2023-2024学年广东省江门市鹤山一中高二（下）第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省江门市鹤山一中高二（下）第一次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列运算正确的是(

)A.(x5)′=x5ln5 B.(lgx)′=2.已知直线l经过(−1,0)，(0,1)两点，且与曲线y=f(x)切于点A(2,3)，则lim△x→0f(2+△x)−f(2)△x的值为(

)A.−2

B.−1

C.1

D.23.如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为(

)A.26 B.24 C.20 D.194.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(

)A.18 B.24 C.30 D.325.函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下面说法正确的是(

)A.x=4为函数f(x)的极大值点 B.函数f(x)在区间(−2,1)上单调递增

C.函数f(x)在区间(1,3)上单调递减 D.函数f(x)在区间(4,5)上单调递增6.某高中安排4名同学(不同姓)到甲、乙、丙3个小区参加垃圾分类宣传活动，若每名同学只去一个小区，每个小区至少安排1名同学，其中张同学不去乙小区，则不同的分配方案种数为(

)A.36 B.24 C.48 D.127.在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在一点的邻域中的值，常见的公式有：ex=1+11!x+12!x2A.0.536 B.0.540 C.0.544 D.0.5498.已知定义在R上的函数f(x)=lnx,x>1|x2−x|,x≤1，若函数k(x)=f(x)+ax恰有2个零点，则实数A.(−∞,−1e)∪{0}∪(1,+∞) B.(−1,−1e)∪{0}∪(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2x3−6x+1，则A.g(x)=f(x)−1为奇函数

B.f(x)的单调递增区间为(−1,1)

C.f(x)的极小值为−3

D.若关于x的方程f(x)−m=0恰有3个不等的实根，则m的取值范围为(−3,5)10.下列说法正确的是(

)A.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有18种报名方法

B.从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为12个

C.4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有64种可能的结果

D.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有种24报名方法11.下列说法正确的是(

)A.若(2x−1)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x+2)(x−1x)13.函数f(x)=2sinx−ax在[0,π2]上的单调递减，则实数a14.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色( 4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有_______种.(用数字作答)

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知(x−123x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．

16.(本小题15分)

已知函数，其中a≠0．

(1)若f(x)在x=1处取得极值−12，求a的值；

(2)当a>0时，讨论f(x)的单调性．17.(本小题15分)

(1)现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？

(2)要排一份有4个不同的朗诵节目和3个不同的说唱节目的节目单，如果说唱节目不排在开头，并且任意两个说唱节目不排在一起，则不同的排法种数为多少？

(3)某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生.现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？(最后结果都用数字作答)18.(本小题17分)

记函数f(x)的导函数为f′(x)，f′(x)的导函数为f′′(x)，设D是f(x)的定义域的子集，若在区间D上f′′(x)≤0，则称f(x)在D上是“凸函数”.已知函数f(x)=asinx−x2．

(Ⅰ)若f(x)在[0,π2]上为“凸函数”，求a的取值范围；

(Ⅱ)若a=2，判断g(x)=f(x)+119.(本小题17分)

设n是正整数，f(x)=x2+n(1−xn)nex．

(1)求证：当x≤1时，1−(1−x)ex参考答案1.D

2.C

3.D

4.C

5.D

6.B

7.B

8.B

9.ACD

10.ACD

11.ABD

12.−40

13.[2,+∞)

14.96

15.解：(1)展开式中第r+1项为Tr+1=Cnrxn−r(−12⋅3x)=(−12)rCnrxn−43r，

所以前三项系数的绝对值依次为Cn0,12Cn1,14Cn2，

依题意有，Cn0+14Cn2=16.解：(1)f′(x)=1x+ax−(a+1)，

f′(1)=1+a−a−1=0，f(1)=0+12a−(a+1)=−12，

解得a=−1．

经过验证a=−1．

(2)a>0，f′(x)=1x+ax−(a+1)

=ax2−(a+1)x+1x=a(x−1a)(x−1)x，

①0<a<1时，1a>1，

∴函数f(x)在(0,1)，(1a,+∞)内单调递增；在(1,117.解：(1)将两个女生捆绑在一起，当作一个元素，与其他4个男生全排列，

则有A22A55=240种排法；

(2)先排4个朗诵节目，共A44种排法，

再排说唱节目，将3个说唱节目插入4个朗诵节目所形成的5个空，

但保证不放到开头，故从剩下4个空中选3个插空，共有A43种排法，

所以一共有A44A43=576种排法；

(3)先分类：①若外科女医生必选，则一组内科4男选1，外科4男选1，

另一组内科3女中选1女，外科3男选2，共有C41C41C31C32=144种方法，18.解：(Ⅰ)由f(x)=asinx−x2可得其定义域为R，且f′(x)=acosx−2x，

所以f″(x)=−asinx−2，

若f(x)在[0,π2]上为“凸函数”可得f″(x)=−asinx−2≤0在[0,π2]恒成立，

当a≥0时，显然符合题意；

当a<0时，需满足−asinπ2−2≤0，可得−2≤a<0；

综上可得a的取值范围为[−2,+∞)；

(Ⅱ)若a=2，可得g(x)=2sinx−x2+1，所以g′(x)=2cosx−2x，

令ℎ(x)=2cosx−2x，则ℎ′(x)=−2sinx−2；

易知ℎ′(x)=−2sinx−2<0在区间(0,π)上恒成立，

因此可得ℎ(x)=g′(x)=2cosx−2x在(0,π)上单调递减；

显然g′(π6)=2cosπ6−2×π6=3−π3>0，

g′(π4)=2cosπ4−2×π4=2−π2<0，

根据零点存在定理可得存在x0∈(π619.证明：(1)记g(x)=x2+(1−x)ex，则只需证g(x)≥1(x≤1)．

g′(x)=2x−ex+(1−x)ex=x(2−ex)，由g′(x)=x(2−ex)>0，得：0<x<ln2．

所以，g(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,ln2)上单调递增，在(ln2,1]上单调递减，

又g(0)=1，g(1)=1，

进而知g(x)的最小值[g(x)]min=1．

故g(x)≥1，即x2+(1−x)ex≥1，

所以当x≤1时，1−(1−x)ex≤x2．

(2)由f(x)=x2