2024年广东省珠海市香洲区文园中学中考数学三模试卷(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2024年广东省珠海市香洲区文园中学中考数学三模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2024的倒数是(

)A.2024 B.−2024 C.12024 D.2.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(

)A.科克曲线 B.笛卡尔心形图

C.希尔伯特曲线 D.斐波那契螺旋线3.下列计算正确的是(

)A.(2a)3=6a3 B.a24.鲁班锁，民间也称作孔明锁、八针锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创，如图是鲁班锁的其中一个部件，它的主视图是(

)

A. B. C. D.5.若一元二次方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根，则m的值是(

)A.2 B.±2 C.±4 D.±26.箱子内装有53颗白球及2颗红球，小芬打算从箱子内抽球，以毎次抽出一球后将球再放回的方式抽53次球．若箱子内每个球被抽到的机会相等，且前52次中抽到白球51次及红球1次，则第53次抽球时，小芬抽到红球的机率为何？(

)A.12 B.13 C.2537.国际数学家大会是由国际数学联盟(IMU)主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会.如图所示是第24届国际数学家大会会标，该会标取自于我国数学家赵爽注解《周髀算经》中的弦图.与该弦图有着密切关系的数学文化是(

)

A.无理数的发现 B.圆周率的估算 C.勾股定理的证明 D.黄金分割比8.当温度不变时，某气球内的气压p(kPa)与气体体积V(m2)成反比例函数关系(其图象如图所示)，已知当气球内的气压p>120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V应满足的条件是(

)A.不大于45m2

B.大于54m2

C.9.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=100°，⊙O与AB，BC分别切于点D，C，连接CD.则∠ACD的度数为(

)A.50 B.40 C.30 D.2010.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量xx…−10123…y…40−1m4…A.抛物线y=ax2+bx+c的开口向下

B.当x<3时，y随x增大而增大

C.当y>0时，x的取值范围是0<x<2

D.方程ax二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.分解因式：a2−3a=______．12.不等式组x+1>01−3x≥0的解集为______．13.如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点.若AC=8，CD=5，则DE=______．

14.如图，正方形ABCD的边AB=2，点E、F为正方形边的中点，以EF为半径的扇形交正方形的边于点G、H，则GH长为______．

15.在平面直角坐标系中，如果存在一点P(a,b)，满足ab=−1，那么称点P为“负倒数点”则函数y=x−6(x≥0)−x−6(x<0)的图象上负倒数点的个数为______个．三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

(1)计算：|−3|+4cos45°−(−1)2023；

(2)先化简，再求值：x−2x217.(本小题6分)

2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意.某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价．18.(本小题8分)

如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，过点B作BE⊥AC于点E．

(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作AC的垂线，垂足为F.(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)问所作的图形中，连接BF，DE，求证：四边形BEDF是平行四边形．19.(本小题8分)

智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等.如图，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度.其数学原理如图②所示，测量者AB与被测量者CD都垂直于地面BC．

(1)如图①若手机显示AC=AD=1.7m，∠CAD=60°，请确定此时被测量者的身高CD的长；

(2)如图②若手机显示AC=4m，AD=5m，∠CAD=53°，求此时被测量物CD的高.(结果保留根号)(sin53°≈45，cos53°≈35，20.(本小题9分)

某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A、B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析(评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x<70，比较满意70⩽x<80，满意80⩽x<90，非常满意x⩾90)，下面给出了部分信息：

抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：

83，85，85，87，87，89；

抽取的对B款设备的评分数据：

68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．

抽取的对A，B款设备的评分统计表设备平均数中位数众数“非常满意”所占百分比A88m9645%B8887n40%根据以上信息，解答下列问题：

(1)填空：a=______，m=______，n=______；

(2)5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数；

(3)根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由(写出一条理由即可)．21.(本小题10分)

如图，在菱形ABCD中，CH⊥AB于H，以CH为直径的⊙O分别交BC，AC于点E，F，连接EF．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)求证：△CEF∽△CAD；

(3)若AB=10，AC=12，求tan∠CFE．22.(本小题12分)

如图1所示是某家具厂的抛物线木板余料，其最大高度为9dm，最大宽度为12dm，现计划将此余料进行切割．

(1)如图1，以AB的中点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式；

(2)工人师傅现需要一块边长为7dm的正方形木板，为了切割方便，要求一边在底部边缘AB上，这块余料能否满足工人的需求？如果能，请说出切割方案，如果不能，请说明理由；

(3)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；

(4)若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请直接写出拼接后的矩形的长边长(结果保留根号).注意：思考中可能会用到的数据7≈2.65，5≈2.24，23.(本小题12分)

如图，将一个直角三角形纸片AOB，放置在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)，点B在y轴的正半轴上，OA=2，∠ABO=90°，∠AOB=30°，D、E两点同时从原点O出发，D点以每秒3个单位长度的速度沿x轴正方向运动，E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动．连接DE，交OA于点F，将△OEF沿直线DE折叠得到△O′EF.设D，E两点的运动时间为t秒．

(Ⅰ)求点A的坐标及∠OED的度数；

(Ⅱ)若折叠后△O′EF与△AOB重叠部分的面积为S．

①当折叠后△O′EF与△AOB重叠部分的图形为三角形时，请写出S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；

②当重叠部分面积最大时，若△OEO′绕点E旋转，得到△PEQ，点O，O′的对应点分别为P，Q，连接AP，AQ，求△APQ面积的最大值(直接写出结果即可)．

参考答案1.C

2.A

3.C

4.C

5.C

6.D

7.C

8.C

9.C

10.D

11.a(a−3)

12.−1<x≤113.3

14.2315.3

16.解：(1)原式=3+4×22−(−1)

=3+22+1

=4+22；

(2)原式=x−2(x+1)(x−1)÷x−1−1x−1

=x−2(x+1)(x−1)⋅x−1x−217.解：设B款吉祥物的单价为x元，则A款吉祥物的单价为(x+20)元，

根据题意得：1000x+20=500x，

解得：x=20，

经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，

∴x+20=20+20=40．

答：A款吉祥物的单价为40元，B18.(1)解：如图，DF为所作；

(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB//DC．

∴∠BAE=∠DCF．

∵BE⊥AC，DF⊥AC．

∴∠BEA=∠DFC=90°，∠BEF=∠DFE=90°．

∴BE/​/DF．

在△BAE和△DCF中，

∠BAE=∠DCF∠BEA=∠DFCAB=CD，

∴△BAE≌△DCF(AAS)．

∴BE=DF．

∵BE=DF，BE/​/DF．

∴四边形BEDF是平行四边形．19.解：(1)∵AC=AD=1.7m，∠CAD=60°，

∴△ACD为等边三角形，

∴CD=AC=1.7m，

答：此时测试者的身高CD长为1.7m；

(2)过点D作DH⊥AC于H，

在Rt△ADH中，

AH=AD⋅cos53°≈5×35=3(m)，

DH=AD⋅sin53°≈5×45=4(m)，

∵AC=4m，

∴CH=AC−AH=1(m)，

∴CD=DH220.解：(1)15；88；98；

(2)600×15%=90(名)，

答：估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为90名；

(3)A款自动洗车设备更受消费者欢迎，理由如下：

因为两款自动洗车设备的评分数据的平均数相同，但A款自动洗车设备的评分数据的中位数比B款高，所以A款自动洗车设备更受消费者欢迎(答案不唯一)．

21.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB/​/CD，

∴∠DCH=∠CHB，

∵CH⊥AB，

∴∠DCH=∠CHB=90°，即DC⊥CO，

又∵C是⊙O的半径的外端点，

∴CD是⊙O的切线．

(2)证明：连接FH，如图所示，

∵FH=FH，

∴∠CEF=∠CHF，

∵CH为⊙O直径，

∴∠CFH=90°，∠CHF+∠FCH=90°，

∵CH⊥AB，

则∠CHA=90°，

∴∠CAH+∠FCH=90°，

∴∠CAH=∠CHF=∠CEF，

又∵AB/​/CD，BC/​/AD，

∴∠DCA=∠CAH，∠CAD=∠ACB，

∴∠DCA=∠CEF，∠CAD=∠FCE，

∴△CEF∽△CAD．

(3)解：连接BD交AC于点G，如图，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，CG=AG=12AC=6，DG=BG=12DB，AB=BC=10，

∴BG=BC2−CG2=102−62=8，

∴DB=2BG=16，

∴菱形ABCD的面积S=12BD⋅AC=12×16×12=96，

∴S△ABC=1222.解：(1)以AB的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：

根据已知可得，抛物线顶点坐标为(0,9)，A(−6,0)，B(6,0)，

设抛物线解析式为y=ax2+9，把B(6,0)代入得：

0=36a+9，

解得a=−14，

∴抛物线对应的函数表达式为y=−14x2+9；

(2)不能满足工人的需求，理由如下：

在OB上取C，使OC=72，F为C关于y轴的对称点，过C作CD⊥x轴交抛物线于D，如图：

在y=−14x2+9中，令x=72得y=−14×(72)2+9=9516，

∴D(72,9516)，

∵9516<7，

∴当CF=7dm时，矩形的宽CD不到7dm，

∴不能满足工人的需求；

(3)设满足条件的矩形为四边形HGNM，如图：

设M(m,−14m2+9)，由抛物线的对称性可知H(−m,−14m2+9)，

∴矩形的周长C矩形HGNM=2(2m−14m2+9)=−12(m−4)2+26，

∵−12<0，

∴当m=4时，C矩形HGNM取最大值，最大值为26，

∴矩形的周长最大为26dm；

(4)画出切割方案如下：

在y=−14x2+9中，令23.解：(Ⅰ)∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OA=2，

∴AB=12OA=1，

∴OB=OA2−AB2=3；

∴A(1,3)；

∵∠EOD=90°，OE=t，OD=3t，

∴tan∠OED=ODOE=3，

∴∠OED=60°；

(Ⅱ)①∵∠OED=60°，∠AOB=30°，

∴∠OFE=90°，即OA⊥DE，

∴将△OEF沿直线DE折叠得到△O′EF，折叠后的点O′落在直线OA上，

如图，当点O′落在线段OA上，△O′EF与△AOB重叠部分是三角形，

此时△OEF≌△O′EF，

∴OE=O′E=t，∠EO′F=∠EOF=30°，

∴EF=12O′E=12t，

∴O′F=32t，

∴S=12⋅EF⋅O′F=38t2(0<t≤233)；

如图，当点O′落在线段OA的延长线上时，△O′EF与△AOB重叠部分是三角形，

设AB与EF交于点M，