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文档简介
《正弦定理》教学案例
高平二中公素玲
[案例背景]
本节内容安排在《高中数学必修5》(人教A版)第一
章(解三角形),正弦定理第一课时,是在高二学生学习了
三角等知识之后,显然是对三角知识的应用;同时,作为三
角形中的一个定理,也是对初中解直角三角形内容的直接延
伸,因而定理本身的应用又十分广泛.为什么要研究正弦定
理?正弦定理是怎样发现的?其证明方法是怎样想到的?
还有别的证法吗?这些都是教材没有回答,而确实又是学生
所关心的问题学生在初中已经学习了解直角三角形的内
容,在必修4中,又学习了三角函数的基础知识和平面向量
的有关内容,对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成
初步的知识框架,这不仅是学习正弦定理的认知基础,同时
又是突破定理证明障碍的强有力的工具.正弦定理是关于任
意三角形边角关系的重要定理之一,《课程标准》强调在教
学中要重视定理的探究过程,并能运用它解决一些实际问
题,可以使学生进一步了解数学在实际中的应用,从而激发
学生学习数学的兴趣,培养学生独立思考和勇于探索的创新
精神。
本节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在
教师的启发引导下,以学生独立自主和合作交流为前提,以
问题为导向设计教学情境,以“正弦定理的发现和证明”为
基本探究内容,指导学生掌握“观察-猜想-证明-应用这一思
维方法,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能
力和创造性思维的能力。
[案例描述]
(一)设置情境
教师:展示情景图如图L船从港口B航行到港口C,测得
BC的距离为600m,船在港口C卸货后继续向港口A航行,由
于船员的疏忽没有测得CA距离,如果船上有测角仪我们能否
计算出A、B的距离?
学生:思考提出测量角A,C.
教师:若已知测得NBAC=75°,ZACB=45°,如何计算A、
B两地距离?
学生:(思考交流)得出过A作AD_LBC于D(如图2),把AABC
分为两个直角三角形.解题过程,学生阐
述,教师板书.
教师继续引导:在上述问题中,若AC=b,AB=c,能否用B、
b、C表示c呢?
.n_AD.D_AD
学生:发现T'丁
AD=bsinC=csinB.
bsinC
c=--------
sinB.
教师引导:在刚才的推理过程中,你能想到什么?你能发现什
么?
_bsinC_asinC_bsinA
学生:发现即然有“宝百,那么也有,二百,"飞百.
_bsinC_asinC_bsinA
教师:引导"宝百,"玄,"W面,我们习惯写成对称形
式
c_bc_aa_b
sinCsinB,sinCsinA,sinAainB,
a_b_c
因此我们可以发现百二,二标.是否任意三角形都有这种
边角关系
(二)数学实验,验证猜想
教师:给学生指明一个方向,我们先通过特殊例子检验
a_b_c&N
sinAainBstnC是否成立,举出特例.|、\c
bL_\
教师:对于RtZ\ABC呢?学生:思考交流得出,caB
(图4)
a_b_c
从而在直角三角形ABC中,sinAainBsinC.
abc
教师:那么任意三角形是否有sinAainBsinC呢?
借助于电脑与多媒体,利用《几何画板》软件,演示正弦定理教
学课件.边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的
变化情况.
a_b_c
结论:sinAainBsinC对于任意三角形都成立.
设计意图:通过《几何画板》软件的演示,使学生对结论的
认识从感性逐步上升到理性.
(三)证明猜想,得出定理
教师:前面我们虽然经历了数学实验,多媒体技术支持,但
对任意的三角形,如何用数学的思想方法证明呢?前面探索过程
a_b_c
中对我们有没有启发.二=翁=嬴云下面分组讨论,然后每组派
一个代表总结.(展示证明过程)
教师:还有其它证明方法吗?
比如:谷、\、白都等于同一个比值"那么它们也相
sinAsinBsmC
等,这个女到底有没有什么特殊几何意义
呢?
学生:在前面的检验中,RfzVLBC中,
ab_c
c恰为外接接圆的直
sinAsinBsinC
径,即c=Z=2R,所以作ZVU3C的外接圆。,。
为圆心,连接8。并延长交圆。于夕,把一般
三角形转化为直角三角形。
教师:从刚才的证明过程中,
abc
——二——=——=2R,显示正弦定理的比值等于三角
sinAsinBsinC
形外接圆的直径2R。
(四)利用定理,解决引例
教师:现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题.
学生:马上得出,在aABC中,ZB=
c_b
180°-ZA-ZC=60°,蔡廿盛而,
bsin£=600sin4T=200^m
smBsin60°
设计意图:利用正弦定理,重新解决引例,让学生体会用新的知
识,新的定理,解决问题更方便,更简单,激发学生不断探索新
知识的欲望.
教师:引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题.
学生:讨论正弦定理可以解决的问题类型:
1、如果已知三角形的任意两个角与一边,求三角形的另一角和
bsinA
a=--------
另两边,如sinb.
2、如果已知三角形任意两边与其中一边的对角,求另一边与另
a
两角,如sinA=bsinB.
设计意图:自己解决问题,提高学生学习的热情和动力,使学生
体验到成功的愉悦主动学习.
(五)尝试小结
教师:提示引导学生总结本节课的主要内容.
学生:思考交流,归纳总结.
师生:让学生尝试小结,教师及时补充,要体现:
a_b_c
⑴正弦定理的内容(嬴葭蕊=麻=2R)及其证明思想方法.
(2)正弦定理的应用范围:
[案例反思]
优点:
1、本节课,学生在教师预设的思路中积极主动参与一个个
相关联的探究活动过程,通过“观察一一实验一一归纳一一猜想
―证明”的方法发现并证明定理,使学生经历了知识形成的过
程,感受到创新的快乐,激发了学生学习数学的兴趣.让学生在
参与问题解决的过程中不仅掌握了知识,而且培养了他们的思维
方式和思维能力。在整个教学过程中,教师只是学生学习的指导
者和评价者,学生才是学习的主人,学生的学习兴趣高,主动性
强,教学效果明显提高。
2、以问题为导向设计教学情境,促使学生去思考问题,去发现
问题,让学生在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合
作”中增知,在“探究”中创新.观察-猜想-证明-应用这一思
维方法,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力
和创造性思维的能力。
不足:
1、使用计算器处理复杂、烦琐的数字是新教材的一个特点,教
学时要注意着一点。
2、由教师设计和提供一些问题,引导学生进行分析解答,这必
然会导致学生只是按教师设计的步骤进行思维
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