第15讲 直线的交点坐标与距离公式6种常见考法归类解析版-新高二数学暑假自学课讲义

第15讲直线的交点坐标与距离公式6种常见考法归类1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．2.探索并掌握两点间的距离公式.3.探索并掌握点到直线的距离公式.4.会求两条平行直线间的距离.知识点1两直线的交点坐标1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行注：(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．知识点2两点间的距离公式1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．注：（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关．（2）①当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.②当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.③当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝eq\r(x2＋y2).④当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).⑤已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|，或|P1P2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.知识点3点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))注：（1）应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式．（2）在使用两平行线间距离公式时，两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．（3）若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．（4）已知点P(x0，y0)及直线l上任意一点M，那么点P到直线l的距离|PQ|等于两点间距离|PM|的最小值．（5）点到直线距离的向量表示如图，设n为过点P且垂直于l的单位向量，eq\o(PQ,\s\up7(→))就是eq\o(PM,\s\up7(→))在n上的投影向量，点P到直线l的距离|eq\o(PQ,\s\up7(→))|＝|eq\o(PM,\s\up7(→))·n|.（6）点到直线距离公式的推导如图，平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？方法一：根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，设点P到直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为eq\f(B,A)，∴l′的方程为y－y0＝eq\f(B,A)(x－x0)，与l联立方程组，解得交点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(B2x0－ABy0－AC,A2＋B2)，\f(A2y0－ABx0－BC,A2＋B2)))，∴|PQ|＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).方法二：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点到直线的距离呢？提示eq\o(PQ,\s\up6(→))可以看作eq\o(PM,\s\up6(→))在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的斜率为－eq\f(A,B)，所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量．(1)由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝eq\f(1,\r(A2＋B2))(A，B)．(2)在直线l上任取点M(x，y)，可得向量eq\o(PM,\s\up6(→))＝(x－x0，y－y0)．(3)|PQ|＝|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝|eq\o(PM,\s\up6(→))·n|＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).（7）怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))，因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，因此d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq\f(|－C1＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).1．两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．2．过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)特殊解法(直线系法)：运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．3．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．4．应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．5．求两条平行直线间距离的两种方法(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).注：利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．6．直线的对称问题关于中心对称问题的处理方法：①若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1.))②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在.关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称.若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在l上，且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2).②直线关于直线的对称.此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.考点一：两条直线的交点问题例1．（2023秋·高二课时练习）分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标．(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)相交，交点坐标为(2)不相交(3)不相交【分析】分别联立方程组，解方程求解即可判断.【详解】（1）解方程组，得，所以与相交，交点坐标为．（2）解方程组，方程组无解，所以与无公共点，即与不相交．（3）解方程组，因为方程可化为，所以方程组有无数组解，所以与有无数个公共点，即与不相交．变式1．（2023秋·高二课时练习）已知的顶点，其垂心为，求顶点A的坐标．【答案】．【分析】根据给定条件，求出直线的方程，再解方程组即可作答.【详解】依题意，直线的斜率，而，则直线的方程为，即，直线的斜率，而，则直线的方程为，即，由，解得，所以顶点A的坐标是.变式2．（2023秋·高二课时练习）直线与直线相交，则m的取值范围为__________．【答案】【分析】根据两直线相交的条件即可求解.【详解】因为直线与直线，即相交，所以，解得.所以m的取值范围为.故答案为：变式3．（2023秋·高二课时练习）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】联立方程组求得两直线的交点为，根据题意列出不等式组，即可求解.【详解】由方程组，解得，即两直线的交点坐标为，因为两直线的交点位于第四象限，可得且，解得，即实数的取值范围为.故选：D.变式4．（2023秋·高二课时练习）若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（

）A．20 B．-4 C．12 D．4【答案】A【分析】根据两直线垂直，列出方程求得的值，再由两种的交点为，列出方程组求得的值，即可求解.【详解】由两直线与垂直，可得，即，又由两直线的交点坐标是，可得，解得，所以.故选：A.变式5．（2023秋·高二课时练习）已知直线过直线和直线的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（）A．B．或C．或D．或【答案】C【分析】先求得两直线的交点坐标，根据题意，分直线与两坐标轴的截距不为和直线在两坐标轴的截距等于，两种情况讨论，即可求解.【详解】由方程组，解得，所以两直线的交点坐标为，因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数，当直线与两坐标轴的截距不为时，可设直线的方程为，因为直线过两直线的交点，代入可得，所以直线的方程为；当直线在两坐标轴的截距等于时，设直线的方程为，因为直线过两直线的交点，代入可得，即直线的方程为，综上可得，直线的方程为或.故选：C.变式6．（2023秋·高二课时练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据点与直线的位置关系即可求解.【详解】因为是直线和的公共点，所以，且，所以两点和都在同一条直线上，故两点和所确定的直线方程是，故选:A.变式7．【多选】（2023秋·高二课时练习）已知平面上三条直线，，，若这三条直线将平面分为六部分，则的可能取值为（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】ABC【分析】根据题意，分为三条直线中有两条平行，另外一条与这两条相交和三条直线相交于一点，两种情况讨论，结合两直线的位置关系，即可求解.【详解】（1）当三条直线中有两条平行，另外一条与这两条相交，此时符合题意，若直线与直线平行，可得，此时满足题意；若直线与直线平行，可得，此时满足题意，（2）若三条直线相交于一点，也符合题意，由，解得，即两直线的交点为，将代入直线，可得，综上可得，实数的值为或或.故选：ABC.变式8．（福建省连江第一中学2022-2023学年高二上学期11月期中联考数学试题）已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且．(1)求直线和的交点坐标；(2)已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）由，可得直线的斜率，从而可得，联立方程组即可求得交点；（2）由题意知的斜率k存在，设，求得与坐标轴的交点坐标，再结合面积公式即可求解.【详解】（1）（1）因为，又直线的斜率,所以直线的斜率,则.由所以直线和的交点坐标为.（2）由题意知的斜率k存在，设令得，令得，因为直线与两坐标轴的正半轴相交，所以，解得，，解得或，即或.考点二：两点间的距离公式（一）求两点间的距离例2．（2023秋·高二课时练习）已知三顶点坐标，试求边上的中线的长．【答案】【分析】设点的坐标为，由为的中点，可求出点的坐标，再利用两点间的距离公式可求出的长．【详解】设点的坐标为，因为点为的中点，所以，即点的坐标为．由两点间的距离公式得，所以边上的中线的长为．变式1．（2023秋·高二课时练习）点关于点对称，则________．【答案】【分析】由中点坐标公式得出，再有距离公式求解即可.【详解】由已知得，解得，即，故答案为：变式2．（2023秋·高二课时练习）直线和直线分别过定点和，则|________．【答案】【分析】求出直线、所过定点的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得的值.【详解】将直线的方程变形为，由，可得，即点，将直线的方程变形为，由，可得，即点，所以，.故答案为：.变式3．（2023秋·高二课时练习）设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是，则A与B坐标分别为________，________．【答案】，【分析】设，，利用中点坐标公式得到，进而得到A，B的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可.【详解】设，，因为AB中点，所以，即，，所以，，所以，故答案为：，；.变式4．（2023秋·高二课时练习）已知点与点间的距离为，则________．【答案】9或【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可.【详解】由，得，即，解得或．故答案为：9或.变式5．（2023秋·高二课时练习）在直线上求一点P，使它到点的距离为5，并求直线PM的方程.【答案】或，对应直线PM的方程为或.【分析】利用点在直线上和两点距离建立方程组求解点的坐标，求出斜率，代入点斜式求解直线方程.【详解】设，由题意，解得或，所以或，当时，直线PM的斜率，因此直线PM方程为，即；当时，直线PM的斜率，因此直线PM方程为，即.例3．（江西省八所重点中学2023届高三下学期3月联考数学（理）试题）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值.【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，所以，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，所以的最小值是4，故选：B.变式1．（2023秋·高二课时练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案.【详解】,可以看作点到点的距离之和，作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值，最小值为间的距离.故选：D.变式2．（四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期5月月考理科数学试题）设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是______．【答案】10【分析】根据直线过定点可得的坐标，进而利用两直线垂直可得勾股定理，结合不等式即可求解最值.【详解】由得，故,由得,由于直线与直线互相垂直，所以,故所以,当且仅当时取等号，故的最大值是10故答案为：10变式3．（山东省临沂市平邑县第一中学2022-2023学年高二10月月考数学试题）已知两点，动点在线段AB上运动，则的范围是________，的范围是________.【答案】【分析】画出图象，结合斜率以及两点间的距离公式、点到直线的距离公式求得正确答案.【详解】，表示线段上的点与点连线的斜率（），，结合图象知：的取值范围是.表示线段上的点与点连线的距离的平方，，直线的方程为则，到直线的距离为所以的范围是.故答案为：；（二）判断三角形、四边形的形状例4．（江苏省镇江市2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题）已知，，，则是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】根据两点间的距离公式计算出，，的长度即可判断【详解】，，，，，，，是直角三角形．故选：A．变式1．（2023秋·高二课时练习）已知点，判断的类型.【答案】等腰三角形【分析】根据两点间距离公式求出，再求出可得答案.【详解】∵，，，∴，且三边不满足勾股定理，∵，∴，∴三点不共线，∴是等腰三角形．变式2．（2023秋·高二课时练习）已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），则四边形ABCD是（

）A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形【答案】A【分析】利用斜率判断直线是否平行，利用两点间距离公式判断线段是否相等.【详解】由A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），有，，则，，，，所以四边形ABCD是梯形.故选：A.（三）求三角形、四边形的周长、面积例5．（重庆实验外国语学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题）在平面直角坐标系xoy中，．(1)求的面积；(2)判断四点是否在同一个圆上？并说明理由．【答案】(1)(2)四点不在同一圆上，理由详见解析【分析】（1）根据三角形的面积公式求得的面积.（2）先判断过三点的圆的直径，再根据的大小确定正确答案.【详解】（1），所以，所以，所以的面积为.（2）四点不在同一圆上，理由如下：由于，所以过三点的圆（设为圆）的直径是，由（1）知是等腰直角三角形，且，所以不是圆的圆周角，所以四点不在同一圆上.变式1．（辽宁省协作校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题）已知正方形的中心为坐标原点，点的坐标为（2，1），点在第四象限.(1)求正方形的面积;(2)求直线和的方程.【答案】(1)(2)直线AB的方程为，直线的方程为【分析】（1）由两点间距离公式与正方形面积公式求解，（2）由垂直关系与待定系数法得点坐标，再求解点斜式方程，【详解】（1）由题意知，所以正方形ABCD的边长为，所以正方形ABCD的面积．（2）因为AC所在直线的方程为，且，所以BD所在直线的方程为．设点B的坐标为，，因为，所以，解得，所以点B的坐标为，所以直线AB的方程为，即，因为，所以直线的方程为，即．变式2．（2023秋·高二课时练习）已知直线l过点，且分别与x，y轴正半轴交于A，B两点.O为坐标原点.(1)当面积最小时，求直线l的方程；(2)当值最小时，求直线l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）设直线l，分别令得出坐标，然后得到面积表达式，利用基本不等式求得最值，即可得到此时斜率，即得到直线方程.（2）计算出，得到表达式，利用基本不等式得到最值，即可得到此时斜率，即得到直线方程.【详解】（1）由题意得斜率设l，令，则，令，，则，所以当且仅当，即（因故正值舍去）时等号成立.故直线l的方程为，即.（2），因为当且仅当，即1时等号成立.又，故故直线l的方程为即考点三：点到直线的距离例6．（上海市青浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题）点到直线的距离为__________．【答案】【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.故答案为：.变式1．（2023秋·高二课时练习）已知到直线的距离等于4，则a的值为__________．【答案】10或【分析】利用点到直线距离公式可直接构造方程求得a的值．【详解】由到直线的距离等于4，则，解得或．故答案为：10或．变式2．（2023秋·高二课时练习）过点且和的距离相等的直线方程是_________．【答案】或【分析】当斜率不存在时，验证不满足条件；当若斜率存在时，设直线方程为，利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解.【详解】若斜率不存在时，过点的直线为，此时不满足条件；若斜率存在时，设过点的直线，即．根据题意，可得，解得或，当时，直线方程为，当时，直线方程为综上可得，直线方程为或．故答案为：或例7．（2023秋·高二课时练习）若点在直线上，为坐标原点，则的最小值是（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】求出点O到直线的距离即得解.【详解】∵点在直线上，O为坐标原点，的最小值是点O到直线的距离．故选：B．变式1．（福建省石狮市永宁中学2022-2023学年高二上学期第一次阶段考数学试题）已知，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出原点到已知直线的距离作答.【详解】表示原点与直线上的点的两点间距离，所以的最小值是原点到直线的距离.故选：D变式2．（2023秋·高二课时练习）直线过定点___________，原点到直线l的距离的最大值为___________.【答案】【分析】将化为可得直线所过定点；由第一空答案结合图形，可得原点到直线l的距离的最大值.【详解】由可得，则，得，故l过定点；如图，设定点为A，当时，原点到直线l的距离的最大.理由如下：设为过A点的除l外的一条直线，其到原点距离如图为，因为直角三角形，则.故当且仅当时，原点到直线l的距离的最大.此时最大距离为.故答案为：；.变式3．（2023秋·高二课时练习）已知点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点的坐标是，则线段AB垂直直线时，线段AB最短，根据两直线垂直的斜率关系即可求解.【详解】因为点在直线上运动，所以可设点的坐标是，当线段AB垂直直线时，线段AB最短，由直线得其斜率为-1，则，得，所以的坐标是.故选：A变式4．（重庆市第十一中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】本题首先求出，然后发现直线：恒过定点，由图可得点到直线：距离的最大值可转化为点与点的距离.【详解】由题意知，直线：恒过定点，直线：恒过定点，如图所示，过作的垂线段，垂足为，那么必有，当且仅当与重合时取等号，从而的最大值为，即点到直线：距离的最大值是.故选：D.

考点四：两平行线间的距离例8．（2023秋·高二课时练习）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（

）．A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】根据两直线平行求出参数的值，再将直线方程化为、对应系数一致，最后利用距离公式计算可得.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得，所以直线，即，即，所以两平行线之间的距离.故选：B变式1．（2023秋·高二课时练习）已知直线，且∥．(1)求的值；(2)求两平行线与之间的距离．【答案】(1)1(2)【分析】（1）由两直线平行，可得，从而可求出的值；（2）先将直线变形后，再利用两平行线间的距离公式可求得结果.【详解】（1）因为直线，且∥，所以，解得（2）由（1）知的方程为，即，所以与之间的距离为．变式2．（2023秋·高二课时练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案.【详解】，由，解得，故过定点．，由，解得，故过定点，故，距离的最大值为．此时，，则，，解得，故．故选：C．变式3．（2023秋·高二课时练习）已知直线l到两条平行直线与的距离相等，则直线l的方程为__________．【答案】【分析】由平行直线系设直线的方程，由平行线间的距离公式列式求解即可．【详解】解：依题意设直线的方程为，，则，即，解得，所以直线的方程为．故答案为：变式4．（2023秋·高二课时练习）若两条平行直线与之间的距离是，则__________．【答案】3【分析】由两直线平行列方程求出，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值，从而可求出结果.【详解】因为直线与平行，所以，解得且，所以直线为，直线化为，因为两平行线间的距离为，所以，得，因为所以，得，所以，故答案为：3变式5．【多选】（2023秋·高二课时练习）与直线平行且到的距离等于的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用平行线间的距离公式即可求解.【详解】设所求直线方程为，由题意得，解得：或，故所求直线方程为：或.故选：AB.变式6．（2023秋·高二课时练习）已知直线l经过点，且被两平行直线和截得的线段之长为5．则直线l的方程为_________．【答案】或【分析】设出直线与直线的交点坐标，根据给定条件列式探求两个交点坐标间的关系，求出直线方程作答.【详解】设直线与直线分别交于点，则，两式相减得：，而，即，解得或，由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意，由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意，所以直线l的方程为或.故答案为：或

变式7．（上海财经大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）若直线被两平行线与所截得的线段的长为2，则直线的倾斜角为______．【答案】或【分析】根据两平行线间的距离与2的比较可得直线和两平行线的夹角为60°，再根据倾斜角的关系求解即可．【详解】设直线与两平行线的交点分别为，过点作的垂线，垂足为，如图，两平行线间的距离，则，又，所以直线与两平行线的夹角满足，则，因为两平行线斜率为，所以倾斜角为，所以直线的倾斜角为或．故答案为：或．变式8．（2023秋·高二课时练习）若动点，分别在直线和直线上移动，求线段的中点到原点的距离的最小值为________．【答案】【分析】由题意线段的中点的集合为与直线和直线距离相等的直线，记为，则到原点距离最小值为原点到的距离，结合点到直线的距离公式可求．【详解】由题意线段的中点的集合为与直线和直线距离相等的直线，记为，则到原点距离最小值为原点到的距离，设直线，则，解得，所以，根据点到直线的距离公式可得，到原点的距离的最小值为．故答案为：．考点五：距离的综合应用例9．（上海市上海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题.【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意；所以直线斜率存在设为，则直线方程为，联立直线得：，联立直线得：，，所以直线与直线，直线的交点为：，又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分，所以，解得：，所以直线的方程为：，故选：B.变式1．（上海师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期3月第二次月考数学试题）已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为______.【答案】【分析】作出图象，易知，则然后易求得当时，此时可过作直线与垂直，易知得的方程，然后在上，直线，之间找点，使得到的距离等于点到的距离，此时最小距离和即为，由此求解．【详解】易知，作出图象如下，过点作直线，则，直线，过作直线，与直线交于点，易知四边形为平行四边形，故，且到直线的距离等于到的距离，设，则，解得或（舍，所以，而，且（定值），故只需求出的最小值即可，显然，故的最小值为．故答案为：．变式2．（山东省菏泽市郓城县郓城第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题）已知三条直线；，，：，且原点到直线的距离是．(1)求a的值；(2)若，能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的2倍；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由．【答案】(1)(2)存在理由见详解.【分析】（1）利用原点到直线的距离是求解即可；（2）假设存在满足三个条件的点，然后根据三个条件联立解出即可.【详解】（1）因为原点到直线的距离是，即所以（2）若，由（1）得，所以设存在点满足题意，则：点到的距离是点到的距离的2倍有即

①点到的距离与点到的距离之比是

②

③联立①②③解的：故存在满足上述三个条件的点变式3．（上海市青浦区2023届高三上学期9月月考数学试题）在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为___________.【答案】8【分析】由已知可知两直线，取在的右侧时，分别过作两直线的垂线，结合几何性质确定点轨迹，即可求得的最大值,其他位置同理可得．【详解】若动点到两直线和的距离之和为，交点为的斜率分别为，则，在的右侧时，过分别向引垂线，垂足分别为，那么，过作轴的平行线，与交点为如图，则，所以，其它位置同理，那么点轨迹为正方形，当在时，取得最大值，即取得最大值8.故答案为：8．变式4．（河北省邢台市第二中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题）过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.【详解】动直线化为，可知定点，动直线化为，可知定点，又所以直线与直线垂直，为交点，.则，当且仅当时，等号成立.即面积的最大值为2.故选：C.考点六：直线的对称问题例10．（2023秋·高二课时练习）设点关于直线的对称点为，则点的坐标为_____________，过点且与直线垂直的直线方程为_______________.【答案】【分析】先利用对称的性质得到关于的坐标的方程组，解之即可求得点的坐标；再利用直线垂直的性质，结合待定系数法即可得解.【详解】依题意，设，则，解得，即点Q的坐标为，设与直线垂直的直线方程为，将代入该式，得，故，所以所求直线方程为.故答案为：；.变式1．（2023秋·高二课时练习）若点关于直线对称，则_________；__________．【答案】42【分析】根据给定条件，利用轴对称的性质列出方程组，解方程组即可作答.【详解】依题意，直线的斜率为，线段的中点，于是，整理得，解得，所以.故答案为：4；2变式2．（上海财经大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）直线关于点对称的直线的一般式方程为______．【答案】【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案.【详解】设对称直线为，根据点到两条直线的距离相等，则有，即，解得（舍）或.所以对称直线的方程为.故答案为：.变式3．（2023秋·高二课时练习）试求直线关于直线对称的直线l的方程．【答案】.【分析】求出直线的交点坐标，再在直线取点，并求出该点关于直线对称点坐标即可求解作答.【详解】由，解得，即直线交于点，显然点在直线上，在直线上取点，设该点关于直线对称点，则，解得，点在直线上，因此直线的斜率，所以直线的方程为，即.

变式4．（2023秋·高二课时练习）已知中，，边上的高线方程为，角A平分线方程为，求，边所在直线方程．【答案】：，：【分析】由的斜率求出的斜率，利用点斜式求出的方程，依题意与关于轴对称，设，又点A在直线上，代入求出，即可求出直线的方程，从而求出直线的方程．【详解】因为边上的高线所在直线的方程为，则，．边所在直线方程为．即．的平分线所在直线方程为，则与关于轴对称，设．又点在直线上，，．，点的坐标为．直线方程为：．即，又与关于轴对称，所以直线的方程为，所以直线的方程为：，直线的方程为：．

变式5．（2023秋·高二课时练习）已知直线的方程为.（1）若直线和直线关于点对称，求直线的方程__________；（2）若直线和直线关于直线对称，求直线的方程__________.【答案】.【分析】根据题意，由点关于点对称的点在直线上，列出方程即可得到结果；由题意可得直线与直线的交点，求出关于直线对称的点为，即可得到直线方程.【详解】因为直线和直线关于点对称，在直线上任取一点，则关于点对称的点在直线上，将点代入直线可得，所以直线的方程为；设直线与直线的交点为，所以，解得，则，在直线上取点，设关于直线对称的点为，则①因为与的中点坐标为，所以②由①②可得，所以因为直线和直线关于直线对称，所以直线经过点和点，所以直线的两点式方程为，整理得直线的一般式方程为.故答案为:;.变式6．（2023秋·高二课时练习）一条光线从点发出，经过轴反射，反射光线经过点.(1)求反射光线所在的直线方程；(2)求反射光线所在直线与坐标轴所围成的三角形面积的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可得反射线所在直线经过点关于轴的对称点，结合题意由两点即可求解方程；（2）分别求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）光线的反射线是轴，反射线所在直线经过点关于轴的对称点，而直线的斜率，可得直线的方程为，化简得.（2）在直线中令，得，可得直线交轴于点，在直线中，令，得，可得直线交轴于点，所以反射光线所在直线与坐标轴所围成的三角形面积的大小.变式7．（2023秋·高二课时练习）已知点，在直线和轴上各找一点和，使的周长最小，并求出和两点的坐标．【答案】，【分析】求出点关于直线的对称点，轴的对称点点坐标，求出直线的方程，分别求出直线与直线、轴的交点坐标即为、点坐标.【详解】由题可得，设点关于直线的对称点，则，解得，即，点关于轴的对称点，则直线的方程为，即.当、分别为直线与直线、轴的交点时，的周长最小.令，得到直线与轴的交点.由，解得，所以直线与直线的交点为.故点，即为所求.1．原点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式，求得所求的距离.【详解】由点到直线距离可知所求距离.故选：D【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.2．若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是_____(写出所有正确答案的序号)．【答案】①⑤【分析】先求两平行线间的距离为，结合题意直线m被两平行线所截得的线段的长为得到直线m与两平行线的夹角为30°，再根据已知直线的倾斜角进行求解．【详解】因为，所以直线，间的距离．设直线m与直线，分别相交于点B，A，则，过点A作直线l垂直于直线，垂足为C，则，则在中，，所以，又直线的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为或．故答案为：①⑤．3.直线关于x轴对称的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设点，求出对称点，得出关系.【详解】设为直线关于x轴对称的直线方程上任意一点，则关于x轴对称的点在直线上，即有，满足直线方程，即，

化简得，.故选：C.4.如果直线与直线关于直线对称，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出，然后在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出.【详解】在上取一点，则由题意可得其关于直线的对称点在上，所以，得，在上取一点，则其关于直线的对称点在上，所以，得，综上，故选：A5.直线关于点对称的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，则其关于点对称的点的坐标为，因为点在直线上，所以即.故选：D.1．（2023秋·高二课时练习）已知点，，则A，B两点的距离为（

）A．25 B．5C．4 D．【答案】B【分析】由两点间的距离公式求解即可.【详解】由两点间的距离公式得．故选：B.2．（2023秋·高二课时练习）点（1，-1）到直线x-y+1=0的距离是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断点（1，-1）不在直线上，再利用点到直线的距离求解即可.【详解】由题意得点（1，-1）不在直线上，所以点（1，-1）到直线的距离为．故选：D．【点睛】本题主要考查点到直线的距离的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3．（2023秋·高二课时练习）直线与直线的交点坐标是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【答案】C【分析】解方程组即可得解.【详解】解方程组得，即直线与直线的交点坐标是(0,2)．故选：C.4．（2023秋·高二课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出两直线的交点坐标，根据交点位于第一象限列式求出的范围，可得倾斜角的取值范围.【详解】当时，两直线平行，无交点，不合题意，故，由，得，则两直线的交点为，依题意得，解得，所以直线l的倾斜角的取值范围是.故选：B5．（广东省深圳市福田区红岭中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题）已知点到直线的距离为，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.【详解】解：由题意得．解得或．，．故选：C.6．（河南省南阳市六校2022-2023学年高二下学期第二次联考数学试题）若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（

）A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2【答案】A【分析】根据直线平行，求得的值，结合两平行线的距离公式，即可求解.【详解】因为两直线：，：平行，可得且，解得或，当时，，，即，可两平行线间的距离为，符合题意；当时，，，即，可两平行线间的距离为，不符合题意，舍去.故选：A.7．（广西壮族自治区河池市2022-2023学年高二上学期2月期末数学试题）已知直线，相互平行，则、之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两直线平行得到关于a的方程，求出的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为直线，相互平行，所以，解得，所以，即，所以、之间的距离.故选：A.8．（2023秋·高二课时练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为（

）A． B．或 C．或 D．【答案】C【分析】由距离公式，解方程得出a的值.【详解】由距离公式可得，，即解得或.故选：C9．（2023秋·高二课时练习）已知，点C在x轴上，且，则点C的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，因为，由两点间的距离公式求解即可.【详解】因为点C在x轴上，设点，则，所以，化简可得：，所以.故选：D.10．（2023秋·高二课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【分析】先求得两直线的交点坐标，再根据题意列出不等式组，求解即可.【详解】联立得，因为直线与直线的交点位于第一象限，所以，解得.故选：D11．（2023秋·高二课时练习）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案.【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，若平行，则，即；若平行，则，即无解；若平行，则，即；若三条直线交于一点，，可得或；经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个.故选：B12．（2022秋·高二单元测试）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】联立两直线方程，求出交点坐标，再依题意得到不等式组，解得即可.【详解】联立方程组，解得，因为直线与直线的交点在第一象限，所以，解得，所以，即实数的取值范围是.故选：A二、多选题12．（安徽省池州市第一中学等2校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题）已知直线，则下列说法正确的是（

）A．直线与直线l相互平行 B．直线与直线l相互垂直C．直线与直线l相交 D．点到直线l的距离为【答案】ACD【分析】对于选项ABC，根据直线与直线位置关系的判断方法，逐一对各个选项分析判断即可判断出选项ABC的正误；对于选项D，直接利用点到线的距离公式即可得到结果.【详解】因为直线，斜率，纵截距为，选项A，因为直线，斜率为，纵截距为，所以，，故直线相互平行，故A正确；选项B，因为直线，斜率为，所以，故直线相交但不垂直，故B错误；选项C，由，解得，所以直线的交点为，故C正确；选项D，根据点到直线的距离的公式知，到直线l的距离，故D正确；故选：ACD.13．（吉林省辽源市田家炳高级中学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题）下列四个命题中真命题有（

）A．直线在轴上的截距为B．经过定点的直线都可以用方程表示C．直线必过定点D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是【答案】CD【分析】利用截距的定义可判断A选项；取垂直于轴的直线的方程可判断B选项；求出直线所过定点的坐标可判断C选项；利用两直线平行求出的值，再利用平行线间的距离公式可判断D选项.【详解】对于A选项，直线在轴上的截距为，A错；对于B选项，经过定点且垂直于轴的直线的方程为，B错；对于C选项，对于直线方程，由可得，所以，直线必过定点，C对；对于D选项，若直线与直线平行，则，解得，故两直线方程分别为、，这两平行直线间的距离为，D对.故选：CD.14．（安徽省滁州市实验中学等2校2022-2023学年高二上学期1月期末联考数学试题）已知直线：，：（），则（

）A．直线过定点 B．当时，C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为3【答案】ABD【分析】将直线变形为，即可求解定点坐标，进而可判断A，根据两直线垂直和平行满足的系数关系即可代入值求解BC,根据两平行线间距离公式可判断D.【详解】：（）变形为，由则因此直线过定点，故A正确；当时，：，：，所以，故两直线平行，故B正确；当时，：，：，因为，故两直线不垂直，故C错误；当时，则满足，解得，此时：，：，即，则两直线间的距离为，故D正确．故选：ABD．15．（辽宁省丹东市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知直线，则下列表述正确的是（

）A．当时，直线的倾斜角为B．当实数变化时，直线恒过点C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1D．直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4【答案】ABD【分析】A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；B选项，将直线方程整理为，由此可得直线所过定点；C选项，由题可得，后由平行直线距离公式可判断选项；D选项，分别令，可得直线与轴，x轴交点为，.则围成三角形面积为，后由基本不等式可判断选项.【详解】A选项，当时，直线方程为，可得直线斜率为1，则倾斜角为，故A正确；B选项，由题可得，则直线过定点，故B正确；C选项，因直线与直线平行，则，则直线方程为：，即.则与直线之间的距离为，故C错误；D选项，分别令，可得直线与轴，x轴交点为，.又交点在两坐标轴正半轴，则.故围成三角形面积为，当且仅当，即时取等号.即面积最小值为4，故D正确.故选：ABD.三、填空题16．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）直线与直线平行，则__________.【答案】2【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解.【详解】法一：两直线平行，则；法二：两直线平行，，则,故答案为：.17．（2023秋·高二课时练习）