高中数学向量

高中数学向量专题

【本章学习目标】

1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.掌握向量的加法和减法.掌握实数与向量的积，

理解两个向量共线的充要条件.

2.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用，掌握平移公式.掌握平面向

量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.

3.了解平面向量的基本原理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.掌握正弦定理、余弦定理，

并能初步运用它们解斜三角形.

向量是高中数学的新增内容，作为数形结合的有力工具，它的应用极其广泛，在复数、平几、解几、立几、物理

等知识中均有涉及.

本章在系统地学习了平面向量的概念及运算的基础上，突出了向量的工具作用，利用向量的思想方法解决问题是

本章特点的个方面，向量本身具有数与形结合的双重身份，这为解决问题过程中充分运用数形结合的思想方法创造

了条件.通过本章学习，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力.

【基础知识精讲】

1.向量的定义

既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示.薪及示从点A到B的向量（即A为起点，B为终点的

向量），也可以用字母a、b、c…等表示.（印刷用黑体a、b、c,书写用Z、b.】注意：长度、面积、体积、质量等为

数量，位移、速度、力等为向量）.

2.向量的模

所谓向量布的大小，就是向量标的长度（或称模），记作I族I或者IZI.向量不能比较大小，但向量的模

可以比较大小.

3.零向量与单位向量：长度为o的向量称为零向量，用6表示.6向量的方向是不定的，或者说任何方向都是6向

量的方向，因此6向量有两个特征：一长度为o；二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.

4.平行向量、共线向量

方向相同或相反的非零向量称为平行向量.特别规定零向量与任一向量都平行.因此，零向量与零向量也可以平行.

根据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量.例如施与就也是一对平行向量.

由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形ABCD是平行四边形，

则向量Q与五是一组共线向量；向量而与就也是一组共线向量.

5.相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量展与向量B相等，记作.零向量与零向量相等，任意两个

相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

【重点难点解析】

通过本节学习，应该掌握：（1）理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；（2）掌握向量的几何表示，会用

字母表示向量；（3）了解平行向量的概念及表示法，了解共线向量的概念.

例1判断下列各命题是否正确

⑴若I5I=IB|,则】=1

(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=0C是四边形ABCD是平行四边形的充要条件.

⑶若a=1,B=c,贝ija=c

⑷两向量〉、b相等的充要条件是

C\a\=\b\

\.a//b

(5)I«I=II是向量1=3的必要不充分条件.

(6)薪=而的充要条件是A与C重合，B与D重合.

解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

(2)正确.•・•布=丽，|Q|=|丽|且茄〃丽.

又A、B、C、D是不共线的四点.

四边形ABCD是平行四边形，反之，若四边形ABCD是平行四边形则慈么DC,且薪与皮方向相同，因此

AB^DC.

⑶正确...id

：.a,B的长度相等且方向相同；

又,:办=7

：.h,1的长度相等且方向相同.

/.a,1的长度相等且方向相同，故a=c

(4)不正确.当Z〃兀但方向相反，即使Ia\^\b\,也不能得到］=Z,故

■I31=12I

a//b

不是】=g的充要条件.

(5)正确.这是因为Ia1=1bl»a=3,但a=gnIaI=I3I,所以laI=I3I是a=%的必要不充分条件.

(6)不正确.这是因为踵=而时，应有：I族1=13I及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有A

与C重合、B与D重合.

说明：①针对上述结论(1)、(4)、(5),我们应该清醒的认识到，两非零向5、B相等的充要条件应是Z、区的方

向相同且模相等.

②针对结论(3),我们应该理解向量相等是可传递的.

③结论(6)不正确，告诉我们平面向量1与各相等，并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两

向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合.

例2如图所示，AABC中，三边长IABI、IBCI、IACI均不相等，E、F、I)是AC,AB,BC的中点.

(1)写出与Eb共线的向量.

(2)写出与9的模大小相等的向量.

(3)写出与前相等的向量.

解：⑴；E、F分别是AC,AB的中点

.,.EF/7BC

从而，与加共线的向量，包括：

FE,BD,DB,~DC,CD,BC,CB.

(2)；E、F、D分别是AC、AB、BC的中点

.,.EF=-BC,BD=DC=-BC.

22

XVAB.BC、AC均不相等

从而，与赤的模大小相等的向量是：FE.BD,茄、DC.CD

(3)与浮相等的向量，包括：~DB.CD.

例3判断下列命题真假

(1)平行向量一定方向相同.

(2)共线向量-定相等.

(3)起点不同，但方向相同且模相等的儿个向量是相等的向量.

(4)不相等的向量，则一定不平行.

(5)非零向量的单位向量是土1

解：(D假命题，还可以方向相反；

(2)假命题，共线向量仅方向相同或相反；大小不一定相等；

(3)真命题，因为向量与起点位置无关；

⑷假命题，因为若Z,各方向相同，但只要IZI彳MI,则ZrB.

(5)真命题，任一非零向量：［的单位向量为土卷.

例4如图，已知：四边形ABCD中，N、M分别是AD、BC的中点，又通=皮.

求证：CN=MA,

证明：VAfi-DC

IABI=IDCI,且AB〃DC.从而，四边形ABCD是平行四边形.

，AD〃BC,AD=BC

：N、M分别是AD、BC的中点.

.,.AN--AD,MC=-BC.

22

AAN=MC.

又AN〃MC,

四边形AMCN是平行四边形.于是得：AM〃NC,IAMI=INCI.

又由图可知：CN与MA的方向一致.

：.CN=MA

【难题巧解点拔】

例1如图，已知四边形ABCD是矩形,0是两对角线AC与BD的交点，设点集M={A,B,C,D,0}、向量的集合T={PQ\

任P,QGM,且P、Q不重合},试求集合T的子集个数.

分析：要确定向量为元素的集合T有多少个子集，就需搞清楚集合T中有多少个相异的向量.

解：以矩形ABCD的四顶点及它的对角线交点0,五点中的任一点为起点，其余四点中的一点为终点的向量共有20

个，但是这20个向量不是各不相等的，我们下面将这20个向量一一列举出来：AO=OC、OA=CO;OO=OB、

BO^OD;AC,CA；BD、DB；AO=8C、DA=CB;AB=DC,BA=CO.它们中有12个向量是各不相等的.

故T是一个12元集.所以T有2吆个子集.

说明：在上述解题过程中，我们一定要根据集合元素的互异性.算出T中的元素个数为12.而不是20.这样才能得

到正确的结果.

例2已知；如图，点D在AABC的边BC上，且与B、C不重合，E、F分别在AB、AC上，而=砺.

(1)求证：ABDE^ADCF.

(2)求当D在什么位置时，四边形AEDF的面积可以取到最大值?

证明：(I)：•而=而

，DF〃AE,IDFI=IEAI.

从而，得：四边形AEDF是平行四边形

；.DE〃AF,|DE|=|AF|

由DE〃AF可得：ZBDE=ZC

由DF〃AE可得：ZB=ZEDC

.".△BDE^ADCF

⑵设|BCI=a,IACI=b,IABI=c,IBDI=x,则IDCI=a-x.

VABDE^ADCF.

.\BD\_\BE\_\ED\

''\CD\\DF\\FC\

从而,图则设比为

xa-x

J\~ED\\―FCL\,设比为k2.

xa-x

由IBE|+IDFI=c,IEDI+IFCI=b.

可得:xki+(a-x)ki=c,Aki=—.

a

b

xkz+(a-x)k=b,kz=—.

2a

IDF|=~(a'x)

a

IDE|=—x

a

由点F作FT_LAB,垂足为T

由锐角三角函数，IFTI=IAFIsinA=2x•sinA

a

S£7AEDF=IDFI•IFTI=—(a-x)•—x,sinA

aa

=-^-(ax-x2)sinA

a"

be「a?a、21.ybe.、

L——-(x--)JsinAW—sinA

a2424

当且仅当x=g时，等号成立.

2

答：D是BC边的中点时，Sgw取到最大值.

例3如图从，由，…A,是。0上的八个等分点，则在以A”由…扇及圆心0九个点中任意两点为起点与终点的向

量中，模等于半径的向量有多少个?模等于半径、历倍的向量有多少个？

分析：(1)由于A、A?…As是。0上的八个等分点，所以八边形AA…A,是正八边形，正八边形的边及对角线长均与

。。的半径不相等.所以模等于半径的向量只可能是两与而(1=1,2,-,8)两类.

(2)00内接正方形的边长是半径的后倍，所以我们应考虑与圆心0形成90。圆心角的两点为端点的向量个数.

解：(1)模等于半径的向量只有两类，一类是就(i=l,2,…，8)共8个；另一类是丽(i=l,2,…,8)也有8

个，两类合计16个.

(2)以A"A”…，As为顶点的。。的内接正方形有两个，一是正方形AAAA；另一个是正方形AAA6AB.在题中所

述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的J5倍.所以模为半径痣倍

的向量共有4X2X2=16个.

说明：(1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算可与丽(i=l,2,…，8)两类，一般我们易想到两

(i=l,2,…，8)这8个，而易遗漏雨(i=l,2,8)这8个.

(2)圆内接正方形的一边对应了长为后的两个向量.例如边AA对应向量病与*.因此与(1)一样，在解题

过程中主要要防止漏算.认为满足条件的向量个数为8是错误的.

【命题趋势分析】

本节着重考查对向量的概念的理解，高考中将会以选择题、填空题形式命题.

【典型热点考题】

例1给出下列3个命题：（1）单位向量都相等；（2）单位向量都共线；（3）共线的单位向量必相等.其中真命题的个

数是（）

A.0B.1C.2D.3

分析：本题考查单位向量和共线向量的概念及它们之间的联系等基础知识，增加了考点，加大了难度.因为不同的

单位向量有不同的方向，所以（1）和（2）较易判断是假命题.因为共线的单位向量有可能方向相反，它们不一定相等，所

以⑶也是假命题.

.•.选A.

例2如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.

（1）与向量A8相等的向量有；（2）若IAB|=3,则向量EC的模等于.

分析：本题考查用向量的观点对平面图形进行初步判断的能力，是容易题，山条件，可得而=薪且加=踵，

所以=于是E、D、C三点共线，故IECI=IEDI+|OCI=2IABI=6.

答：⑴ED,DC；(2)6

例3下列命题中，正确的是(

A.Ia\-\b|=a=3B.\a\>\bI=>a>&

C.a=b\a\//\b\D.IaI=0=>a=0

解：由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B,零向量、数字0是两个不同的

概念，零向量是不等于数字0的.

二应排除D,...应选C.

例4下列四个命题：①若IZI=0,则1=0；②若I3I=IBI,则K或3=-九③若［与各是平行向量，则I

a\^\b\；④若1=6,则-3=6正确命题个数是（）

A.1B.2C.3D.4

分析：①是忽略了。与。不同，由于IaI=0=>3=6,但。不能写成0；

②是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相同，并不意味它们

的方向相同或相反；

③是对两个向量平行的意义理解不透，两个向量平行，只是这两个向量的方向相同或相反，而它们的模不一定相

等；

④正确，故选A.

本周强化练习:

【同步达纲练习】

一、选择题

1.下列命题中的假命题是（）

A.向量AB与84的长度相等

B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同

C.只有零向量的模等于0

D.共线的单位向量都相等

2.如图，在圆。中，向量而，0C,彳5是（）

A.有相同起点的向量B.单位向量

C.相等的向量D.模相等的向量

3.如图，AABC中，DE〃BC,则其中共线向量有（）

A.一组B.二组C.三组D.四组

4.若。是任一非零向量，b是单位向量，下列各式①Ia>IbI；©a//b；③laI>0；④IbI=±1；

a-*

⑤符=b，其中正确的有（)

H

A.①④⑤B.③C.①②③⑤D.②③⑤

5.四边形ABCD中，若向量A8与CD是共线向量，则四边形ABCD（）

A.是平行四边形B.是梯形

C.是平行四边形或梯形D.不是平行四边形，也不是梯形

6.把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）

A.~"条线段B.一个圆面

C.圆上的一群弧立点D.一个圆

7.若3,g是两个不平行的非零向量，并且1〃Ab//c,则向量展等于（）

A.6B.aC.hD.】不存在

8.命题p：「与［是方向相同的非零向量，命题q:［与1是两平行向量，则命题p是命题4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、判断题

1.向量Q与直是两平行向量.（）

2.若］是单位向量，Z也是单位向量，则3=3.（）

3.长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量.（）

4.与任一向量都平行的向量为6向量.（）

5.若嘉=反，则A、B、C、D四点构成平行四边形.（）

6.两向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点也相同.（）

7.设0是正三角形ABC的中心，则向量花的长度是次长度的百倍.（）

8.已知四边形ABCD是菱形，贝IJI就|=I访I是菱形ABCD为正方形的充要条件.（）

9.在坐标平面上，以坐标原点0为起点的单位向量的终点P的轨迹是单位圆.（）

10.凡模相等且平行的两向量均相等.（）

三、填空题

1.已知a,b,c为非零向量，且a与B不共线，若。〃a,则c与Z必定.

2.已知\OA\=4,\AB\=8,/A0B=60°,贝IJI踵I=.

3.如图，已知0是正六边形的中心，则在图中所标出的各向量中，模等于该正六边形边长的向量共有个.

4.如图所示，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形，则

①与向量布共线的向量有;

②若I踵I=1.5,则I在I=.

5.已知四边形ABCD中，而=L比，月一|而|=|元|,则四边形ABCD的形状是

2

四、解答题

1.如图，在aABC中，已知：向量诟=而，而=族，求证：DE=AF.

2.在直角坐标系中，将所有与y轴共线的单位向量的起点移到x轴上，其终点的集合构成什么图形?

【素质优化训练】

1.已知ab是任意两个向量，下列条件：①ad;®IaI=IBI;③。与否的方向相反；④a=6或各=6;@tz

与否都是单位向量.其中，哪些是向量Z与.共线的充分不必要条件.

2.已知ABCD是等腰梯形，AB〃DC,下列各式：①蕊=丽；②而=就；③IAC\^\BD\;@\AB\^\

~DCI;⑤鼐〃①.

正确的式子的序号是.

3.不相等的向量Z和各，有可能是平行向量吗?若不可能，请说明理由；若有可能，请把各种可能的情形一一列出.

4.下列各组量是不是向量?如果是向量，说明这些向量之间有什么关系？

(1)两个三角形的面积S“S2；

(2)桌面上两个物体各自受到的重力R,F2；

(3)某人向河对岸游泳的速度vi与水流的速度v2；

(4)浮在水面上的物体受到的重力W和水的浮力F.

【生活实际运用】