2024-2025学年新教材高中数学第1周检测高一30%+空间向量及其运算空间向量基本定理70%新人教A版选择性必修第一册

第1周检测(高一30%+空间向量及其运算、空间向量基本定理70%)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|x2+x>0},N={x|ln(x-1)>1},则()A.M=N B.M⊆NC.M∩N=(e+1,+∞) D.M∪N=(2,+∞)2.已知复数z满足z(1+i)=2(i是虚数单位),则|z|=()A.1 B.2 C.2 D.53.已知函数f(x)=12sin2x的图象为C.为了得到函数f(x)=12sin2x+π3的图象,只要把图象C上全部的点(A.向右平移π6个单位长度 B.向左平移πC.向右平移π3个单位长度 D.向左平移π4.在市场上选取20种不同的零食作为探讨样本,记录其每100克可食部分的能量(单位:kJ)如下:110,120,120,120,123,123,140,146,150,162,165,174,190,210,235,249,280,318,428,432.则样本数据的第75百分位数为()A.123 B.235 C.242 D.2495.下列命题中,真命题是()A.若a≠b,则|a|≠|b| B.若|a|>|b|,则a>bC.若a=b,则|a|=|b| D.若|a|=|b|,则a=b6.如图,在四面体OABC中,AM=2MB,ON=NC,且OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示NM,则NM=()A.13a+23b+12c B.23a+1C.13a+23b-12c D.23a+17.在空间四边形OABC中,OA+AB-CBA.OC B.OA C.AB D.AC8.已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是棱AC,BD的中点,则AE·AF的值是(A.a2 B.12a2 C.14a2 D.3二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列各选项给出的两个函数中,表示相同函数的有()A.f(x)=x2与g(x)=3x3 B.f(t)=|t+1|与g(xC.f(x)=x(x>0)与g(x)=3log3x D.f(x)=x2-110.在下列说法中正确的有()A.若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行B.已知向量a∥b,则存在向量可以与向量a,b构成空间的一个基底C.假如三个向量a,b,c不共面,那么对于空间随意一个向量p存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zcD.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底11.如图,正四面体PABC的棱长为4,E是棱AC的中点,BF=2FP,AG=2GB,设PA=a,PB=b,PC=c,则(A.|EF|=2173 B.|EFC.EG=-16a+23b-12c D.CG=13a三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.函数f(x)=log2x13.在四面体ABCD中,点F在棱AD上,且AF=2FD,E为棱BC的中点,则EF=.(用AB,(第13题图)14.如图,正四面体ABCD的棱长为1,点E是棱CD的中点,则AE·AB=(第14题图)四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知向量a=(3sinx,cosx),b=(cosx,cosx).(1)若a∥b,且x∈(0,π),求x的值;(2)若函数f(x)=2a·b-1,求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.16.(15分)在平行六面体A1B1C1D1-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且AB=4,AA1=6,∠BAA1=∠A1AD=60°.(1)求AA(2)求线段AC1的长.17.(15分)如图所示,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AD上随意一点.以A,B,C,D,E,A1,B1,C1,D1这九个点中的两个点为向量的起点和终点,分别写出满足下列条件的向量.(1)与BC平行且方向相同的向量,与AD相等的向量;(2)用三个向量的和表示B1E18.(17分)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,CP=3CE,F为棱PB的中点,设DA=a,DP=b,DC=c.(1)用a,b,c表示AF;(2)求证:AF∥平面BDE.19.(17分)如图,三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC的长度分别为1,2,3,并且∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°.(1)求AB的长;(2)求直线OC与直线AB所成角的余弦值.参考答案第1周检测(高一30%+空间向量及其运算、空间向量基本定理70%)1.C由题得,M={x|x2+x>0}={x|x>0或x<-1},N={x|ln(x-1)>1}={x|x>e+1}.明显,M≠N,N⊆M,M∩N=(e+1,+∞),M∪N=(-∞,-1)∪(0,+∞).故选C.2.B由z(1+i)=2,得z=21+i=2(1-i)(3.B由题意得,f(x)=12sin2x+π3=12sin2x+π6,所以将f(x)=12sin2x图象上的点向左平移π6个单位长度即可得到f(x)=12sin2x+π3的图象.故选B.4.C20×75%=15,样本中,第15个、第16个数据分别为235,249,所以样本数据的第75百分位数为235+2492=242故选C.5.C对于A,若a=(0,0,1),b=(1,0,0),a,b不相等,但|a|=|b|=1,故A错误;对于B,向量的模可以有大小之分,但是向量不行以比较大小,故B错误;对于C,向量相等,则其模相等,方向相同,故C正确;对于D,若a=(0,0,1),b=(1,0,0),|a|=|b|=1,但a,b不相等,故D错误.故选C.6.C因为AM=2MB,ON=NC,所以AM=故NM=NC+CM=12OC+CA+AM7.A依据向量的加法、减法运算法则,得OA+AB-8.C如图所示,∵正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是棱AC,BD的中点,∴AF=12(AB+AD),AB·∴AE·=14=14×2×12a2=14故选C.9.BC对于A,函数f(x)=x2,g(x)=3x3定义域均为R,而f(x)=|x|,g(x对于B,函数f(t)=|t+1|,g(x)=(x+1)2定义域均为R,且g(x)对于C,函数f(x)=x(x>0),g(x)=3log3x定义域均为(0,+∞),且g(x)对于D,函数f(x)=x2-1x-1定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),而g(x故选BC.10.CD若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线可能平行,也可能共线,故A错误;向量a∥b,不存在向量可以与向量a,b构成空间的一个基底,因为构成空间基底的三个向量两两不共线,故B错误;由空间向量基本定理知C正确;三个非零向量两两垂直,则它们确定不共面,可能构成空间的一个基底,故D正确.故选CD.11.BC因为E是棱AC的中点,所以PE=12PA+又BF=2FP,所以PF=1所以EF=PF-PE=13b所以|EF|=1=169故A错误,B正确;因为AG=2GB,所以PG-PA=2(所以PG=13PA+所以EG=PG-PE=-16a+2CG=PG-PC=13a故选BC.12.[1,3)∪(3,+∞)由题意得,log2x≥0,x-3≠0,13.-12AB-12AC+23AD在四面体ABCD中,点F在棱AD上,且AF=2FD,E为棱14.12因为点E是棱CD的中点,所以AE=又因为正四面体ABCD的棱长为1,所以AB·AC=AB·所以AE·AB=AB·1215.解(1)因为a∥b,所以3sinxcosx-cos2x=0,即cosx(3sinx-cosx)=0,可得cosx=0或3sinx-cosx=0,故cosx=0或tanx=33又x∈(0,π),所以x=π2(2)由题可得f(x)=2a·b-1=23sinxcosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin2x+π6,所以函数f(x)的最小正周期T=π.令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,得-π3+kπ≤x≤π所以函数f(x)的单调递增区间为-π3+kπ,π6+kπ,k∈Z.16.解(1)由题意可知,BC=AD,AA1=6,AD=AB=4,∠A1AD=60°,故AA1·BC=AA1·AD=|AA(2)由题意可知,AC1=AB+BC+CC1,故AC12=|AC1|2=(AB+BC+CC1因为AB=BC=4,AA1=CC1=6,∠ABC=90°,∠BAA1=∠A1AD=60°,所以|AC1|2=16+16+36+0+2×4×6×cos60°+2×4×6×cos60°即|AC1|=2故线段AC1的长为229.17.解(1)由题图可得,与BC平行且方向相同的向量有B1与AD相等的向量有BC.(2)由向量加法运算法则,得B1E18.(1)解因为四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,CP=3CE,F为棱PB的中点,所以AF=AB+12BP=AB+12(BA+AD+DP)=DC(2)证明