高中数学学案1：高中数学人教A版2019 选择性必修 第一册 空间向量基本定理

1.2空间向量基本定理

学习目标

1.掌握空间向量基本定理.

2.了解空间向量正交分解的含义.

3.会用空间向量基本定理解决有关问题.

重点难点

重点：掌握空间向量基本定理

难点：用空间向量基本定理解决有关问题.

知识梳理

一、温故知新

1.平面向量基本定理及其证明，其证-明过程为:

①平移：将平移成同一始点的向量.

②平行投影:过1平移后所得向量的终点分别作平移后所在直线的平行线与这两条直线分

别相交，得々在1方向上的分向量.

③依据共线•向量定理，分别用1表示々在£方向上的分向量.

④求分向量的和，代入，定理得证.

平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面内两个不共线向量来线性表示.

学习过程

一、情境导学

我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作

向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的，那么用这三个向量表示空间中任意

的向量呢？

A■**■*

二、探究新知

知道平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)，类似的任

意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？

因此，如果i/k是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序

实数组(x,y,z),使得p=x1+yj+zk□我们称xi,y/zk分别为向量p在"k上的分向量。

图1.2-1

如图1.2-1,设ijk是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起

点0,对于任意一个空间向量p=^，设的为加在ij所确定的平面上的投影向量，则

诃=丽+而，又向量而，k共线，因此存在唯一实数z,使得由+zk,从而加=而+zk,而

在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x,y),使得的=x/+

y/从而，OP=OQ+zk=xi+yj+zk.

空间向量基本定理

1.定理:如果三个向量a,b.c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组

(x,y,z),

使得p=xa+yb+zc.

2.基底:我们把定理中的｛a,b,c｝叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共

面的向量都可以构成空间的一个基底.

3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1,那么这个基底

叫做单位正交基底,常用化力号表示.

由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,

使2=必+乃均<,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交

分解.

定理辨析

1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由

基底唯一表示;不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同.

2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.

3.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量

不共面,就说明它们都不是零向量.

做一做

1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“J”，错误的打“X”.

⑴空间向量的基底是唯一的.（）

⑵若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.（）

（3）已知A,B,M,N是空间四点，若瓦5,BM,BN不能构成空间的一个基底，则A,B,M,4共

面.（）

（4）若｛a,b,c｝是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得则有x=y=z=Q.（）

2.设x令也y小乜zf且｛a,b,c）是空间的一个基底,给出下列向量组:①｛a,b,x｝,②

｛x,y,z｝,③｛b,c,z｝,④｛x,y,至｝.其中可以作为空间一个基底的向量组有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.已知｛el,e2,es｝是空间的一个基底，且瓦+2e_F3,

物=-3&®+2e3,历言电f试判断｛瓦1而，灰｝能否作为空间的一个基底.

解：设不而7勺沅，则ei+2e?-e：,=x（-3ei他+2e；）+y（ei侬-e：）,

即。+2e2-e3=（y-3x）e^+（x+y）e>+（2x-y）e3,

y-3x=1,

.:k+y=2,此方程组无解.

.2x-y=-1,

即不存在实数x,y,使得披二砺+yOC,

所以画，而，历不共面.

所以｛被，据，方｝能作为空间的一个基底.

典例解析

例1.如图，.欣/¥分别是四面体力a'的棱物、8C的中点，P、0是,欧的三等分点.

(1)用向量水，0B，羽表示而和瓦.

(2)若四面体勿a'的所有棱长都等于1,求而的值.

-A-A-A

跟踪训练1.如图所示，在平行六面体48切T'B'CD'中，AB=a,AD=b,AA'=c,尸是

0'的中点，"是切'的中点，"是C'D'的中点，点0在。'上，且=4：1,用

基底｛a,b,c｝表示以下向量.

―►—►—►―►

(1)/只(2)M(3)4叫(4)/口

反思感悟用基底表示空间向量的解题策略

1.空间中，任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.

2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法

则，以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.

3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,

例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的

向量作为基底.

例2.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,尸分别是DD,8〃的中点，点。在棱CD上,且CG=

11111

1

-CD

3

(1)证明：4U6C;

1

⑵求砂与CG所成角的余弦值.

D,C.

思路分析选择一个空间基底，将丽，瓦工弟用基向量表示.⑴证明丽・瓦2=0即可；（2）求加

与布夹角的余弦值即可.

延伸探究：设这个正方体中线段18的中点为必证明:，娟〃6C

11

归纳总结：应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所

成的角等.

首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.

（1）若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0;

（2）若证明线线平行，只需证明两向量共线；

（3）若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角（或其补角）.

达标检涮

L在正方体/颇T8。〃中，可以作为空间向量的一组基底的是（）

1111

A.AB,AC,ADB.AB,AA^,AB^

C.DM；,DC，瓦^D.宅中，鬲

2.已知正方体ABCD-A、BCD,中,若点尸是侧面①〃，的中心,且前=而4通-/丽,则加，〃的

值分别为（）

A」,二B.4工C.C工D.i.i

22222222

3.下列说法正确的是（）

A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底

B.空间的基底有且仅有一个

C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D.基底｛a,b,c｝中基向量与基底｛e,f,g）中基向量对应相等

4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，片为如中点，若方甩方心无千，则

BE=_________

5.若｛a,b,c｝是空间的一个基底,试判断｛a4),b电cm｝能否作为空间的一个基底.

6.如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，N5A4,=NC4A=60。.

(1)设AA|=a,AB=b>AC=c>用向量a，b>c表示BC】，并求出BC〕的长度;

(2)求异面直线AB|与BQ所成角的余弦值.

课堂小结

1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.

2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解

决一些距离、夹角问题.

3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知

向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键.

参考答案：

知识梳理

学习过程

做一做

1.答案：(1)X(2)V(3)V(4)V

2.答案：C

解析：如图所示,令a=AB,b=AA1,c=AD,则x=AB^,yz=AC,a他允如C；.

由于A,C,〃四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,

同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故选C.

3.^:T^OA=XOB+yOC,则6+2e?-e3=x(-3ei+2e3)+y(e-e3),

即e,+2e2~€3=(y-3x)&+(*号)e"(2x-y)e3,

y-3x=1,

%+y=2,此方程组无解.

12x-y=-1,

即不存在实数x,%使得瓦4=痂+yOC,

所以瓦《南，历不共面.

所以｛瓦?，而，方｝能作为空间的一个基底.

典例解析

例L解：(1)AB=OB-OA，BC=OC-OB-

••MA+AB-1BN=yOA+AB+yBC=yOA+(OB-OA)+微(OC-OB)

11•1•1■—"»

=-工0A+工OB+AC，

222

.*•OP=OM+MP=-10A+-|MN=y0A-

而=领+而=颉+押=蓟-抖+颉+初=|•奇颉+皆.

⑵而设=（朝眄梦）・（押押演）

=」"丞+」■海•丽+」•赢-OC+IQB-OA+AQB-AOB-OC+IQC-OA+^-OC•OB+^-OC,

1836369181891818

:1+1+1+1+1+1+1+1+1=13

18727278183678361836

跟踪训练1.解连接力&AD'.

A'D'

⑴力夕=：（4。+力4，）=^AB+AI>\-AA1）=J（a+b+c）.

乙乙乙

>]——►

⑵4加=5（4。+[〃'）=5（a+2b+c）=~a+b+-c.

乙乙乙乙

一]ffI-*——ff1

⑶4V=，（/0'+ADf）=-\_（AB+AD+AAf）+（力〃+力，）l=-a+b+c.

11

1-

++

441414--

nL

o0

4

铲.

例2.⑴证明:设瓦，反刁，西水

则｛i,j,k）构成空间的一个正交基底.

所以丽=ED+DF=^k^（DA+荏）审中共跖=掘+BC=-i-k,

所以加.京=&+）狗.（T*）=?i其号/k六0,所以EFLRC.

⑵解屈=旦李争,而=京+葡=4审，

[EF飞i+\i-狗=；/"*/"*kFA

/EF/=V3,厮代吟»=根小60《=答砧[当，

/.cos<EF,QG）处•理..

1山川•|QG|

e+"）•（-电=_i_=屈

6x奔~2430~15'

33

延伸探究：

解:设说方刁，西水

则瓦丁=瓦豆+近=-i-k,

MF=AF-AM=Qy--0+》）=十—吟（直卡）=跖,

所以MF//BxC.

达标检测

L答案:C

解析：只有选项C中的三个向量是不共面的，可以作为一个基底.

2.答案:A

解析：因为而=AD+DF=AD+|（DC+西）^4D+|AB+|京,所以七n嗔

3.答案:C

解析:A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项