高中数学人教A版 习题 必修二 章末综合测评2 含答案

章末综合测评（二）点、直线、平面之间的位

置关系

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.若a,。是异面直线，直线da,则c与b的位置关系是（）

A.相交B.异面

C.平行D.异面或相交

【解析】根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与6异

面或相交，但不可能平行.

【答案】D

2.下列说法不正确的是（）

A.空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形

B.同一平面的两条垂线一定共面

C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线

都在同一个平面内

D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

【解析】A、B、C显然正确.易知过一条直线有无数个平面与

已知平面垂直.选D.

【答案】D

3.（2015•太原高二检测％M4是空间三条不同的直线，则下列

命题正确的是（）

A.ZL_L〃,b工hnh\\h

B./L_L〃,h.IIk=>AJ-A

C.All^11A,h.,6共面

D.£S分共点=4,b,占共面

【解析】对于A,通过常见的图形正方体判断,从同一个顶点出

发的三条棱两两垂直，故A错；对于B,因为4_!_6,所以A,分所成

的角是90。，又因为,所以A,4所成的角是90。，所以/i±/3,

故B对；对于C,例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；

对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错.故选B.

【答案】B

4.设a、b为两条直线，文/3为两个平面，则正确的命题是（）

【导学号：09960089]

A.若a、b与a所成的角相等，则ailb

B.若alla,b\\p,a\\p,则a\\b

C.若aua,b^/3,a\\b,则aw0

D.若a_La,bA-P,a_l_夕，则a_Lb

【解析】A中，a、b可以平行、相交或异面；B中，义。可以

平行或异面；C中，a£可以平行或相交.

【答案】D

5.（2016•山西山大附中高二检测）如图1,在正方体

Z8S4员G2中，EF、G、〃分别为/Uh、AB.BB\、&G的中

点，则异面直线EF与G”所成的角等于（）

图1

A.45°B.60°

C.90°D,120°

【解析】如图，连接BQ、4G,则48=8G=4G,

且EG48、GH\\BG,

所以异面直线EF与G〃所成的角等于60°.

【答案】B

6.设/为直线,a邛是两个不同的平面.下列命题中正确的是

）

A.若/Ila,力1夕,则all0

B.若/_La,/_!_/?,则all夕

C.若/_La,/IIq,则all£

D.若al.£,/iia,则/_1_£

【解析】选项A,平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故

选项A错误；选项B,垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B

正确；选项C,由条件应得a邛,故选项C错误；选项D,/与£的

位置不确定，故选项D错误.故选B.

【答案】B

7.（2015・洛阳高一检测）如图2和都是以。为直角

顶点的等腰直角三角形，且N8/C=60°,下列说法中错误的是（）

A.平面BDC

B.平面ADC

C.Z?G_平面ABD

D.8CJL平面ABD

【解析】由题可知/。，8。/213',所以/。，平面BDC,

又“8。与均为以。为直角顶点的等腰直角三角形，所以28=

AC,BD=DC=^~AB.

又NMC=60°,所以△Z8C为等边三角开乡，故BC=AB=\f2BD,

所以N8OC=90°,即BD1DC.

所以8。_1_平面ADC,同理OC1平面ABD.

所以A、B、C项均正确.选D.

【答案】D

8.正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12,

底面对角线的长为2函,则侧面与底面所成的二面角为（）

A.30°B,45°

C.60°D.90°

【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为21心，高为3,在底

面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，

根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan

（设6为所求平面角），所以二面角为60°,选C.

【答案】C

9.将正方形ABCD^8。折成直二面角，M为。的中点，则

N/例。的大小是（）

A.45°B.30°

C.60°D.90°

【解析】如图，设正方形边长为a,作AOYBD,则AM=

AO+OIVF=

又AD二a,DM=",:.Afy-=。必+AM2,;zAMD=90°.

【答案】D

10.在矩形中，若Z8=3,8c=4,必l_L平面/C,且外

=1,则点户到对角线BD的距离为（）

【解析】如图，过点力作AE1.8。于点E,连接PE.

•・丹1"L平面ABCD,8Oc平面ABCD,

._L8。，平面PAE,

；.BD工PE.

AB-AD12

••4百二M，唉1,

【答案】B

11.（2016•大连高一检测）已知三棱柱Z8C481G的侧棱与底面

9r

垂直，体积为1,底面是边长为的正三角形.若夕为底面4员G的

中心，则PA与平面/GC所成角的大小为（）

【导学号：09960090]

A.75°B.60°

C.45°D,30°

【解析】如图所示，P为正三角形481G的中心，设。为&ABC

的中心，由题意知：/OJ•平面ABC,连接贝心外。即为勿与

平面/8U所成的角.

在正三角形Z8C中，AB=BC=AC=

9

\^\BC-AiBiCi=SxPO=-l:.PO=

a

又力-X=1,

3

PO

/.tanz.PAO=~~

AO

【答案】B

12.正方体ABCD-AiBiGDi中，过点力作平面48。的垂线,

垂足为点〃以下结论中，错误的是（）

A.点”是△48。的垂心

B.74/7_1_平面CB\Di

C.的延长线经过点G

D.直线力〃和881所成的角为45°

【解析】因为4/J■平面48。,

80=平面AiBD,

所以BDLAH.又BDA.AAi,且AHT\AAi=A.

所以8OJ_平面又4%平面AAiH.

所以4和L8。，

同理可证BH工AiD,

所以点〃是“IS。的垂心，A正确.

因为平面48。11平面CB\Di,

所以4t<L平面CBiDi,B正确.

易证ZGJ_平面48,因为过一点有且只有一条直线与已知平面

垂直,所以/G和重合.故C正确.

因为Z4II881,所以为直线和88所成的角.

因为“4%45。，所以N/I/%45。，故D错误.

【答案】D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填

在题中的横线上）

13.设平面all平面£,/、住a,8、。金£,直线力8与。交

于点S,且点S位于平面a,£之间，ZS=8,BS=6,C=12,则SD

/SCS

【解析】由面面平行的性质得力。1BD—=—,解得SD=9.

【答案】9

14.如图3,四棱锥S-Z8C。中，底面为平行四边形，E

是以上一点，当点S茜足条件：______时，SG平面EBD.

图3

【解析】当£是外的中点时,

连接£8,ED,AC.

设ZC与8。的交点为O,连接EO.

•.四边形28。是平行四边形，

.•点。是/U的中点.

又£■是力的中点，

.•QF是△以0的中位线.

:.OE\\SC.

'：SGl平面EBD,平面EBD,

」.SG平面EBD.

【答案】F是弱的中点

15.如图4所示，在正方体ABCD-AiBiCiDi中，例，/V分别是

棱Z4和上的点，若N8I例/V是直角，则NG/V//V等于

图4

【解析】•「81G-L平面4/881,

/V7/Vu平面4/881,

•,BQ1MN,又N81/W/V为直角,

,而B\MT\BC=81.

.,./V//V_L平面MBiCi,又/V/Gu平面MBC,

:.MN±MCi,..NGAy/V=90°.

【答案】90°

16.已知四棱锥2/8。的底面力8。是矩形，%_L底面

点£尸分别是棱PC阳的中点，则

①棱力8与所在直线垂直；

②平面夕8C与平面垂直;

③△气〃的面积大于△必18的面积；

④直线/£与直线8尸是异面直线.

以上结论正确的是_______.（写出所有正确结论的序号）

【解析】由条件可得ZA1平面PAD,

:.AB^PD,故①正确；

若平面在8d平面ABCD,由PB工BC,

得PB1.平面ABCD，从而外II户8,这是不可能的，故②错；S.PCD

11

-^CD-PD,S^PAB-^AB-PA,

由AB=CD,PD>PA知］③正确;

由£尸分别是棱PC户。的中点，

可得EF\\CD,又AB\\CD,

：.EF\\AB,故/£•与8尸共面,④错.

【答案】①③

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）如图5所示，已知心8。中/ACB=90°,

S4JL平面ABC,ADA.SC,求证：/Z7JL平面SBC.

图5

【证明】••2/108=90°,

:.BC^AC.

又「弘，平面ABC,

:.SAA.BC,:SM\AC-A,

.•.8C1平面SAC,:.BCA.AD.

5L：SCA.AD,SC^BC^C,

..OL平面SBC.

18.(本小题满分12分)如图6,三棱柱Z8C481G的侧棱与底

面垂直，ZC=9,BC=12,AB=15,Z4=12,点。是Z8的中点.

图6

⑴求证：AC^BiC]

(2)求证：ZGll平面CDBl.

【证明】Q)・「GC_平面Z8U,••.GCL/C

\AC=9,BC=12,AB=15,

:.AG+BC=AB^,

..AC^BC.

又BCX\CxC-C,「./4UL平面BCCiB\,

而8i比平面BCQBl,

:.ACA.B\C.

（2）连接8G交BiC于。点，连接OA如图”。，。分别为BQ,

力夕的中点，「QOll/a又。比平面CDB1,ACid平面CDB1..-.AC1W

平面CDBi.

19.（本小题满分12分）（2016德州高一检测）某几何体的三视图如

图7所示，户是正方形对角线的交点，G是户8的中点.

Q）根据三视图，画出该几何体的直观图；

（2）在直观图中，①证明：PDW^AGC]

②证明：面户8。，面AGC.

图7

【解】Q）该几何体的直观图如图所示:

（2）证明：①连接ZU,8。交于点。，连接OG,因为G为户8的

中点，。为8。的中点，所以OGWPD.

②连接PO,由三视图知，POJ_平面ABCD,所以AO±PO.

又AO1.BO,所以/O_L平面PBD.

因为/Oc平面AGC,

所以平面280_L平面AGC.

20.体小题满分12分）（2016•济宁高一检测）如图8正方形

和四边形力。■尸所在的平面互相垂直，EFWAC,AB=yf2,CE=EF;

1.

图8

Q）求证:力尸11平面

⑵求证："J_平面BDE.

【导学号：09960091】

【证明】(1)如图，设ZC与8。交于点G.

E

因为EFWAG,且£尸二1,

1

AG^^AC=1,

所以四边形ZG所为平行四边形.

所以ZGfG

因为£比平面BDE,/尺平面BDE,

所以力尸11平面8。£

(2)连接FG,

■：EF\\CG,EF=CG=1,

二•四边形GFG为平行四边形，

文：CE二EF=1，，口CEFG为菱形,

：.EGrCF.

在正方形28。中，AC1.BD.

・••正方形和四边形2%尸所在的平面互相垂直,

」.8OJL平面CEFG...BDA.CF.

又：EGCBD:G,「.CEL平面BDE.

21.（本小题满分12分）（2015•山东高考）如图9，三棱台DEF-ABC

中，AB=2DE,G,“分别为/C,8c的中点.

图9

（1）求证：8011平面尸GA;

（2）若CF1BC,AB1.BC,求证：平面8。，平面EGH.

【解】Q）证法一：连接。G,8,设CMGF二M,连接MH.

在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为的中点，可得DF\\GC,

DF=GC,所以四边形小CG为平行四边形，则M为。的中点.又

H为80的中点，所以MH\\BD又/W/u平面FGH,BE平面FGH,

所以8。11平面尸G”

证法二：在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为8c的中点，

可得BHWEF,BH=£尸,所以四边形84任为平行四边形，可得BE\\HF.

在△/水；中石为ZU的中点H为8c的中点所以GMI/8.又GH^HF

=H,所以平面FGHW平面/8£Z?.因为8比平面ABED,所以BD\\平

画FGH.

（2）连接HE.

因为G,“分别为AC,8c的中点,

所以G/llZ8.

由/8_L8C,得GHJLBC.

又H为8c的中点，

所以用11*7,EF=HC,