人教版七年级数学下册-《相交线与平行线》教师教案

人教版七年级数学下册一?相交线与平行线？教师教

案

相交线与平行线〔教师教案〕

第一段典型例题

【开课】教师在正式开课前，先把本次课程的内容简单概括一下：今

天的内容主要包括以下几局部内容：

一.相交线、垂线的概念

二.同位角、内错角、同旁内角等的概念

三.平行线的的性质和判定

【课程目标】

1.理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识

别“三线八角”；

2.理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；

3.理解平行线的概念，正确地表示平行线，会利用三角尺、直尺画平

行线，理解平行公理和平行公理的推论；

4.掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质；

5.能综合运用平行线的性质和判定证明和计算。

【课程安排】

1教师简要介绍本次课程的关键点，同学做题，然后教师讲解

2教师总结，学生做综合练习〔第二段〕教师讲解

【教师讲课要求】

教师先将第一段练习发给每一位学生，学生做题时教师必须巡视，了解

学生做题情况，学生完成练习后，教师进行讲解。

第一局部相交线、垂线

课时目标：理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，

正确识别“三线八

角〃；理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；

教师讲课要求

【知识要点】：请学生看一下做好上课的准备

〔一〕相交线

1.相交线的定义

在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相

交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于

点0。

A

CBCDA4123D10B

图1图2图3

2.对顶角的定义

假设一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两

个角叫做对顶角。如图2所示，N1与N3、N2与N4都是对顶角。

注意：两个角互为对顶角的特征是：［1）角的顶点公共；〔2〕角的两

边互为反向延长线；

〔3〕两条相交线形成2对对顶角。

3.对顶角的性质

BC

对顶角相等。

4.邻补角的定义

如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成

一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，N1与N2互为邻补

角，由平角定义可知Nl+N2=180°。

〔二〕垂线

1.垂线的定义

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线

互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

ADA

C1DBBC

图4

如图4所示，直线AB与CD互相垂直，垂足为点0,那么记作ABLCD

于点0。其中“J_〃是“垂直〃的记号；是图形中“垂直〃（直角）的标

记。

注意：垂线的定义有以下两层含义：

⑴VABXCD（）⑵VZ1=9O°。

.,./1=90。［垂线的定义）.-.AB±CD1垂线的定义）

2.垂线的性质

〔1〕性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一

条直线与直线垂直，即过一点有且只有一条直线与直线垂直。

〔2〕性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最

短。即垂线段最短。

3.点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

图5图6

如图5所示，m的垂线段PB的长度叫做点P至1J直线m的距离。

4.垂线的画法〔工具：三角板或量角器）

5.画线段或射线的垂线

11）垂足在线段或射线上

〔2〕垂足在线段的延长线或射线的反向延长线上

［三］“三线八角〃

一两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角〃,如图6所

Zj\O

〔1〕同位角：可以发现N1与N5都处于直线1的同一侧，直线a、b

的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有N2与N6,

N3与N7,N4与N8。

〔2〕内错角：可以发现N3与N5都处于直线1的两旁，直线a、b的

两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有N4与N6。

(3)同旁内角：可以发现N4与N5都处于直线1的同一侧，直线a、

b的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有N3与

Z6o

范例1.判断以下语句是否正确，如果是错误的，说明理由。

〔1〕过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线

的距离；

〔2〕从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；

13〕两条直线相交，假设有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂

直；

〔4〕两条直线的位置关系要么相交，要么平行。

分析：此题考查学生对根本概念的理解是否清晰。〔1〕、〔2〕都是对

点到直线的距离的描述，由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做

点到直线的距离〃可判断〔1〕、〔2〕都是错的；由对顶角相等且互补易

知，这两个角都是90°,故［3)正确；同一平面内，两条直线的位置关系

是相交或平行，必须强调“在同一平面内〃。

解答：［1)这种说法是错误的。因为垂线是直线，它的长度不能度

量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离〃。

〔2〕这种说法是错误的。因为“点到直线的距离〃不是指点到直线的

垂线段的本身，而是指垂线段的长度。

13〕这种说法是正确的。

〔4〕这种说法是错误的。因为只有在同一平面内，两条直线的位置关

系才是相交或平行。如果没有“在同一平面内〃这个前提，两条直线还可能

是异面直线。

说明：此题目的是让学生抓住相交线平行线这局部概念的本质，弄清易

混概念。

范例2.如以下图〔1〕所示，直线DE、BC被直线AB所截，问1与

4,2与4,3与4各是什么角？

A

D

1

23

E

4

C

图⑴

分析：图形不标准，开始学不容易看，可把此图画成如以下图［2）的

样子，这样就容易看了。

A

D

1

23

E

4

C

图⑵

答案：1与4是同位角，2与4是内错角，3与4是同旁内

角。

范例3如以下图〔1〕，

12

6

411

13

图⑴

⑴1与2是两条直线与被

第三条直线所截构成的角。

⑵1与3是两条直线与被第

三条直线所截构成的角。

⑶3与4是两条直线与被

第三条直线所截构成的角。

〔4〕5与6是两条直线与,被第

三条直线所截构成的角。

分析：从较复杂的图形中分解出有关角的直线，因此可以得到1与

3是由直线11,13被第三条直线12所截构成的同位角，如以下图

12),类似可知其他情况。

12

11

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13

图⑵

答案：门)1与2是两条直线12与13被第三条直线11所截构成

的同位角。

12〕1与3是两条直线11与13被第三条直线12所截构成的同位

角。

〔3〕3与4是两条直线11与13被第三条直线12所截构成的内错

角。

(4)5与6是两条直线11与12被第三条直线13所截构成的同旁

内角。范例4按要求作图，并答复以下问题。

范例5作图题

III

flm

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第二局部平行线

［课时目标］理解平行线的概念，正确地表示平行线，掌握两直线平行

的判定方法和平行线的性质能综合运用平行线的性质和判定证明和计算。

教师讲课要求

知识要点：请学生看一下准备上课

1.平行线的概念

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

注意：

〔1〕在平行线的定义中，“在同一平面内〃是个重要前提；

〔2〕必须是两条直线；

(3)同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，两条互相重合

的直线视为同一条直线。

两条直线的位置关系是以这两条直线是否在同一平面内以及它们的公共

点个数m进行

住村外1*而向

HI二1

5节

MH个千女内m*0

A

2.平行线的表示方法BD

平行用“〃〃表示，如图7所示，直线AB与直线CD平行，记作

AB//CD,读作AB平行于CD。

3.平行线的画法

4.平行线的根本性质

〔1〕平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与直线平行。

〔2〕平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两

条直线也平行。

5.平行线的判定方法：

11〕两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线

平行。

12〕两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线

平行。

13〕两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直

线平行。

〔4〕两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。

〔5〕在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两

条直线平行。

6.平行线的性质：

〔1〕两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线平

行，同位角相等。

12〕两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线平

行，内错角相等。

13〕两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线平

行，同旁内角互补。

范例1如图，NAMF=NBNG=75°,ZCMA=55°，求NMPN的大小图7

BFH

答案：50°

解析：因为NAMF=NBNG=75°,又因为NBNG=NMNP,所以

ZAMF=ZMNP,所以EF〃GH,所以NMPN=NCME,又因为N

AMF=75°,NCMA=55°,所以NAMF+NCMA=130°,即NCMF=130°,所

以NCME=180°-130°=50°,所以NMPN=50°

范例2如图，N1与N3为余角，N2与N3的余角互补，N4=115。，

CP平分NACM,求NPCM

答案：57.5°

解析：因为Nl+N3=90°,Z2+〔90°-Z3)=180°,所以

Z2+Zl=180°,所以AB

1

//DE,所以NBCN=N4=H5

°,所以NACM=H5°,又因为CP平分NACM,所以NPCM=2

1

ZACM=2X115°=57.5°,所以NPCM=57.5

范例3如图，：Nl+N2=180°,N3=78°,求N4的大小

答案：102°

解析：因为N2=NCDB,又因为Nl+N2=180。，所以

Zl+ZCDB=180°,所以得到AB〃CD,所以N3+N4=180°,又因为

Z3=78°,所以N4=102°

范例4如图，：NBAP与NAPD互补，N1=N2,说明：NE=NF

解析：因为NBAP与NAPD互补，所以AB〃CD,所以NBAP=NCPA,又

因为N1=N2,所以NBAP—N1=NCPA—N2,即NEAP=NFPA,所以

EA/7PF,所以NE=NF

范例5如图，AB〃CD,P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于0

点，试问：NHOP、NAGF、NHP0有怎样的关系？用式子表示并证明

答案：ZHOP=ZAGF-ZHPO

解析：过。作CD的平行线MN,因为AB〃CD,且CD〃MN,所以

AB〃MN,所以NAGF=NMOF=NHON,因为CD〃MN,ZHPO=ZPON,所以

ZHOP=ZHON-ZPON=ZHON-ZHPO,所以NHOP=NAGF—Z

HPO

范例6如图，AB〃CD,说明：ZB+ZBED+ZD=360°

ABAB

E

a

CDCDE

分析：因为AB〃CD,所以在NBED的内部过点E作AB的平行线，将NB

+Z

BED+ZD的和转化成对平行线的同旁内角来求。

解：过点E作EF〃AB,那么

ZB+ZBEF-18O0〔两直线平行，同旁内角互补〕

VAB/7CD。

EF//AB〔作图）

/.EF/7CD1平行于同一条直线的两直线平行〕

.,.ZD+ZDEF=180°〔两直线平行，同旁内角互补〕

AZB+ZBEF+ND+NDEF=360°

ZB+ZBED+ZD=ZB+ZBEF+ZD+ZDEF

.".ZB+ZBED+ZD=360°

范例7.小张从家〔图中A处〕出发，向南偏东40°方向走到学校〔图

中B处），再从学校出发，向北偏西75。的方向走到小明家〔图中C

处），试问NABC为多少度？说明你的理由。

解：VAE/7BD0

ZBAE=ZDBA〔两直线平行，内错角相等〕

VZBAE=40°〔〕

.,.ZABD=40°〔等量代换〕

VZCBD=ZABC+ZABD〔）

.'.ZABC=ZCBD-ZABD〔等式性质〕

VZABD=40°〔〕

，NABC=75°-40°=35°

范例8如图，NADC=NABC,Zl+Z2=180°,AD为NFDB的平分

线，说明：BC为NDBE的平分线。

分析：从图形上看，AE应与CF平行，AD应与BC平行，不妨假设它们

都平行，这时

欲证BC为NDBE的平分线，只须证N3=N4,而N3=NC=N6,

N4=N5,由AD为NFDB的平分线知N5=N6,这样问题就转化为证

AE/7CF,且AD〃BC了，由条件Nl+N2=180°不难证明AE〃CF,利用它的

平行及NADC=NABC的条件，不难推证AD〃BC。

证明：VZ1+Z2=18O°

Z2+Z7=180°〔补角定义〕

.-.Z1=Z7［同角的补角相等〕

/.AE/7CF［同位角相等，两直线平行〕

/.ZABC+ZC=180°〔两直线平行，同旁内角互补〕

又NADC=NABC口，CF〃AB〔已证〕

.-.ZADC+ZC=180°〔等量代换〕

.•.AD〃BC［同旁内角互补，两直线平行〕

/.Z6=ZC,Z4=Z51两直线平行，同位角相等，内错角相等〕

又N3=NC1两直线平行，内错角相等）

AZ3=Z6［等量代换）

又AD为NBDF的平分线

.*.N5=N6

.\Z3=Z4［等量代换）

；.BC为NDBE的平分线

范例9如图，DE,BE分别为NBDC,NDBA的平分线，ZDEB=Z1+

Z2

⑴说明：AB〃CD

〔2〕说明：ZDEB=90°

分析：〔1〕欲证平行，就找角相等与互补，但就此题，直接证NCDB

与NABD互补比拟困难，而N1+N2=NDEB,假设以E为顶点，DE为一边,

在NDEB内部作NDEF=N2,再由DE,EB分别为NCDB,NDBA的平分线，

就不难证明AB〃CD了，〔2〕由〔1〕证

得AB〃CD后，由同旁内角互补,易证Nl+N2=90°,进而证得

ZDEB=90°

证明：〔1〕以E为顶点，ED为一边用量角器和直尺在NDEB的内部作

ZDEF=Z2

♦DE为NBDC的平分线□

•,.Z2=ZEDC［角平分线定义）

.\ZFED=ZEDC〔等量代换〕

.•.EF〃DC［内错角相等，两直线平行）

VZDEB=Z1+Z2。

•••NFEB=N1（等量代换），NEBA=NEBF=N1（角平分线定义〕

AZFEB=ZEBA〔等量代换〕

...FE〃BA〔内错角相等，两直线平行）

又EF〃DC

.,.BA/7DC〔平行的传递性）

⑵VAB/7DC（已证）

.,.ZBDC+ZDBA=180°〔两直线平行，同旁内角互补）

11

又N1=2NDBA,N2=2NBDC〔角平分线定义〕

.-.Zl+Z2=90°

又N1+N2=NDEB

/.ZDEB=90°

第二段

一.选择题

1.如图1,直线a、b相交，Zl=120°,那么N2+N3=1)

A.60°

答案：C

a214baB.90°C.120°D.180°3

图1图2图3

2.如图2,要得到a〃b,那么需要条件

A.Z2=Z4B.Zl+Z3=180°

C.Zl+Z2=180D.Z2=Z3

答案：C

3.如图3,给出了过直线外一点作直线的平行线的方法，其依据是

A.同位角相等，两直线平行B.内错角相等，两直线平行

C.同旁内角互补，两直线平行D.两直线平行，同位角相等

答案：A

4.如图4,AB/7ED,那么NA+NC+ND=〔）

A.180°

A

CB.270°BC.360°D.540°

图4图5

答案：C

5.如图5所示，11/712,Zl=120°,Z2=100°,那么N3=〔〕

DE

A.20°B.40°C.50°D.60°

答案：B

6.：如图6,NAOB的两边0A、OB均为平面反光镜，NA0B=40°,

在OB上有一点P,从P点射出一束光线经0A上的Q点反射后，反射光线QR

恰好与0B平行，那么NQPB的度数是〔〕

A.60°B.80°C.100°D.120°

答案：B

图7图8

7.以下说法正确的选项是〔)

A.两条不相交的直线叫做平行线B.同位角相等

C.两直线平行，同旁内角相等D.同角的余角相等

答案：D

8.如果N1和N2是两平行线a,b被第三条直线c所截的一对同位

角，那么1)

A.N1和N2是锐角B.Zl+Z2=180°1

1

C.2/1+2/2=90°D.N1=N2

答案：D

9.如图5,AB/7CD,那么结论：⑴N1=N2；〔2〕N3=N4；(3)

N1+N3=N2+N4中正确的选项是〔

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIMIIIIIIIII

A.只有⑴B.只有⑵

C.⑴和(2)C.⑴⑵⑶

答案：D

图5

10.如图6,AB〃CD,假设N3是N1的3倍，那么N3为〔〕

A.45

答案：BB.135C.120D.

图6图7

11.如图7,DH/7EG/7BC,且DC〃EF,那么图中与N1相等的角〔不包

括ND的个数是1)

A.2B.4C.5D.6

答案：C

12.如图8,AB〃CD,CE平分NACD,NA=110°,那么NECD的度数为

A110°B.70°C.55°D.35°

答案：D

图8图9

13.如图9,如果DE〃BC,那么图中互补的角的对数是1〕

A.2对B.3对C.4对D.5对

答案：C

二.填空题

1.如图7,CB±AB,NCBA与NCBD的度数比是5:1,那么NDBA=

度，NCBD的补角是度。

答案:72°；162°

2.如图8,AC±BC,CDLAB,点A到BC边的距离是线段的长,

点B到CD边的距离是线段的长，图中的直角有,ZA

的余角有，和NA相等的角有o

答案：AC；BD；ACB,ADC,CDB；B,ACD；DCB

3.如图9,当N1=N时，AB〃CD；当ND+N=180°

时，AB/7CD；当NB=N时，AB〃CD。

答案：4；DAB；5

图9图10

4.如图10,AB〃CD,直线1平分NAOE,Zl=40°,那么N2=

.答案：70

5.假设两个角的两边分别平行，而一个角比另一个角的3倍少

30°,那么两个角的度数分别是o

答案：15和15或52.5和127.5

6.如图1,（）〃〔〕［）,/.ZD=〔）〔〕又

VZD=Z3〔）

答案：AD/7BE,内错角相等，两直线平行，ZDBE,两直线平行，内错

角相等，NDBE=

N3,BD/7CE,内错角相等，两直线平行

A

图1图2

7.如图2,AD/7BC,Zl=60°,N2=50°,那么NA=[),ZCBD=

〔),ZADB=〔),NA+NADB+N2=〔)

答案：60°,70°