2023-2024学年广东省深圳市科学高中高二（下）月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省深圳市科学高中高二（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(1+i)z=3+5i(i是虚数单位)，则|z|=(

)A.15 B.4 C.17 2.若角α的终边经过点(1,−1)，则sinα+3cosα6cosα−2sinα的值为(

)A.54 B.1 C.14 3.若数列{an}满足a1=2，a2=3，aA.3 B.2 C.12 D.4.若向量a,b满足|a|=4，|b|=3，且(2a−3A.−12b B.−13b5.在(3x−1)(x+1)6的展开式中，x3的系数为A.20 B.25 C.30 D.356.“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知AB=2A1B1，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg，则该“方斗”可盛米的总质量为

A.152kg B.133kg C.114kg D.112kg7.若斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2A.−1 B.0 C.2 D.0或28.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P为C左支上一点，PF2与C的右支交于点QA.2 B.3 C.5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2cos(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，则A.ω=2 B.x=π3是f(x)图像的一条对称轴

C.f(x)在区间[−π3,0]上单调递增 D.10.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱A.A，B，E，D1四点共面

B.DF⊥BE

C.直线AF与BE所成角的余弦值为25

D.点E到直线D11.已知数列{an}的首项为a1=1，且9anan+1=an−4an+1，数列{1A.an+1an<15 B.S三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点A(5,3)，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上的点，则△APF周长的最小值为______．13.甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，每天有且仅有一人值班，若甲不值周一，乙不值周六，则可排出不同的值班表数为______．14.若函数f(x)=ex(2x−1)−bx+b有两个零点，则正整数b的最小值为______．

(其中e是自然对数的底数，参考数据：e1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=2，a5+a9=5a3．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)16.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角B的平分线交AC于点D，且(a+12c)sinA+(c+12a)sinC=bsinB．

(1)求角B；

(2)若b=7，△ABC17.(本小题15分)

如图所示，在三棱锥S−ABC中，SA=SC=AB2=2，AC=BC=22，SB=23.(1)求证：平面SAC⊥平面ABC；

(2)若18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点P(1,32)在椭圆C上，且PF垂直于x轴．

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线AF和直线BF关于PF19.(本小题17分)

用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f′(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率为K=|f″(x)|(1+[f′(x)]2)32．

(1)已知函数f(x)=sinx+cosx．

①求函数f(x)在点(0,1)处的曲率的平方K02；

②求函数f(x)的曲率K的最大值．

(2)函数g(x)=(x−2)e参考答案1.C

2.C

3.C

4.D

5.B

6.D

7.D

8.D

9.AB

10.BCD

11.BCD

12.11

13.42

14.18

15.解：(1)设{an}的公差为d，∵a1=2，a5+a9=5a3，

∴2a1+12d=5(a1+2d)，

解得d=3，

∴an=2+3(n−1)=3n−1．

16.解：(1)由题意根据正弦定理得a(a+12c)+c(c+12a)=b2，即a2+c2+ac=b2，

利用余弦定理可知cosB=a2+c2−b22ac=−12，

因为△ABC中B∈(0,π)，所以B=2π3．

(2)因为b=7，a+b+c=15，所以a+c=8，

在△ABC中，由余弦定理可得：49=17.(1)证明：因为AC2+BC2=16=AB2，所以BC⊥AC，

同理可得BC2+SC2=SB2，故BC⊥SC，

因为SC∩AC=C，AC，SC⊂平面SAC，

所以BC⊥平面SAC，

因为BC⊂平面ABC，

故平面SAC⊥平面ABC；

(2)解：以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴，

过C作Cz⊥平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为DS=15BS，

则C(0,0,0)，A(22,0,0)，B(0,22,0)，S(2,0,2)，D(425,225,425)，

所以SA=(2,0,−2)，BS=(2,−22,18.(1)解：因为PF垂直于x轴且P(1,32)，所以c=1，

所以a2−b2=1，

将点P(1,32)代入椭圆方程有，1a2+94b2=1，

解得b2=3，a2=4，

所以椭圆的方程为x24+y23=1．

(2)(ⅰ)证明：由题意知，直线l的斜率不可能为0，设其方程为x=ty+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立x=ty+mx24+y23=1，整理得(3t2+4)y2+6tmy+3m2−12=0，

所以Δ=36t2m2−4(3t2+4)(3m2−12)=48(3t2−m2+4)>0，即m2<3t2+4，

且y1+y2=−6tm3t2+4，y119.解：(1)∵f(x)=sinx+cosx，∴f′(x)=cosx−sinx，f″(x)=−sinx−cosx，

①由题意，f′(0)=1，f″(0)=−1，∴K02=|f″(0)|2(1+[f′(0)]2)3=|−1|2(1+1)3=18．

②由K定义知K为非负数，由题意得：

[f′(x)]2=cos2x+sin2x−2sinxcosx=1−sin2x，[f″(x)]2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+sin2x，

∴K2=|f″(x)|2(1+[f′(x)]2)3=1+sin2x(2−sin2x)3，令u=sin2x∈[−1,1]，

∴K2=1+u(2−u)3，令F(u)=1+u(2−u)3，

则F′(u)=(2−u)3