2022-2023学年陕西省宝鸡市金台区高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以下说法中正确的是（）A.用简单随机抽样方法抽取样本，样本量越大越好B.抽签法是实现简单随机抽样的唯一方法C.通过查询获得的数据叫做二手数据D.通过调查获取的数据一定可以获得好的分析结果〖答案〗C〖解析〗对于A，用简单随机抽样方法抽取样本，样本容量的增大会导致调查的人力、费用、时间等成本的增加，而且代表性较差的样本并不能真实反映总体的情况，所以A错误；对于B，简单随机抽样除了抽签法外，还有随机数表法，所以B错误；对于C，通过查询获得的数据叫做二手数据，所以C正确；对于D，通过调查获取的数据不一定可以获得好的分析结果，所以D错误.故选：C.2.要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000、001、002、…、499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续，则第三袋牛奶的标号是（）（下面摘取了某随机数表的第8行至第9行）8442175331572455068877047447672176335025839212067663016478591695556719A.572 B.455 C.169 D.206〖答案〗B〖解析〗由题所给随机数表：从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，则牛奶抽到标号分别为：175，331，455，068，...故第三袋牛奶的标号是：445.故选：B.3.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗因为，，且，所以，解得.故选：D.4.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（）A.甲成绩的极差小于乙成绩的极差B.甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数C.甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数D.甲成绩的方差小于乙成绩的方差〖答案〗B〖解析〗从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确；将甲成绩进行排序，又，故从小到大，选择第二个成绩作为甲成绩的第25百分位数，估计值为90分，将乙成绩进行排序，又，故从小到大，选择第5个成绩成绩作为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90分，从而甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，B错误；甲成绩均集中在90分左右，而乙成绩大多数集中在60分左右，故C正确.故选：B.5.下列命题不正确的是（）A.若向量满足，则为平行向量B.已知平面内的一组基底，则向量也能作为一组基底C.模等于个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等D.若是等边三角形，则〖答案〗C〖解析〗对于A，因为，所以当为零向量时，，是平行向量，当不是零向量时，，也是平行向量，A正确；对于B，为一组基底，不共线，假设共线，则，所以，所以，矛盾，所以不共线，所以可以作为一组基底，B正确；对于C，虽然单位向量模长相等，但方向可以不同，故不所有单位向量均相等，C错误；对于D，为等边三角形，，D正确.故选：C.6.端午节是我国传统节日，记事件“甲端午节来宝鸡旅游”，记事件“乙端午节来宝鸡旅游”，且，，假定两人的行动相互之间没有影响，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，且、相互独立，所以.故选：A.7.在正方体中，M，N，P，Q分别为，，，的中点，则直线PM与NQ所成的角为（）A.30° B.45° C.60° D.90°〖答案〗C〖解析〗如图所示：取AB的中点R，连接RN，RQ，，因为M，N，P，Q分别为，，，的中点，所以，所以，所以为直线PM与NQ所成的角，又因为是等边三角形，所以.故选：C.8.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则（）A. B. C.4 D.〖答案〗D〖解析〗因为的面积为，，所以，即，所以，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题，其中不正确的是（）A.已知复数，，，则仅当时为纯虚数B.已知复数为实数，则C.已知复数，则D.已知复数，则复数对应的点在第四象限〖答案〗AD〖解析〗复数，，，则仅当时为纯虚数，所以A选项错误；若复数为实数，则，所以B选项正确；复数，则，所以C选项正确；复数，则复数对应点在第二象限，所以D选项错误.故选：AD.10.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（）A.该试验样本空间共有个样本点 B.C.与为互斥事件 D.与为相互独立事件〖答案〗ABD〖解析〗对于A：试验的样本空间为：正，正，正，反，反，正，反，反，共个样本点，故A正确；对于B：由题可知正，正，正，反，正，反，反，反，显然事件，事件都含有“正，反这一结果，故，故B正确；对于C：事件，事件能同时发生，因此事件不互斥，故C不正确；对于D：，，，所以，故D正确．故选：ABD.11.，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，则〖答案〗ABC〖解析〗对于A，若，，，则或与斜交或与平行，该命题错误；对于B，若，，，则或与异面，该命题错误；对于C，若，，则或与斜交或与平行，该命题错误；对于D，若，，由线面垂直的性质可知，该命题正确.故选：ABC．12.已知点O为△ABC内的一点，D，E分别是BC，AC的中点，则（）A.若O为AD中点，则B.若O为AD中点，则C.若O为△ABC的重心，则D.若O为△ABC的外心，且BC＝4，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为为中点，所以，故A正确；对于B，由为中点，则，故B正确；对于C，由O为△ABC的重心，则根据三角形重心的性质得，所以，故C错误；对于D，若点O为△ABC的外心，BC＝4，则根据三角形外心的性质得，故，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从3名男同学和2名女同学中任选3人参加社区服务，则选中的3人中恰有两名男同学的概率为___________.〖答案〗〖解析〗设2名女同学为，3名男同学为，从以上5名同学中任选3人总共有共10种情况，选中的3人中有两名男同学的情况有共6种情况，故所求概率为.故〖答案〗为：.14.已知复数（其中是虚数单位），则___________.〖答案〗〖解析〗因为，则，所以.故〖答案〗为：.15.已知向量，满足，，，则___________.〖答案〗〖解析〗又因为，，，所以所以.故〖答案〗为：.16.已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为_________.（用和表示出来）〖答案〗〖解析〗设圆锥的高为，母线长为，则圆锥的体积，解得，所以，故圆锥的侧面积为.

故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.注意：每题有1分书写分，要求卷面整洁，书写规范，步骤条理清晰.17.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以分组的频率分布直方图如下图：（1）求直方图中x值；（2）求月平均用电量的中位数；（3）在月平均用电量为的四组居民中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则在月平均用电量为的居民中应抽取多少户？解：（1）因直方图中，各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1，则，得.（2）因前3个矩形面积之和为，前4个矩形面积之和为，则中位数在内，设为，则，得，即中位数为224.（3）月平均用电量为的居民对应的频率为：，又由（2）分析可知，月平均用电量为的四组居民对应频率之和为：，则应抽取居民的户数为：.18.如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点．（1）求证：平面PAC；（2）求证：.解：（1）∵点D、E分别是棱AB、PB的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）∵底面，底面，∴，∵，，平面，∴平面，又∵平面，∴．19.某校组织高一年级1000名学生参加了跳绳比赛活动，以每个学生的跳绳个数作为最终比赛成绩.现从中机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩，，，，，分组进行统计，得到比赛成绩的频数分布表.记比赛成绩大于或等于160的为“优秀”.比赛成绩人数410216315（1）估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数；（2）从样本比赛成绩在和的学生中随机抽取2人，求两人比赛成绩都为“优秀”的概率.解：（1）由频数分布表可知，样本比赛成绩大于或等于160的学生有3+15=18人，所以估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”人数为1000×＝360人.（2）设“两人比赛成绩都为‘优秀’”为事件M，记比赛成绩在的学生为A1，A2，比赛成绩在的学生为B1，B2，B3，则从这5个学生中随机抽取2人的样本空间Ω={（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}，M={（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}，所以，由古典概型得P（M）；综上，估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数为360，两人比赛成绩都为优秀的概率为.20.在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个．假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件为“任选一灯谜，甲猜对”，事件为“任选一灯谜，乙猜对”．（1）任选一道灯谜，记事件为“恰有一个人猜对”，求事件发生的概率；（2）任选一道灯谜，记事件为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件发生的概率．解：（1）由题意可得，，.（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：，∴．21.在△ABC中，已知，，．（1）求a和c的值；（2）求b的值．解：（1）由于，所以为锐角，所以，由正弦定理得，所以，结合可得（2），由余弦定理得.22.请你回答以下问题：（1）古典概型的特征有哪些？（2）举出一个在日常生活中利用概率决策的例子．解：（1）古典概型的特征有：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.（2）如天气预报，疾病筛查等.陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以下说法中正确的是（）A.用简单随机抽样方法抽取样本，样本量越大越好B.抽签法是实现简单随机抽样的唯一方法C.通过查询获得的数据叫做二手数据D.通过调查获取的数据一定可以获得好的分析结果〖答案〗C〖解析〗对于A，用简单随机抽样方法抽取样本，样本容量的增大会导致调查的人力、费用、时间等成本的增加，而且代表性较差的样本并不能真实反映总体的情况，所以A错误；对于B，简单随机抽样除了抽签法外，还有随机数表法，所以B错误；对于C，通过查询获得的数据叫做二手数据，所以C正确；对于D，通过调查获取的数据不一定可以获得好的分析结果，所以D错误.故选：C.2.要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000、001、002、…、499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续，则第三袋牛奶的标号是（）（下面摘取了某随机数表的第8行至第9行）8442175331572455068877047447672176335025839212067663016478591695556719A.572 B.455 C.169 D.206〖答案〗B〖解析〗由题所给随机数表：从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，则牛奶抽到标号分别为：175，331，455，068，...故第三袋牛奶的标号是：445.故选：B.3.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗因为，，且，所以，解得.故选：D.4.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（）A.甲成绩的极差小于乙成绩的极差B.甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数C.甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数D.甲成绩的方差小于乙成绩的方差〖答案〗B〖解析〗从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确；将甲成绩进行排序，又，故从小到大，选择第二个成绩作为甲成绩的第25百分位数，估计值为90分，将乙成绩进行排序，又，故从小到大，选择第5个成绩成绩作为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90分，从而甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，B错误；甲成绩均集中在90分左右，而乙成绩大多数集中在60分左右，故C正确.故选：B.5.下列命题不正确的是（）A.若向量满足，则为平行向量B.已知平面内的一组基底，则向量也能作为一组基底C.模等于个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等D.若是等边三角形，则〖答案〗C〖解析〗对于A，因为，所以当为零向量时，，是平行向量，当不是零向量时，，也是平行向量，A正确；对于B，为一组基底，不共线，假设共线，则，所以，所以，矛盾，所以不共线，所以可以作为一组基底，B正确；对于C，虽然单位向量模长相等，但方向可以不同，故不所有单位向量均相等，C错误；对于D，为等边三角形，，D正确.故选：C.6.端午节是我国传统节日，记事件“甲端午节来宝鸡旅游”，记事件“乙端午节来宝鸡旅游”，且，，假定两人的行动相互之间没有影响，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，且、相互独立，所以.故选：A.7.在正方体中，M，N，P，Q分别为，，，的中点，则直线PM与NQ所成的角为（）A.30° B.45° C.60° D.90°〖答案〗C〖解析〗如图所示：取AB的中点R，连接RN，RQ，，因为M，N，P，Q分别为，，，的中点，所以，所以，所以为直线PM与NQ所成的角，又因为是等边三角形，所以.故选：C.8.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则（）A. B. C.4 D.〖答案〗D〖解析〗因为的面积为，，所以，即，所以，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题，其中不正确的是（）A.已知复数，，，则仅当时为纯虚数B.已知复数为实数，则C.已知复数，则D.已知复数，则复数对应的点在第四象限〖答案〗AD〖解析〗复数，，，则仅当时为纯虚数，所以A选项错误；若复数为实数，则，所以B选项正确；复数，则，所以C选项正确；复数，则复数对应点在第二象限，所以D选项错误.故选：AD.10.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（）A.该试验样本空间共有个样本点 B.C.与为互斥事件 D.与为相互独立事件〖答案〗ABD〖解析〗对于A：试验的样本空间为：正，正，正，反，反，正，反，反，共个样本点，故A正确；对于B：由题可知正，正，正，反，正，反，反，反，显然事件，事件都含有“正，反这一结果，故，故B正确；对于C：事件，事件能同时发生，因此事件不互斥，故C不正确；对于D：，，，所以，故D正确．故选：ABD.11.，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，则〖答案〗ABC〖解析〗对于A，若，，，则或与斜交或与平行，该命题错误；对于B，若，，，则或与异面，该命题错误；对于C，若，，则或与斜交或与平行，该命题错误；对于D，若，，由线面垂直的性质可知，该命题正确.故选：ABC．12.已知点O为△ABC内的一点，D，E分别是BC，AC的中点，则（）A.若O为AD中点，则B.若O为AD中点，则C.若O为△ABC的重心，则D.若O为△ABC的外心，且BC＝4，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为为中点，所以，故A正确；对于B，由为中点，则，故B正确；对于C，由O为△ABC的重心，则根据三角形重心的性质得，所以，故C错误；对于D，若点O为△ABC的外心，BC＝4，则根据三角形外心的性质得，故，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从3名男同学和2名女同学中任选3人参加社区服务，则选中的3人中恰有两名男同学的概率为___________.〖答案〗〖解析〗设2名女同学为，3名男同学为，从以上5名同学中任选3人总共有共10种情况，选中的3人中有两名男同学的情况有共6种情况，故所求概率为.故〖答案〗为：.14.已知复数（其中是虚数单位），则___________.〖答案〗〖解析〗因为，则，所以.故〖答案〗为：.15.已知向量，满足，，，则___________.〖答案〗〖解析〗又因为，，，所以所以.故〖答案〗为：.16.已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为_________.（用和表示出来）〖答案〗〖解析〗设圆锥的高为，母线长为，则圆锥的体积，解得，所以，故圆锥的侧面积为.

故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.注意：每题有1分书写分，要求卷面整洁，书写规范，步骤条理清晰.17.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以分组的频率分布直方图如下图：（1）求直方图中x值；（2）求月平均用电量的中位数；（3）在月平均用电量为的四组居民中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则在月平均用电量为的居民中应抽取多少户？解：（1）因直方图中，各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1，则，得.（2）因前3个矩形面积之和为，前4个矩形面积之和为，则中位数在内，设为，则，得，即中位数为224.（3）月平均用电量为的居民对应的频率为：，又由（2）分析可知，月平均用电量为的四组居民对应频率之和为：，则应抽取居民的户数为：.18.如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点．（1）求证：平面PAC；（2）求证：.解：（1）∵点D、E分别是棱AB、PB的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）∵底面，底面，∴，∵，，平面，∴平面，又∵平面，∴．19.某校组织高一年级1000名学生参加了跳