高中数学必修四复习题含有答案详解

高中教学必修四复习题

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Coca-colastandardizationoffice[ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18]

高中数学必修四复习题

一、填空题：

1.巳知扇形的半径是16,圆心角是2弧度，则扇形的弧长是一.

【答案】32

2.函数片tan（2『g）的图象与直线尸-a（a《R）的交点中距离的最小值为.

【答案】y

【解析】尸tan（2kg）的最小正周期版■，故厂tan（2『g）与y=-a的交点中距离的最小值为最

3.在△中，—\EF〃BC交AC于点F,设（=,（=,用a,6表示向量

5

一为_.

【答案】:-

O

丸2sin(—)—cos(n+)

4.己知cos(万+a)=2cos(n-a),则/代一)+,,“(王)

【答案】3

Isin2V5

【解析】通解由cos(万+a)=2cos(n-a)得sina=2cosa,Xcos2aAin'。=1,所叫

IcosV5

T

■._2巡

Sin=~,2sin(-)-cos(丸+)_-2sin+cos

5/5)、sin(-^•一)+cos(^y•一)cos-sin

cos=——,

2sin(—)—cos(n+)——2sin+cos_—3cos

优解由cos(]+Q)=2COS(n一。)得sin。=2cos所以sin(,-)+cos(y—)cos-sin-cos

5.圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长,那么这段弧所对的圆心角的弧度数为.

【答案】V3

【解析】设圆的半径为r,则其内接正三角形的边长为a=V3r,故弧长l=a=V3r,所以这段弧所对的圆心角

的弧度数为0=-=随=a.

6.已知向量(与'的夹角为120°,且/―7=2,/―7=3,若=4――*,且*,则实

数A的值为.

【答案】7

【解析】由,•―=(^--'+~()•(-~~')=0得4-->-4(~r+(-r-

,**=0—3A-4A用+3=

(M*.

7.已知€(〃「)，且sin(—今)=*,则sin+cos=_.

【答案】\

0

【解析】因为sin(-5)=3(sin—cos)=/二sin—cos1—2sincos=

,2sincos=2＞〃依题意知：6仅习,又(sin+cos)-=1+2sincos=£,

•••sin+cos=；.故答案为3

8.己知向量——\|一＞|=5,|一＞|=3,则一'(=_.

【答案】16

＞2，2(

(解析]由已知条件构造Rt△ABC,斜边AC,则一J一-一,一=1-;则易求一,一"的

值.由已知条件构造Rt△ABC,斜边AC,则一，2=-，2--，2=16,一,=—1+一；则—1一＞=

X，+)=＞2=16.

9.将函数/•5)=$简(3*《)刊(。＞0)的图像向左平移：个单位,所得图像关于旷轴对称,则正数3的最小

值为.

【答案】2

【解析】函数图像向左平移g个单位后所得图像对应的函数为片/•(x《)=sin[3(x^)-

7]已知在△♦团中，向量―^与一)的夹角为X/―7=2,则/_7的取值范围

b3b3bz6

是.

【答案】(0,4]

[解析]•••/―7=/―'+―7=J|—＞|2+1—)|2+2|—'II—'Icos^,•••/―7+/―7-

V3/17/―7=4,把/~7看作未知量,得到一个一元二次方程/~7^/3/~7/―7+(〃川⑷=o,

这个方程的判别式4=(75/一7)々(|—,|2-i)=i6-|—.♦."W/■―VW4,根据实际意义，知

0＜/—7W4.

11.若cosxcosy-^sinxsin尸\贝ljcos(2*一2同二.

【答案】3

y

【解析】由cosxcosy飞inxsin启，可知cos(x-力=：,贝!Jsin2(x-j)=l-(；)'=，，

cos(2x-2y)=cos~(x-y)-sin2(x~y)=(1)J卷

12.设向量=[1,2),=(-2)，且〃，则2+3=.

【答案】(-幺-$

【解析】由〃得,IX+2x2=0,解得=一4,所以=(一2-4),2+3=(2,4)+

(-6,-12)=(-4,-8).

13.已知角，的终边在第三象限，tan2。=-2近，则tan0-,cos0=.

【答案】2T

【解析】由tan2夕=一2调得tan2。-「，工-一2即调tar?0-tan8-^/2=0,解得tan。=近或tan

0=S,又角9的终边在第三象限，故tan0=y[2.故工=调，由sin20A：OS20=1得cos2，=1,即cos

2cos3

0=^1

3

.的sin(T+)+sin(y-)

14.化间：-4———-4_0

COS(y+)+COS(y-)

【答案】V3

【解析】原式告上*一二tarr^=6.

2cos彳COS3

15.将函数片sinx的图象向左平移;个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩为原来的;，纵坐标不变,

便得到函数f(x)的图象，则f(x)解析式为.

【答案】()=sin(2+：)

【解析】将函数尸sinx的图象向左平移;个单位，则所得图象对应函数的解析式为尸sinj4),再将所

得图象上各点的横坐标缩为原来的:，纵坐标不变，便得到函数/"(X)的图象，则()=sin(2+?).

16.函数=sin(2+)(0＜＜3)图象的一条对称轴是=/则的值是

【答案】|

【解析】因为函数=sin(2+)(。＜＜勺图象的一条对称轴是=巳所以sin信+)=±/,

又因为。＜＜玄则看＜看+＜4,即?+解得=々；故填盘

17.已知।i=aii=a且？=/z则向量在方向上的投影为二

【答案】[

5

【解析】由？=/需||||cos=12而|1=31|=5,所以cos=，所以||cos=3x

所以向量在方向上的投影为二

DOO

18.当产。时，函数f(x)=sinx-3cosx取得最大值,则cos。的值为.

【答案】—亚

10

【解析】因为Hx)=sinx-3cosx=V7^(sin?曹一cos=VTOsin(一)，其中cos=

噂,sin=当^当f(x)取得最大值时，。—=/+2n,cos=cos(y+n+j=-sin=

一笔故填—甯

19.已知£(一三,。,且cosZ=sin(一今，则tan万等于—

【答案】

3

【解析】由cosZ=sin(一])有为os"4-cos-2=0,而€(一巳，。，解得cos=：得=-j,

故tan下=tan(_V)=_@.

403

4

20.已知B为锐角，cos2B=—,则cos石二.

5-

【答案】匚

10

AA/in

【解析】由cos23=-=可得2cos21=一]，而B为锐角，所以所以cosB=土上.

5510

二、解答题

21.已知函数()=sin(+)(>0,0<S")为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最

低点间的距离为

(I)求()的解析式；

(H)若()+sin=；,求包空二迦的值.

【答案】解：(I)因为()=sin(+)(>0,0<S又)为偶函数，故=士；

从而()=sin(+4)=cos.

由()图象上相邻的一个最高点和最低点间的距离为,4+员2,知=2",故=/.所以()=

cos.

/5、h1、sin2—cos2+7久incos+2sin^o.

(ID原式=----TiT-----='~，“、+.”，----=2sincos.

/H-------------

coscos

由条件知cos+sin=y平方得/+2sincos=[；

从而原式=2sincos=—1

22.已知函数()=/+2sin(2

⑴当e[7,7],求/"(x)的最大值和最小值.

(2)求/1(x)的最小正周期和单调递增区间.

⑶若不等式f(x)-欣2在€[7,歹上恒成立，求实数卬的取值范围.

nK

【答案】(1)因为一4x<一，

42

所以2兀42%一兀上42上乃.

633

5

当2x--rr=二rr，即x=」-万时,

3212

当即11时，

4

(2)最小正周期T=2=%.

CO

令一万+2<2-y<-+^(€)

得一行+-+(6),

所以单调递增区间为

［一行+，％+K6).

(3)由题设条件可知-兀今对X€T'T恒成立，

_42_

乳乳

又当xe［15］时,

所以7彳至三，所以

23.已知向量a=(l,2),ZF(T,3),c=4界6,AeR.

⑴求向量a与6的夹角0-

(2)求|c|的最小值.

【答案】⑴•；|a|=倔|引=VTU,a-k5,

Acos0-~:-==—.

I|||VsxVTo2

Wn,二哪.

⑵•••Ic|=〃+—y=J5(+1)2+5,

...当4=T时，|c取得最小值，即c„in=V5.

24.2知己用C的坐标分别为4(4,0),8(0,4),C(3cos%3sina).

(1)若ae(-n,0),且|-'|=|-N.求角a的值；

⑵若一,•-=0,求2si>+sin2的值.

1+n

【答案】(1)-(3cos。-4,3sina),-(3cosa,

3sin。-4).

由I*|=|1,得(3cos。-4)2+9sii?a=9cos2a+(3sin。-4)；所以sin。二cosa.

因为ae(-n,0),所以。=-卜.

4

(2)因为2si.+sin2

2sincos(cos+sin).

-----------------^=2nsin^COSQ,

cos+sin

又*•=o,

所以3coso(3cosa-4)+3sino(3sin4)=0.

所以sinq+cos3

7

两边平方得2sinacos^=~~

16f

所以2sin2+sin27

1+n

25.已知点4(2,0),5(0,2),C(cos%sina)(其中0<a<n),。为坐标原点.

⑴若|—•+—(=V7,求—>与一*的夹角；

(2)若一11一(，求tan。的值.

【答案】(1)由己知得-―一=(2^osa,sina).

,：1'+(2A;OSa)‘飞in2a=7,即4I14COSaA:os2ai^sin2a=7,.".cosa=^.

又aG(0,Ji),Z.o=y,.'.sin。哼；.1=©,%

r,、一—'jX0+fx2V3

又=(0,2),cosZB0C=--------=——=-y，

I*1一I*11XZ4

4BOO总故一>与一•的夹角为总

OO

(2)由已知得-(cosa-2,sina),-(cosa,sina-2),

・・----\・・.>•=0,

/.cosa(cos。-2)行ina(sina-2)=0,Asinoycos。二

；・两边平方得(sin。九os。)三，即2sin4cos。，二0,

即2sin4cos4d(sir?。化os2a)=0,

4

即3sir?。对sinacosq+3cos'a=0.

两边同时除以cos2a，得3tan2o-/gtana+3=0,

解得tana=W或士g

33

o

V2sincos。=)<0,aG(0,n),Asino>0,cos^<0.

4

Xsina-/cos。4〉0,・\sina>~cosa,<-l,

2cos

即tan。<-1,，tana二一"",T应舍去,故tana二一"一".

33

26.已知年W.

(I)若。与i的夹角为60",求(a+2A>(a-33)；

(II)若(2。-3彷,(2a+5)=61,求。与j的夹角.

【答案】(I)：I正q俘W,。与j的夹角为60°,，a.b=|a|•他卜cos60°=6.

.,.(a+2*).(a-3A)=a2-«d-6ft2=-44.

(ID,/(2a-3A)-(2a+b)=4a2-4a•A-3A2=37-4a-A=61,­.ab=-Q，

:.cos8=:匕=Y,