃项和，求证：

-S-.+--i、-3-〃--+--1

s”_n

思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：3“22”+1,〃时，不等式为

3*>+1：当〃=左+1时，所证不等式为3"122k+3,可明显看到〃=左与〃=左+1中，

两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明

3"+|-13/7+1

证明：S“=二一^=3"—1,所证不等式为：-——-<—一

"q-\3"-1n

.•.n（3n+1-l）<（3n+l）（3"-l）

<^n-3n+'-n<n-3"+'+3"-3n-\

o3"N2〃+l,下面用数学归纳法证明：

（1）验证：〃=1时，左边=右边，不等式成立

（2）假设〃左eN）时，不等式成立，则“=攵+1时，

3川=3・3423（2左+1）=6%+3>2（%+1）+1

所以〃=%+1时，不等式成立

VnGTV',均有k4网把

S.«

小炼有话说：教学归纳法的证明过程，关键的地方在于寻找所证鹿=左+1与条件〃=%之间的

联系，一旦找到联系，则数学归纳法即可使用

例2（2015,和平模拟）：已知数列｛«„｝满足4>0,其前〃项和S〃>1,且

S,=：（&+l）（a“+2）,〃eN*

O

（1）求数列｛%｝的通项公式

C1

并记为数列的前〃项和，求证：

（2）设d=log21+一Tn｛a｝

7

喈）〃eV

解：（1）65〃=+3a〃+2①

6S,I+3a.T+2（〃N2,〃eN*）②

①一②可得：

6%=4_+34-3a,i=3（。“+4-）=。；一<>

an>0所以两边同除以4+。〃_]可得：an-an_x=3

.・・{〃“}是公差为3的等差数列

/.an=a}+3（〃-1）,在6S〃=a：+3a〃+2中令〃=1可得:

6S]=a；+3〃]+2=>%=1（舍）或a1=2

/.an=3〃-1

QXQ、JQMi个

---…--

(253n-lJ2

若直接证明则需要进行放缩，难度较大。而如果选择数学归纳法证明，则目标相对明确，难

度较小。

1\Q

1+-----=log7—

[3n-1J3n-1

„.,/]（363n

+…+仇=晦匕.二.•…彳7

363〃1371+2

所证不等式为：310g2>*og—

25…3〃一12

363〃丫3〃+2

<=>log2>log2

25372—1）2

363n丫3〃+2

2-53n-lJ>2

下面用数学归纳法证明:

（3Y5275

当“=1时，不等式为士＞士二二〉士成立

⑶282

假设当〃=女（女21,攵6"*）时成立，则〃=左+1时,

363k3k+3丫_(363kV(3k+3丫

2-5…-313-+2)一〔2?…3k-J135+2,

3k+2(3&+3丫_(3%+3丫

》二-•[3k+2)=2(3%+2)2

(3左+3丫>3Z+5

所以只需证:即可，尝试进行等价变形:

2(3&+2)22

(33+3)3

〉o(3左+3)3>(3&+2)2(3A+5)

2(32+2)2

=2743+81左2+81攵+27>2723+81公

小log2c6所证不等式为：37；＞log2（%上^],〃eN*

53n-l）\2J

例3：设数列｛%｝的前〃项和为S“，满足S“=2”怎M—3〃2—4〃,〃eN*,且$3=15

（1）求。1,。2，。3

（2）求数列｛%｝的通项公式

解：（1）在Sa=2〃。〃+1-3〃？一4〃中，〃=1时，有％=2。2-7

几=2时，邑=4+%=4%-20,另有S3=4+%+q=15

q=2a2—7q=3

。]+。2=4。3-20,解得：<③二5

q+生+%=15“3=7

(2)思路：由S,,=2〃。用一3〃2一4〃可得：S-=2(〃—I)4—3(〃—1)2-4(〃—I),n>2

两式相减可得：（2〃-1）q=2加“+1—6〃-1（〃22）,从递推公式很难直接求出通项公式。

观察q=3,4=5,%=7,可猜想%=2〃+1,从而考虑“先猜再证”利用数学归纳法证明:

证明：由4=3,。2=5,%=7猜想4=2〃+1,下面用数学归纳法进行证明:

（1）验证当〃=1时，q=3符合题意

（2）假设〃=攵（421,Z£N*）时，%=2&+1,则〃=&+1时

2

S〃=2nan+}-3n-4〃

Si=2（〃-1"〃-3（〃-1）2-4（〃-1）,n>2

则（2〃-1）«?=2也〃+[-6〃-]

/.（2,k—1）%=2k€1匕卜1—6k—1

=>（2Z-1）（2Z+1）=2kcik+i—6k—1

=>4左2-1=2kak+l—6k—I

=>2包+]=4k2+6左=%+]=2攵+3=2（k+1）+1

所以〃=左+1,满足通项公式

%=2〃+1

例4：在数列｛4｝中，已知4=々（々>2）,且%+]求证：a>2

2（%T）n

证明：用数学归纳法证明:

当〃=1时，a]=a>2,命题成立

假设〃=%时，命题成立，即%>2,则〃=%+1时

生上cakca1—4-a,+4（%-2）2

考虑4+|—2=——~--2=士~^―

2（4-1）2（q-1）

《一即

ak>21>0-.ak+l-2=^-^->0,4+1>2

2（%-1）

neN*时，均有an>2

例5：已知数列｛%｝满足％=0,〃2=1，当〃cN时，4+2=4+1+〃〃

求证：数列｛4｝的第4m+1仙eN*）项能被3整除

证明：（数学归纳法）

（1）当〃7=1时，a4m+[=%=+。3=（。3+。2）+（。2+4）=3%+攵]=3,能被3整除

(2)假设当〃/=左时，。依+i能被3整除，那么当加=左+1时

%仅+1)+1="4*+5=a4k+4+°4*+3=°4«+3+%&+2+04*+2+”4«+1=3a依+2+^44+1

•••3。伏+2能被3整除，。4.+1能被3整除...％化+1)+1能被3整除

即加=左+1时，命题成立；.对一切的机GN*,%”,+I均能被3整除

11

---1----

例6：设正整数数列｛%｝满足：4=4,且对于任何〃€“，由2+」一<产<2+—

“〃+1-------

nn+1

（1）求A，/

(2)求数列｛〃〃｝的通项公式

解：(1)思路：虽然所给条件为不等式，但因为％为正整数，所以依然可由不等式确定。〃的

值，可先解出范围，再求出满足的整数即可。

由已知不等式得：2+」一<“(〃+1)<2+—

a〃+iza

1/11、11(11)1

当”=1时，2+—<2—+—<2+—即2+—<2—+-<2+—

a2Ia,a2Jax4144J4

28

得

解<q<4=

3-7-

11]111

当〃=2时,<2+—即2+上<6-+—<2+-

«2%（4到4

解得：8<a3<10,则q=9

综上：a1=1,%=9

(2)思路：由q=1,4=4,%=9可猜想4=/,且条件为递推的不等式，刚好能体现怎+1

与鬼的联系。所以考虑利用数学归纳法证明

证明：由q=1,4=4,仆=9,猜想q=〃2,下面用数学归纳法证明”22的情况：

验证：”=2时，符合通项公式

2

假设〃=攵(左22,攵eN*)时，an=k,则〃=&+1时,

c1,111cl

2+——<攵(左+1)—+——<2+—

4+1"K

=K(Z+l)<q

女3(2+1)化+2%+1)(%--%+1)-(A+1)

而

k2-k+lk2-k+ls+i

(11\2%+1

'=()4+k12)--k--+---\-------

k(k2+k-l)(左2+2左+l)(k—1)+1

k,2+2k+1+——1

k-1k-\k—T

=(攵+以+1

k—1

k+l/,\21

.-.(jt+l)2f

k-l

k+11

因为人之2时，—-------€(0,11,——€(0,11(均在左=2时，取到1)

k?-k+l'」Ii」

2

所以左>2时，ak+l€Z(2+1)-<aMK(%+1)

ak+i-(^+1),命题成立

2

V/j>2,an=n而％均符合通项公式

小炼有话说：(1)利用整数的离散性，在求整数的值时，不仅可用等式(方程)去解，也可

用不等式先求出范围，再取范围内的整数，同样可以达到求值的目的

k4.11

(2)为什么对〃22开始进行数学归纳法而不是从“21开始？因为在二-------,——中

k2-k+lk-\

左=1时，不能满足条件。所以也许一开始入手是从〃=1开始证明，但在证明过程中发现条件

的对变量取值有所限制，则要进行适当的调整。

例7：已知数列｛4｝满足a"十1=ca；+l-c,〃wN*,其中常数ce(0,；

(1)若出>%,求％的取值范围

(2)若4«0,1),求证：对任意的“wN*,都有

解：(1)由已知可得：〃=1时

a2-caf+1-c

/.cci^+1—c>4ca；-q+1-c>0[cq-(1-c)](q—1)>0

「.q<1或q>------

c

（2）思路：条件给出递推公式，故考虑利用巴.的范围去推出4+]的范围，可尝试数学归纳法

解：（数学归纳法）

当〃=1时，4£（0,1）成立

假设〃=%时，命题成立，即为£（0,1）,则当拉=k+1时，

4+1—ca"4-1-c—1-c（l-a"）

*:ak£（0,1）：.或e（0,l）=>l-£（0,1）

%]=1—C（1一4；）£（0,1）,即力=Z+1时，命题成立

所以〃£N*时，均有〃〃£（0,1）

例8：已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且q=4,S,="%+2—〃（丁）（a22,"wN*）

(1)求

⑵设也｝满足：4=4且%]1)2一2(〃eN*),求证：bn>a”(nN2,nwN*)

解:(I)Sn=nan+2-->2,n&N,^①

(H-1)(H-2)

十乙---------------------------（在3）②

2

①一②

•••4=加•一(〃—1)*一(b1)("23)

=二4一%=1

.•.{«„}从第二项开始成等差数列

令〃=2则邑=2。2+2—1=>q+%=24+1，代入q=4可得：a2=3

・

..九22时，an=%+(九一2)。=〃+1

4,n=1

n+l,n>2

(2)解：由(1)可得所证不等式为：勿>〃+1,考虑使用数学归纳法：

当〃=2时，—2=14>3=出

假设〃=攵时，命题成立，即4〉&+1,则〃=4+1时

%="ST+I)_2

而外一%+1>左+1-左+1=2;.仇+|〉2”一2>2伙+1)—2=2左

\-2k>k+2/.bk+i>k+2

所以〃=2+1时，命题成立

22时，么>〃+1=an

例9：已知△ABC的三边长为有理数

(1)求证：cosA是有理数

(2)求证：对任意的正整数〃，COSHA是有理数

证明：(1),/cosA=+<:———又a,b,cwQ

2bc

/.--------------€Q,即cosA是有理数

2bc

(2)思路：题目条件很少，无法直接入手，所以考虑利用数学归纳法制造条件并找到与条件

的联系，假设COSZAE。，则cos(左+1)A=COSA>4cosA+sinAAsinA,可知cosAAcosA为

有理数，但sin姑sinA未知，且题目中再无可用条件。所以要想证明，则需将制造条件加强，

设sinMsinAeQ,代价就是在证明时也要证明sin(4+l)AsinA《Q成立。只需

sin(k+1)AsinA=sinMsinAcosA+cosAsin2A,是可证明的

证明：使用数学归纳法证明cosnA与sinzzAsinA均为有理数

当〃=1时，由(1)可得COSAEQ,且sin2A=1-COS?AEQ

假设〃=攵时丁命题成立，即cosAAsin九AsinA^Q,则〃=攵+1时

sin(2+1)AsinA=(sinMcosAd-sinAcosM)sinA=sinMsinAcosA+cosAsin2A

•/(sinMsinA)cosAeQ,cosAsin2AeQ

sin(左+1)AsinAEQ

cos(%+1)A=cosMcosA+sinMsinA,由假设可得coskA,sinziAsinAeQ

「.COS(A+1)A£Q

综上所述：力=Z+1时，命题成立

/.neN*时，cos为有理数

小炼有话说：

(1)涉及到关于〃的命题，若所给条件过少，则可通过数学归纳法制造条件，以便于证明题

目

(2)本题在利用数学归纳法证明时，对所证问题做了一个加强，即对于同一个〃，有两个命

题同时成立，这样做的好处在于在归纳假设时会再多一个条件进行使用，但是代价就是归纳

证明时也要多证明一个结论。有时针对条件较少的题目还是值得的

例10：(2014,安徽)设实数c>0,整数〃

⑴证明：当X>一1且九时，(l+x)”〉l+px

pp

(2)数列｛凡｝满足q>〃+]=?——an+—a1~,求证：an>an+]>c

PP

解：(1)思路：所证不等式含有两个变量，若以P为核心变量，则P为大于1的正整数，且

在不等式左边位于指数的位置，在证明不等式时可以考虑利用数学归纳法，从而证明p=k+\

时，左边(1+X)""=(1+(1+X),与〃=%取得联系。

证明：用数学归纳法证明：

当〃=2时，(1+^)2=1+2X+X2>1+2X,原不等式成立

假设P=MZ22,ZGN*)时，不等式成立，即(1+域>1+依，则〃=%+1时，

(1+X广।=(l+x)(l+x)*>(l+x)(l+云)=1+(攵+1)》+依2

>1+(Z+1)X

所以〃=左+1时，不等式成立

pN2,peN*时,(1+x)P>1+px

"一1Q

(2)思路：本题证明a.>a”+|易想到对勺+।=-——an+-a,：/'两边同时除以％与1进行比

pP

\_

较：2±L=I+_L(£_]],进而要证明，

—<l=>a>cp所以只能先证后面的不等式，

anf

小,：)n

由递推公式可想到利用数学归纳法证明。

证明：用