第23讲 抛物线及其标准方程5种常见考法归类原卷版-新高二数学暑假自学课讲义

第23讲抛物线及其标准方程5种常见考法归类1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.知识点1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．②定义的实质可归纳为“一动三定”一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．知识点2抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)注：1、抛物线方程的推导：我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设|KF|＝p(p>0)，那么焦点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线l的方程为x＝－eq\f(p,2).设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M||MF|＝d}．则M到F的距离为|MF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＋y2)，M到直线l的距离为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(p,2)))，所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＋y2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(p,2)))，将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0)．2、p的几何意义是焦点到准线的距离．标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围．3、四个标准方程的区分焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦.（2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.1、求抛物线的标准方程的方法定义法根据定义求p，最后写标准方程待定系数法设标准方程，列有关的方程组求系数直接法建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程注：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．2、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤3、抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．4、求抛物线实际应用的五个步骤考点一：抛物线的标准方程例1．（2022秋·高二课时练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程是；(2)过点；(3)焦点到准线的距离为.变式1．（2023秋·高二课时练习）若抛物线的顶点是原点，准线为直线，则此抛物线的方程为.变式2．（2023·全国·高三专题练习）若抛物线的焦点到准线的距离为，且的开口朝上，则的标准方程为．变式3．（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（

）A． B．或C．或 D．变式4．（2022秋·福建莆田·高二校联考期末）已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，求抛物线C的方程.变式5．（2021秋·高二课时练习）抛物线上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（

）A． B．C． D．变式6．（2022秋·高二单元测试）已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（

）A． B．或C． D．或考点二：根据抛物线方程求焦点或准线例2．【多选】（2022秋·高二课时练习）对抛物线，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为B．开口向右，准线方程为-C．开口向右，焦点为D．开口向上，准线方程为变式1．（2023秋·高二课时练习）抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（

）A． B． C． D．变式2．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（

）A． B． C． D．变式3．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则抛物线C的准线方程为（

）A． B．C．或 D．或变式4．（2023春·福建泉州·高二校联考期中）抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到的图象正好对应抛物线，则（

）A． B． C．1 D．变式5．（2023秋·高二课时练习）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点，其到准线的距离为6，则．变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的的准线与轴交于点，，是的焦点，是上一点，，则.考点三：抛物线定义的应用利用抛物线的定义解决轨迹问题例3．（2019春·安徽芜湖·高二校联考期中）若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．变式1．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知，点到直线的距离比到点的距离大2，记的轨迹为，求的方程；变式2．（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）动点满足方程，则点M的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线变式3．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．利用抛物线的定义求距离或点的坐标例4．（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（

）A． B．1 C． D．变式1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）已知点到点的距离与到直线相等，且点的纵坐标为12，则的值为（

）A．6 B．9 C．12 D．15变式2．（2023秋·广东江门·高二统考期末）已知M是抛物线上的一点且在x轴上方，F是抛物线的焦点，以为始边，FM为终边的角，则等于（

）A．16 B．20 C．4 D．8变式3．（2022秋·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中）已知抛物线：，，为上一点，则取最小值时点的坐标为．与抛物线定义有关的最大(小)值问题例5．（2023春·广东江门·高二校考阶段练习）已知点P到直线与到点的距离相等，点Q在圆上，则的最小值为.变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知F为抛物线的焦点，P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．变式2．（2023春·广东汕头·高二校考期中）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为．变式3．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上一个动点，则的最小值为.变式4．（2022秋·江西萍乡·高三统考期末）点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．变式5．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）为抛物线上一点，其中，F为抛物线焦点，直线l方程为，，H为垂足，则．变式6．（2023·浙江·校联考二模）已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．变式7．（2023·江苏无锡·校联考三模）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为.变式8．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到轴距离之和的最小值是（

）A． B． C． D．变式9．（2023春·四川成都·高二期末）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，点，则周长的最小值为.变式10．（2022·高二课时练习）已知抛物线，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为（

）A．3 B． C． D．考点四：抛物线的轨迹问题例6．【多选】（2023秋·湖南长沙·高二统考期末）已知，，直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为，则（

）A．当时，点的轨迹为除去A，B两点的椭圆B．当时，点的轨迹为除去A，B两点的双曲线C．当时，点的轨迹为抛物线D．当时，点的轨迹为一条直线变式1．（2023·高二课时练习）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程．变式2．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为．变式3．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为.变式4．（2022秋·河南南阳·高二统考期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小1.(1)求点的轨迹方程；(2)求线段中点的轨迹方程.变式5．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知，直线相交于点，且与的斜率之差为2，则的最小值为.考点五：抛物线的实际应用例7．（2023·全国·高二专题练习）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（

）

A． B． C． D．变式1．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（

）A．米 B．米 C．米 D．米变式2．（2023·全国·高三专题练习）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（

）A． B． C． D．变式3．（2023·全国·高三专题练习）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（

）A． B． C． D．1．（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（

）A．7 B．6 C．5 D．42．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．3．（2023·全国·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.4．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．一、单选题1．（2023春·湖南·高二统考期末）已知抛物线上一点到轴的距离是6，则点到该抛物线焦点的距离是（

）A．4 B．6 C．8 D．102．（2023春·广东广州·高二统考期末）已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（

）A． B． C． D．3．（2023春·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期末）已知O为坐标原点，为一个动点．条件p：O，A，三点共线；条件q：动点A在抛物线上，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023秋·云南丽江·高二统考期末）已知椭圆的中心在原点，离心率为且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．5．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知抛物线上一点P到y轴的距离为2，焦点为F，则（

）A．2 B．3 C． D．6．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知抛物线，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一点，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为Q，若，则△PFQ的面积为（

）A．4 B． C． D．7．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知抛物线的焦点为F，点P是C上异于原点O的任意一点，线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为（

）A． B． C． D．8．（2023春·河南开封·高三统考期末）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（

）A．5 B． C．2 D．3二、多选题9．（2023春·湖南益阳·高二统考期末）已知抛物线：焦点为，动直线与曲线交于两点，下列说法正确的是（

）A．抛物线的准线方程为B．若点为，则周长的最小值为11C．若点为，则的最小值为D．设为坐标原点，作于点，则点到的准线的距离的最大值为210．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（

）A．B．C．直线的斜率为D．的面积为11．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（

）A．点的坐标