集合间的基本关系讲义-高一年级上册数学人教A版（2019）必修第一册

1.2集合间的基本关系知识整合

、Venn图

Venn图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用Venn图,

可以使问题简单明了地得到解决。

二、子集和真子集的区别：

如果集合A是集合B的干集，那么有以下两种Venn图的表示方法：

ABA=B

如果集合A是集合B的禀子集，则只有以下一种Venn图的表示方法:

AB

三、空集0的特征及重要作用：

①空集里没有任何元素，0也不是空集的元素；

②空集的书写方法区别于其它集合，一般的集合外层都有一个｛｝,元素放在

｛｝之内，但是空集0却不需要加这个｛卜

③空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，因此在写一个集合的

子集的时候，切勿将空集丢掉；

④空集作为一个特殊的集合，常常用来作为判断一个命题是否正确的反例；

⑤在根据集合之间的关系求参数的值或取值范围的题目中，空集作为集合的

子集常常出现在解题的第一步，并且也是学生容易忽略掉的，需要重点强调。

四、集合的子集的个数：

若集合A中有（1个元素，则A的子集的个数为2"个，A的真子集的个数为

2"-1个，A的非空子集的个数为2"-1个，A的非空真子集的个数为2"-2个。

五、元素与集合、集合与集合之间关系的区别：

元素与集合之间的关系用'”或“任”表示；集合与集合之间的关系用

“三”，“卫”或“”，"”或“=”表示，注意不要混淆了。

六、求参数的取值范围问题要特别注意端点。

利用集合与集合之间的关系求参数的取值范围这一类型的题目中，在根据包

含关系写出不等式组的时候，一定要注意端点处的等号能不能取到，可画出数轴

来直观地理解，以免出错。

1.2集合间的基本关系

题型一、判断两个集合的包含关系

1.已知集合“={丫€^|*<2},则以下关系正确的是()

A.OeMB.2出M

C,{0,1,2}cMD.{。」,2}

2.下列说法正确的是（）

A.NeZB.TteQC.0=0D.N+CR

3.设集合A={xeO|x>-l},则（）

A.B.6.正AC.{2}eAD.{砰A

4.给出下列关系：@|e/?；②卜3忸N；③-④()£N；@0c{O},其

中正确的个数

为()

A.1B.2C.3D.4

5.用*“c”或*填空：

(1)ZN：(2)Z。；⑶0N：(4)RQ.

6.下列命题中正确的有(写出全部正确的序号).

①{2,4,6}C{2,3,4,5,6}；②{菱形}G{矩形};③{%4=0}G{0}；

④{（0,1）}G{O,1}；⑤{1}70,1,2};⑥{x|xN2}{x|x>l}.

7.已知集合加={工板是平行四边形},N={x|x是矩形},P={x|x是正方形},Q

={x}x是菱形},

则（）

A.MRNB.P=NC.Q三PD.Q=N

8.已知集合A={x|f>4},8={纸>8},则（）

A.-2eAB.3eBC.A=BD.AoB

9.已知集合4={1,2,3,4,5},集合3={1,2},若集合C满足：B

CqA,则集合C的个数为（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

题型二、判断两个集合是否相等

I.下列表述错误的是（）

A.0e{0}B.0c{O}C.{0,1}={1,0}D.{（0,1）}={（l,0））

2.下列各式中：①{0}v{0J2}；②{0,1,2}U{2,1,0}；③0a{0,1,2}；（4）0={0};

⑤{0,1}={（0,1）}；⑥0={0}.正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

3.给出下列四个命题：

①设集合用={中〉-1},则{0}G〃；

②空集是任何集合的子集；

③集合4=卜拉=42_118=卜y=J—T1表示同一集合;

④集合尸={凡圻,集合。={b,a},则P=0

其中不正确的命题是（）

A.①②B.②④C.①③D.③④

4.（多选）下面关于集合的表示正确的是（）

A.3G{My=x?+万，xw/?}B.{(。力)}={(>,“)}

C.{x|j>l}={y|y>l|D.|xe/?|x2+2=o|=0

5.若忖,0,_l}={她0},则(而产的值为()

A.0B.1C.-1D.±1

6.已知集合{l,a,20}=2,凭/，则0+》=,

7.设集合M=[xx=5+；,Zez},集合N=卜卜=；+g,则()

A.M=NB.MNC.MND.M?N

8,若集合A={乂工=2左一1,%eZ},3={x|x=2Z+1,Z£Z},

C={M%=4&+1,&£Z},则A,比C的关系是()

A.C^A=BB.AqCqBC.A=B=CD.BqAqC

9.若集合A=<x|x=m+L,加eZ>,B=<x\x----,nez\,

623

C=<x|尤=4+7，peZ>,则A民c之间的关系是（）

2o

A.A=B=CB.AUs=cc.A茴5cD.8荷CA

题型三、空集的概念以及判断

1.下列四个结论：①0£0；②（）€0;③{。卜0;④{。}=。.其中正确结论的

序号有几个（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下列选项中正确的有（）

A.{质数}U{奇数};B.集合{1,2,3}与集合{4,5,6}没有相同的子

集；

C.空集是任何集合的真子集；D.若AqB,BcC,则AqC；

3.下列关于空集的说法中，错误的是（）

A.Oe0B.0c0C.0e{0}D.0c{0}

4.（多选）下列关系中正确的是（）

A.QeNB.兀wQC.0£{0}D.0£{0}

5.（多选）给出下列关系，其中正确的选项是（）

A.0€{{0}}B.0c{{0}（C.0e{0}D.0c{0}

6.下列四个命题：（1）空集没有子集；（2）空集是任何一个集合的真子集；

（3）0={0};（4）任何一个集合必有两个或两个以上的子集.其中正确的个

数有（）个

A.0B.1C.2D.4

7.下列命题中正确的是（）

A.空集没有子集B.空集是任何一个集合的真子集

C.任何一个集合必有两个或两个以上的子集

D.设集合3口A,那么，若x/A,则x/B

8.（多选）下列集合是空集的是（）

A.{ye/?y<。}B.{xe/?,+x+3=()}

C.{xe昨+2020=2020}D.1(x,y)|x2+|y|=0,x,ye/?j

9.（多选）下列四个集合中，是空集的是（）

A.{小-4=-4}B.1(x,y)|y2=-x2,x,ye/?|

C.|x|a<x<6zjD.1x|x2-x+l=0|

10.下列集合中:①｛（）｝；②｛W+l,x<0,〃eR｝；③｛0｝；④0；⑤

｛x\x=yl-2-rr,n&R,xeR｝；⑥｛（。，。）｝，是空集的为（只填序号）.

11.已知集合加=*|26<_«<俏+1｝,且M=0,则实数机的取值范围是

12.已知集合4=卜|1+2%+。=0,。61^,若A*0,则。的取值范围是

13.若集合A=卜“一25+口一1=（）｝=0,则实数〃的取值范围是.

题型四、判断集合的子集（真子集）的个数

I.集合。=｛X6凶一2〈工一1<2｝的子集的个数是（）

A.2B.3C.4D.8

2.集合｛2,0,1,9｝的真子集的个数是（）

A.13B.14C.15D.16

3.集合｛x|-l<x<3,xeN*｝的非空子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

4.已知集合加=｛机|团=三+乙+目+产；,x,y,z为非零实数｝,则M的子

\x\|j|\z\\xyz\

集的个数是（）

A.2B.3C.4D.8

5.定义集合A*3=｛x[x=,设4={2,3},8={1,2},则集合4九8

的非空真子集的个数为（）

A.12B.14C.15D.16

6.已知集合4={%|V-3X+2=0},8={x[0<x<6,xw/V},则满足条件

ACqB的集合。的个数为（）

A.3B.4C.7D.8

7.若集合A={a也c},B^A,则集合8中元素的个数是（）

A.1个B.2个C.1或2或3个D.0或1或2或3

个

8.满足{a}qM{a,6,c,"}的集合M共有个.

9.若xeA,则就称A是和美集合，集合”=[-1,0,；,；,1,31的所有非空

X123J

子集中是和美集合的个数为（）

A.4B.5C.6D.7

10.若非空集合M满足：（1）Me{1,2,3,4,5）；（2）当aeM时，总有

6-aeM,则符合上述要求的集合M有个.

11.若集合{x|（攵+l）V+xT=0,无eH}有且仅有两个子集，则实数左=

题型五、求集合的子集（真子集）

1.（多选）若{1,2}。3{1,2,3,4},则3=（）

A.{1,2}B.{1,2,3}C.{1,2,4}D.{1,2,3,4}

2.（多选）已知非空集合”满足:①Ma{-2,-1,1,2,3,4},②若xeM,则

/《加.则集合乂可能

是（）

A.{-1,1}B.{-1,1,2,4}C.{1}D.{1,-2,2）

3.已知集合5={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集，当xeA时，若有彳-喋A,

月.X+1CA,则称尤为A的一个“孤立元素”，那么S中无"孤立元素''的4个元素

的子集共有个，其中的一个是.

4.已知集合4={41,4的所有非空真子集的元素之和等于12,则4+b+c的值

为（）

A.1B.2C.3D.4

5.若集合A={l,2},8={x|xeA},C={x|x=A}用列举法表示集合

B=,

C-.

6.设集合A={q,%,%,%},若集合A中所有三个元素的子集中的三个元素之

和组成的集合为8={2,5,6,8},则集合A=.

7.设丫是由6的全体正约数组成的集合，写出丫的所有子集.

8.已知集合A={a+3,，+2a,0},且3eA.

(1)求实数。的值；(2)写出集合A的所有子集.

9.已知集合4={(%切%+、=2»,：^用，试写出A的所有子集及真子集.

10.已知集合A满足条件：若aeA,a/1,则J—eA.

\-a

(1)若2eA,则集合A中是否还有其它元素？若没有，说明理由；若有，求

出集合A中的所有元素；

(2)集合A是否有可能是只有一个真子集的集合？如果可能，求出集合A；

如果不能，说明理由.

题型六、根据集合之间的关系求参数的值或取值范围

1.已知集合”={矶4,*,N={1,x2},若NjM,则实数，组成的集合为

()

A.{0}B.{-2,2}C.{-2,0,2}D.{-2,0,1,2}

2.已知集合4={。,m+1,叫，B={3,m+2},若则机=

3.设集合A={l,2},B={x®-2=0},若则由实数a组成的集合为

()

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{0,1,2)

4.已知集合”={—2,0,1},'+如_2=0},若NjM,则实数a=

()

A.2B.1C.0D.-1

5.(多选)若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若

两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集

合4={-1,0,2},8=卜辰2=2”.，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则〃可

能的取值为()

A.0B.1C.-D.-1

2

6.已知集合4={犬,2—ar+0=0MeR力eR}.

(1)若A={1},求a,6的值；(2)若8={xeZ|-3Vx<0},且A=8,求a,h

的值.

7.已知A={x|x2+5x-6=0},«=1x|x2+/?x+^=0|,BeA,且8不是空集,

(1)求集合B的所有可能情况；(2)求P、勺的值.

8.A={X|J?+4X=()},B=|jt|x2+2(a+l)jr+a2-1=()1.

(1)若AaB,求实数。的值；(2)若B=A,求实数”的取值范围.

9.设A={x|-l<xW3},B={x\x>a],若A=8,则。的取值范围是()

A.{4423}B.C.{a|a>3)D.{a|«<-l)

10.已知集合4=何—14x41},B={^a-\<x<2a-\\,若81则实数。的取

值范围是()

A.a<\B.a<\C.0<«<lD.Ovavl

11.已知函数A={x|-1vx<2},3={x|2a-l<xv2a+3},C={x|-3vxv4},若

=则〃的取值范围是()

A.卜|-g<a<o}B.ja|-^<<z<oj>C.ja|-^<a<o|

D.||-；4a4o}

12.已知集合4={幻血4或x<-5},B={x|«+l<x<o+3},若则实数。的

取值范围________.

13.已知集合4={巾2。45}.

(1)若8占4,B={x\fn+l<x<2m-1},求实数，"的取值范围；

(2)若AS,B={x\m-6<x<2m-\},求实数"?的取值范围；

(3)若A=8,B={x\m-6<x<2m-l],求实数机的取值范围.

14.设集合A={X|-1<X4-1<6},B={x\m-\<x<2/n+l）.

（1）当xeZ时，求A的非空真子集的个数；（2）若A卫8,求加的取值范

围.

15.已知集合A={x|a-l<x<2a+l},B={x[O<x<l},

（1）若A为空集，求实数。的取值范围；

（2）若8是A的真子集，求实数a的取值范围.

1.2集合间的基本关系答案

题型一、判断两个集合的包含关系

1、【答案】D

【详解】因为M={xeN[xV2},所以M={1,2},

所以0成M,A错误；B错误；MU{0,1,2）.C错误；D正确.故选:D.

2、【答案】D

【详解】对于A：N是自然数集，Z是整数集，集合之间的关系应为N=Z或N

Z,故选项A不正确；对于B：兀是无理数，Q是有理数集，故兀£Q,所以

选项B不正确；

对于C：0表示不含任何元素的集合，而（）是实数，故两者不相等，所以选项C

不正确；

对于D：N,正整数集是实数集R的子集，即N.qR,故选项D正确；故选：D

3、【答案】B

【详解】集合A用语言叙述是所有大于一1的有理数，所以0是集合A中的元

素，故A错，

Q是无理数，不是集合A中的元素，故B正确，{2}应该是集合A的子集，故

C错误，

{&}不是集合A的子集，故D错误.故选：B

4、【答案】B

【详解】对于①，R表示实数集，g是实数，所以;eR,故①正确；

对于②，N表示自然数集，|-3|=3eN,故②错误；

对于③，。表示有理数集，-6是无理数，所以-名任Q,故③错误；

对于④，N表示自然数集，OeN,故④错误；

对于⑤，空集是任何集合的子集，所以0口（）}正确，故⑤正确.

综上，①⑤正确，②③④错误，所以正确的个数为2.故选：B

5、【答案】27

【详解】根据自然数集，整数集，有理数集，实数集的关系即可得

Z?N；(2)Z：。；(3)Q?N；(4)R?Q.

故答案为：？；？；？；？

6、【答案】①③⑥

【详解】对于①，2,4,6w{2,3,4,5,6},则[2,4,6}=[2,3,4,5,6),故①

正确；

对于②，菱形不属于矩形，则{菱形}{矩形},故②不正确；对于③，由

x2=0,解得x=0,则{小^OgO},故③正确；对于④，(0,1)武0,1},则{(0,

l)}c{0,1},故④不正确；

对于⑤，集合与集合不能用属于与不属于关系表示，所以{1}W{O,1,2}不正

确；

对于⑥，{x|xN2}{x|x>l},故⑥正确.故答案为：①③⑥.

7、【答案】B

【详解】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形间的相互关系可知，ACD错

误，B正确.故选：B

8、【答案】D

【详解】由集合A={小2>4}={x[x<-2或x>2},3>8}={X,〉2},结合选

项，可得AqB.

故选：D.

9、【答案】B

【详解】根据8C^A,集合C可写成如下形式：

{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}

所以满足条件的集合C的个数为7个，选项B正确.故选：B.

题型二、判断两个集合是否相等

1、【答案】D

【详解】对于A,0e{0},显然成立，故正确；对于B,空集是任何集合的子

集，故正确；

对于C,由元素的无序性可知{0,1}={1,0},故正确；

对于D,集合为点集，（0,1）与（1,0）为不同点，故错误.故选：D

2、【答案】B

【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；

②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{0,1,2}={2,1,0},正确；

③空集是任意集合的子集，故0a{0,1,2},正确；

④空集没有任何元素，故0叫。},错误；

⑤两个集合所研究的对象不同，故{0，1}，{（0，1）}为不同集合，错误；

⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；...②③正确.故选：B.

3、【答案】C

【详解】①应为{OEM,错误；

②根据空集的性质，空集是任何集合的子集，正确；

③人士工次》或8={y|y20},显然不是同一集合，错误；

④由题设，尸、。中所含元素一样，即尸=。，正确；故选：C

4、【答案】CD

【详解】A项：因为y=f+兀？兀，所以巾=/+肛xeR},故A错误；

B项：若则{（a,b）}w{（b,a）},故B错误；

C项:{x|x>l}={y|y>l},故C正确；

D项：因为W+2/2,所以f+2=0无解，故D正确，故选：CD.

5、【答案】C

-2r2«

【详解】因为忖,0,-1}={岫,0},所以;二;或;二，

,\a2=afa=0_....,„[a=l,\a2=bfa=-l

由（，可r解得八।（z不符合，舍去）x或人由।可解得（।,

b=-\[0=-1[8=—1[a=-l[o=l

综上，ab=-\,则（灿）2以=-1.故选：C.

6、【答案】2或4或1

【详解】•.•{1,a,2b]={2,凡自，；.2e{l,a,2b],

若a=2或25=2,则。=2或。=1.

当a=2时，（1,2,%}={2,b2,1）,

BPb2=2b,解得方=0或人=2,止匕时“+b=2+0=2或a+人=2+2=4,

当。=1时，{1,a,2]={2,1,今,即解得a=0,a+b=0+l=l,

所以。+。=2或4或1,故答案为：2或4或1.

7、【答案】B

【详解】M=\xx=—+^,k&Z

tn1J

当女=2加(〃？eZ)时,N=Xx=—+—,,

42JI22

当女=2加一l(mwZ)时，N=keZ卜卜/nGZ>=M,

所以MN,故选：B.

8、【答案】A

【详解】由已知可知，集合A、8为奇数集，则A=8,

•：C-^x\x-2x2k+l,keZ^^B,故C=A=8.故选：A.

9、【答案】B

【详解】YA={x|x="z+1,/"ez1={x6/n+l„

x-----,m&Z>,

6

B=<jx[x=]-g,〃eZx|x='±〃eZx\,x=—3r^+-lj,eZ另\,

C=b|x=5+：,”z}=[x[x=^,pwz},显然AU8=C,故选：B.

题型三、空集的概念以及判断

1、【答案】B

【详解】①0三0,正确；②Ow0,因为。e0,所以错误；③｛。｝#0,正确；

④｛0｝=0,因为｛0｝表示集合中有一个元素，是“0”，但是0表示集合中一个元素

也没有，所以错误.

故选：B

2、【答案】D

【详解】A.2是质数，但是它不是奇数，所以｛质数｝u｛奇数｝错误，所以该选

项错误；

B.集合｛1,2,3｝与集合｛4,5,6｝有相同的子集0,所以该选项错误；

C.空集是任何非空集合的真子集，所以该选项错误；

D.若Aub,B口C,则A=C,所以该选项正确.故选：D

3、【答案】A

【详解】A：因为e用于元素与集合之间，故A错误；

B：因为空集是任何集合的子集，故B正确；

C：因为{0}中的元素是0,故C正确；

D：因为空集是任何集合的子集，故D正确；故选：A

4、【答案】ACD

【详解】自然数集中包含0,故OeN,A正确；乃是无理数，故乃仁。，B错

误；

空集是任意集合的子集，故C,D正确.故选：ACD

5、【答案】BCD

【详解】显然。不是集合{{0}}的元素，所以A不正确；0£((0)1,所以B正

确；

0e{0},满足元素与集合的关系，所以C正确；

0a{0},满足集合与集合的包含关系，所以D正确；故选：BCD.

6、【答案】A

【详解】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故(1)、(2)

错

又空集中不含任何元素，04。},故(3)错误；空集只有空集一个子集，故

(4)错

综上所述正确的个数为0个。故选A

7、【答案】D

【详解】A选项，空集是其本身的子集，A错；

B选项，空集是任一非空集合的真子集，B错；

C选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C错；

D选项，若BuA,则B中元素都在A中，A中没有的元素，则B中也没有；故

D正确.故选：D.

8、【答案】AB

【详解】A：由yeR上丁为恒成立，故卜€/?/<0}=0；

B：方程/+尤+3=0无解，故{X€R,+X+3=O}=0；

C：{xe/?|x+2020=2020}={0},不为空集；D：{(x,y)|x2+|>­|=0)={(0,0)},不为空

集.故选：AB

9、【答案】CD

【详解】选项A,{#-4=-4}={0},不正确；选项B,

{(x,y)lr=-x2,x,ywR}={(0,0)),不正确；

选项C,{x\a<x<a]=0,正确；

选项D,X2-X+1=0,A=1-4=-3<0,方程无解，{x|x，-x+l=O,xe/?}=0.故

选：CD

10、【答案】②④⑤.

【详解】①中有元素0,③中有元素0,⑥中有元素(0,0),它们都不是空集；

②中元素X=/+L1,...不存在任何一个元素属于集合②，②是空集；

同理，⑤也是空集；。代表空集，即④是空集.故答案为：②④⑤.

11、【答案】{川“训

【详解】VM=0,：.2m>m+l,故答案为{印根21}.

12、【答案】{alaWl}

【详解】•.•集合4={x|/+2x+a=0,aeR},且A#0,.•.方程/+2x+a=0有解，

A=4-4a>0,解得：a<\.故4的取值范围是

13、【答案】{*40}

【详解】由题意，集合A={x|ar2_2以+。-1=0}=。，若。=0时，集合

4=a-1=。}=。,满足题意;

若"0时，要使得集合4={x辰2-2ar+a-l=0}=九则满足

A=(-2a)2-4々(。-1)=4。<0,解得”0,

综上可得，实数〃的取值范围是{*40}.故答案为：

题型四、判断集合的子集(真子集)的个数

1、【答案】D

【详解】由题意P={xeN[T<x<3}={01,2},有三个元素，其子集有8个.故

选：D.

2、【答案】C

【详解】集合⑵0,1⑼含有4个元素,则集合亿0,1,9}的真子集有2-1=15

（个），故选：C

3、【答案】A

【详解】•・・{x|-1<X<3,XWN，}={1,2},••.集合共有22=4个子集，，非空子集个数

为4-1=3个，故选：A

4、【答案】D

【详解】因为集合”司机=5+育+百+而，八八z为非零实数},

所以当x,y,z都是正数时，加=4；当x，%z都是负数时，m=-4.

当x,y,z中有一个是正数，另两个是负数时，机=0,

当x,y,z中有两个是正数，另一个是负数时，%=0,

所以集合M中的元素是3个，所以M的子集个数是8,故选：D.

5、【答案】B

【详解】Aafi={2,3,4,6},所以集合AA3的非空真子集的个数为2-2=14,故

选：B.

6、【答案】C

【详解】因为竟={1北-3X+2=0}={1,2},B={x|0<x<6,xeA^}={1,2,3,4,5}A

C=B

所以集合。的个数为23-1=7,故选：C

7、【答案】D

【详解】因为BUA,而集合A的子集有：0,集合中没有元素，元素个数为

0;

⑷、抄}、{c},单元素集，集合中含有1个元素;

{46}、{&£•}、{b,c},双元素集，集合中含有2个元素；

{。也。},三元素集，集合中含有3个元素；

所以集合8中元素的个数是。或1或2或3个.故选：D

8、【答案】7

【详解】由题意可得，知=｛4｝或知=｛4,。｝或加=｛°,耳或〃=｛。,力或"=｛4,。,<;｝

或加=｛4也4｝或/=｛。,。/｝,即集合M共有7个。故答案为：7

9、【答案】D

【详解】先考虑含一个元素的子集，并且其倒数是其本身，有｛-1｝，律，

再考虑含有两个元素的和美集合，有｛-1」｝,七,3｝,

含有三个元素的子集且为和美集合的是卜11，3｝，｛弓，3｝,

含有四个元素的子集且为和美集合的是卜草，；，3｝.

10、【答案】7

【详解】根据条件：若元素aeM,则6-aeM,

将集合｛1,2,3,4,5｝的元素分成三组；1和5;2和4;3.VMe（1,2,3,4,51,

当M中元素只有一个时，用=｛3｝;当M中元素只有二个时，"=｛1.5｝或｛2,4｝；

当M中元素只有三个时，”=｛1,3,5｝或｛2,3,4｝；当M中元素只有四个时，

A=｛1,2,4,5｝；

当M中元素有五个时，M=｛123,4,5｝；综上所述得：则集合M个数是：7,故

答案为：7.

11、【答案】一1或

【详解】因为集合｛x|（Z+l）x2+x-Z=O,xeR｝有且仅有两个子集，所以集合中仅

有1个元素，

即（4+1）/+》_%=0只有一个根，当左+1=0,即4=一1时，x=—1成立，

当女+1x0,即4片一1时，△=1+4及（左+1）=0,即4公+4々+1=0,解得k=_；,

故答案为：-1或

题型五、求集合的子集（真子集）

1、【答案】ABC

【详解】V{1,2}cB{1,2,3,4},2}或8={L2,3}或5={1,2,4).

故选：ABC.

2、【答案】AC

【详解】由题意可知3名"且4走而-2或2与4同时出现，所以-2后M且

2任M,所以满足条件的非空集合M有{TJ,⑴，故选：AC

3、【答案】6(0,1,2,3}

【详解】因为集合5={0』,2,3,4,5},根据题意知只要有元素与之相邻，则该元

素不是孤立元素，

所以S中无“孤立元素”的4个元素的子集有{0』,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},

{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5}.其中一个可以是{0,1,2,3}.

故答案为：6；{0,123}.

4、【答案】D

【详解】因为集合人;包也得的所有非空真子集为：

{a},{b},{c],{a,b},{a,c},{b,c},

所以有4+/2+C+Q+0+4+C+匕+c=12=>3(o+h+c)=12=〃+b+c=4,故选：D

5、【答案】{1,2}{0,{1},{2},{1,2})

【详解】由题意得，A={1,2},B={小S}={1,2},

则集合C中的元素是集合A的子集:0,{1},{2},{1,2},

所以集合。={0,{1},{2},{1,2}},

故答案为:{1,2},{0,⑴，⑵，{1,2}).

6、【答案】{-1,125}

【详解】集合A中三个元素的子集为：{《，生,也}、{知%,包}、{4，色，%}、

{%%&}，

因为集合A中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为

3={2,5,6,8},

q+%+%=2

4+，+%=：,解得生=1

所以得到所以集合A={-1,125}.故答案为:

a3=2

。2+〃3+=8=5

｛-1,1,2,5｝

7、解:因为6的正约数有1、2、3、6,所以丫=｛123,6｝,

所以丫的子集有：。、｛1｝、｛2｝、｛3｝、｛6｝、｛1,2｝、｛1,3｝、｛1,6｝、｛2,3｝、｛2,6｝、

｛3,6｝、｛1,2,3｝、｛1,2,6｝、｛1,3,6｝、｛2,3,6｝、｛1,2,3,6｝共16个；

8、【答案】⑴1

（2）0,｛4｝,｛3｝,｛0｝,｛4,3｝,｛4,0｝,｛3,0｝,｛4,3,0｝

【解析】（1）V3eA,A=｛a+3,/+2a,0｝

当。+3=3时，a=0,此时/+2“=0,由于集合中的元素不能重复，故舍去

当t?+2a=3时，”=1或-3,当a=l时，A=｛4,3,0｝符合要求；当。=-3时，a+3=0,

此时集合A中有两个0,故舍去，综上：«=1

（2）由（1）知，A=｛4,3,0｝,

故A的所有子集为：0,｛4｝,｛3｝,｛0｝,｛4,3｝,｛4,0｝,集0｝,｛4,3,0｝

9、【答案】

A的子集有0,｛（。，2）｝,｛（1』）｝,｛（2,0）｝,｛（0,2）,（1,1）｝,｛（0,2卜（2,0）｝,

｛（1,1）,（2,0））,｛（0,2）,（1,1）,（2,0）｝.

A的真子集有0,｛（。，2）｝,｛（1,1）｝,（（2,0））,｛（0,2）,（1,1）｝,｛（0,2）,（2,0）｝,

｛（覃）,（2,0）｝.

［详解】VA=｛（x,y）\x+y=2,x,yeN｝，,A=｛（0,2）,（1#,（2,0）｝,

A的子集有0,｛（0,2）｝,｛（1,1）｝,｛（2,0）｝,｛（0,2）,（1』）｝,｛（0,2）,（2,0）｝,｛（1,1）,（2,0）｝,

｛（0,2）,（1,1）,（2,0））.

A的真子集有0,｛（0,2）｝,｛（11）｝,｛（2,0）｝,｛（0,2）,（1,1）｝,｛（0,2）,（2,0）｝,｛（U）,（2,O）｝.

10、【答案】（1）2,-1,；；（2）不能，理由见解析.

【详解】（1）根据条件，若2eA,贝U」=-leA,厂..

1-21一（-1）21--

这两个元素为-14，所以集合A中的所有元素为2,-1,

（2）若A为单元素集，则“=3；整理成，/-〃+1=0;△=1-4<0；.•.该方程

1一。

无解；

即A不可能是单元素集.所以集合A不可能是只有一个真子集的集合.

题型六、根据集合之间的关系求参数的值或取值范围

1、【答案】c

【详解】因为NuM,所以X=解得X=0,x=l或丁=4,解得x=±2,

当x=0时，M={1,4,0},7V={l,0},NjM,满足题意.

当x=l时，用={1,4,1},不满足集合的互异性.

当x=2时，M={1,4,2},N={1,4},若NjM,满足题意.

当x=-2时，M={l,4,-2},N={1,4},若NjM,满足题意.

故选：C.

2、【答案】2

【详解】由8aA,结合已知条件由下列两种情况：

①若/n+l=3,则加=2,此时4={0,3,4},B={3,4},满足8=A；

②若m2=39则/n=+>/3,

(i)当加=6时，A={0,^+1,3),3={3,若+2},不满足BuA；

(ii)当〃?=-右时，A=[0,-^3+1,3),8邛，-石+2},不满足8=A,

综上所述，%=2.故答案为：2.

3、【答案】D

【详解】由题意，当3=0时，”的值为0；

当8=旧时，〃的值为2;当8={2}时，。的值为1,故选：D

4、【答案】B

【详解】对于集合M因为公=/+8>0,所以N中有两个元素，且乘积为-2,

又因为N=所以N={-2,1},所以一“=_2+1=-1.即a=l.故选：B.

5、【答案】ACD

【详解】如果3=A,则8=0,解得“V0,

如果两个集合有公共元素则-leB,解得。=2,经检验符合，或2e8,解得

"=；,经检验符合.

故选：ACD.

・(。=2{a=-3

6、【答案】⑴,.(2)

[b=l;[b=2

【详解】⑴若A={1},则有!n，解得[：=；；

[△=〃-4b=0[h=l

(2)B={xeZ|-3<x<0}={-2,-1},因为A=3,

所以n,解得19-

[l+a+b=O[b=2

7、【答案】(1)8={~6}或8={1}或8={Y,1}；(2)或或《二

【详解】(1)；A={x,+5x-6=。}={-6,1},B=A且3w0,

贝1」8={-6}或8={1}或8={-6/}；

2x(-6)=-pfn=12

(2)若8={-6},由韦达定理可得,',解得'"；

(-6)=q国=36

若8=傅，由韦达定理可得工"1=一"，解得?72；

U=q国=1

若8={-6/},由韦达定理可得<(=：；]：,解得

综上所述，?=£或?72或[。=二

(q=36[q=1国=-6

8、【答案】(1)1⑵或。=1}.

【详解】⑴A={x|d+4x=0}={-4,0},因为A=B,

所以-4和0是方程x2+2(a+l)x+/-l=0的两个根，

A=4(a+l)2-4(a2-l)>0

所以2(〃+1)=4,解得。=1,所以实数。的值是1;

a2-l=0

(2)A={x|x?+4x=0}={-4,0},因为B=A,

所以当6=0时，△=4(〃+1)2_4(/_1)<0,解得a<T,符合题意；

A=4