高中数学《标准差》导学案

第2课时标准差

卜课前自主预习

1.标准差的求法

标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用S表示，s=叵]

^[(Xl—X)2+(X2—X)2H--------F(xn—X)2].

其中，尤4=1,2,…，〃)是图样本数据,〃是图样本容量,一是画样本

平均数.

2.方差的求法

标准差的平方$2叫做方差.

$2=|Q5|^[(XI—X)2+(X2-Xy+…+(x”-X)2].

3.标准差、方差描述样本数据的特征

方差反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表

示的波动幅度常用标准差，即样本方差的算术平方根.

鼠]自诊小测

1.判一判(正确的打"，错误的打"X")

(1)方差越大，数据的稳定性越强.()

(2)在两组数据中，平均值较大的一组方差较大.()

(3)方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和.()

(4)平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小.()

答案⑴X(2)X(3)X(4)V

2.做一做

(1)下列说法不正确的是()

A.方差是标准差的平方

B.标准差的大小不会超过极差

C.若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0

D.标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，

表明各个样本数据在样本平均数周围越分散

答案D

解析标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越

大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散.

(2)(教材改编P82T6)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：

7,8,7,9,5,4,950,7,4.

则：①平均命中环数为;

②命中环数的标准差为.

答案①7②2

解析①x=*X(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7.

(2)?=^X[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2

+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,S=2.

(3)样本中共有五个个体，其值分别为1,2,3,若该样本的平均值为1,则

样本方差为.

答案2

解析由题意知]X(a+0+l+2+3)=l,解得。=—1.

所以样本方差为?=|X[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=

卜课堂互动探究

探究1样本的标准差与方差的求法

例1从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：

甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；

乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40；

试计算甲、乙两组数据的方差和标准差.

[解]x(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=30,

s帝==X[(25-30)2+(41-30)2H---F(42-30)2]=104.2,

s甲==104.2=10.208.

x^=-^X(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=31,

同理比=128.8,

s乙="28.8=11.349.

拓展提升

对标准差与方差概念的理解

(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，

数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.

(2)标准差、方差的取值范围：[0,+°°).

标准差、方差为。时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没

有离散性.

(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以

虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时,

一般多采用标准差.

【跟踪训练1]某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情

况如下所示：

组另U平均数标准差

第一组904

第二组806

求这次考试成绩的平均数和标准差.

注：标准差S=yJ(Kxi-X)2H----|-(口-X)2]'

、=勺-----1-忌)一〃X2],

解设第一组数据为XI,光2,…，X20,第二组数据为X21,X22,…，X40,全

班平均成绩为X.

90X20+80X20

根据题意,有X=85,

40

42=^(H+x当H----Fx2o-2OX9O2),

62=2Q(A31+&+…+品一20X802),

.,.X?+^+-+X?O=2OX(42+62+9O2+8O2)=291O4O.

1——

再由变形公式，得----40x2)

=表(才+量-|---Fx4o—40X852)

=木X(291040-289000)=51,

/.5=^51.

探究2样本标准差、方差的实际应用

例2某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8

次测试成绩记录如下：

甲：9582888193798478

乙：8392809590808575

试比较哪个工人的成绩较好.

—1

[解]x单=0X(78+79+81+82+84+88+93+95)=85,

三乙=袅(75+80+80+83+85+90+92+95)=85.

O

4=|x[(78一85>+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88一

O

85)2+(93-85)2+(95-85)2]=35.5,

[(75-85产+(80-5)2+(g-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90—

O80

85)2+(92—85)2+(95—85)2]=41.

•X甲=X乙，端,

.♦.甲的成绩较稳定.

综上可知，甲的成绩较好.

拓展提升

比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准差这两个方面考虑.其

中标准差与样本数据单位一样，比方差更直观地刻画出与平均数的平均距离.

【跟踪训练2】从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对

他们的射箭水平进行测试.现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环

数如下：

甲897976101086

乙10986879788

(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；

(2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛.

解(1)根据题中所给数据，可得甲的平均数为

—1

xT=-^jX(8+9+74-9+7+6+10+10+8+6)=8,

—1

乙的平均数为x(10+9+8+64-8+7+9+7+8+8)=8,

甲的标准差为5单=义[(8—8/+(9—8)2+…+(6—8)2]=啦,

乙的标准差为S乙=橘2(1。_8)2+(9-8)2+…+(8-8)2］=呼,

故甲的平均数为8,标准差为啦，乙的平均数为8,标准差为等.

(2)VT^=7L,且s甲＞s乙，.•.乙的成绩较为稳定，故选择乙参加射箭比赛.

探究3标准差、方差的图形分析

例3样本数为9的四组数据，他们的平均数都是5,条形图如下图，则标

准差最大的一组是()

456数据

第一组第二组

频率

().5

0.4

0|

34567数据58数据

第三组第四组

A.第一组B.第二组C.第三组D.第四组

［答案］D

［解析］第一组中，样本数据都为5,数据没有波动幅度，标准差为0；第二

组中，样本数据为4,4,455,5,6,6,6,标准差为坐;第三组中，样本数据为

3,3,4,4,5,66,7,7,标准差为茅；第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8,标准差

为2加,故标准差最大的一组是第四组.

拓展提升

由图形分析标准差、方差的大小

从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性

都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义可以直观得到答

案.

【跟踪训练3】甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条

形统计图如图所示，则()

频数

甲

频数

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

答案C

解析由题图可得，甲的成绩为4,5,6,7,8,乙的成绩为5,5,5,6,9,所以甲、

乙的成绩的平均数均是6,故A不正确；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5,故

B不正确；甲、乙的成绩的极差都是4,故D不正确；甲的成绩的方差为］XQ2X2

+12X2)=2,乙的成绩的方差为1X(12><3+32)=2.4.故C正确.

速㈱外1----------------

f---------------------1

1.极差'方差与标准差的区别与联系

数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述.

(1)极差是数据的最大值与最小值的差.它反映了一组数据变化的最大幅

度，它对一组数据中的极端值非常敏感.

(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小.为了得到以样本数据的

单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到

平均数的一种平均距离.

注意：标准差比方差多开一次方，但它的度量单位与原始数据一致，有时

用它比较方便，但方差计算容易些，其作用是完全一样的.

2.平均数与标准差在估计总体时的差异

(1)平均数提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使人对总体作

出片面的判断，样本中的最大值和最小值对平均数的影响较大，所以平均数有

时难以概括样本数据的实际状态.

(2)当样本的平均数相等或相差无几的时候，就要用样本数据的离散程度来

估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度，就由标准差来衡量.

(3)标准差反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度.标准差越

小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，表明各个样本数据

在样本平均数的周围越分散.

3.方差的常用性质

(1)数据xi,X2,X”与数据xi+a,xi+a,•••,x”+a的方差相等.

(2)若X”Xi,…，X"的方差为$2,那么ar”ox2,…，ax”的方差为a2s2.

I随堂达标自测T、

1.下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是()

A.平均数B.中位数C.方差D.众数

答案C

解析由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度.

2.样本数据2,4,6,8,10的标准差为()

A.40B.8C.2®D.26

答案D

解析7=1X(2+4+6+8+10)=6,则标准差为

^|X[(2-6)2+(4-6)2+(6-6)2+(8-6)2+(10-6)2]=2V2.

3.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和

方差如下表所示：

甲乙丙T,

平均环数三8.38.88.88.7

方差S23.53.62.25.4

1

若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是

.(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)

答案丙

解析分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小,

说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙.

4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,54,5.5,则该组数据的方差是

答案0.1

解析这组数据的平均数

4.7+4.8+5.1+5.44-5.5⑴,

x---------z---------=5.1,则万差$2:

(4.7—5.1)2+(4.8—5.1)2+(5.1—5.1)2+(5.4—5.1)2+(5.5—5.1)2

5

0.16+0.09+0+0.09+0.16

=5=0.1.

5.甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取

6件测量，数据为：

甲：9910098100100103

乙：9910010299100100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.

——]

解(l)x甲=6义(99+100+98+100+100+103)=100,

—1

x^=^X(99+100+102+99+100+100)=100.

22222

4=1X[(99-100)+(100-100)+(98-100)+(100-100)+(100-100)

7

+(103—100)2]=],

[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2

+(100-100)2]=l.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，

又sl>sl,

所以乙机床加工零件的质量更稳定.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.与原数据单位不一样的是()

A.众数B.平均数C.标准差D.方差

答案D

解析由方差的意义可知，方差与原数据单位不一致.

2.为评估一种农作物的种植效果，选了〃块地作试验田，这〃块地的亩产

量(单位：kg)分别为阳，尤2,…，X”，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物

亩产量稳定程度的是()

A.XI,X2,…，沏的平均数B.XI,X2,…，X"的标准差

C.XI,X2,…，X"的最大值D.XI,X2,…，X"的中位数

答案B

解析平均数和中位数都能反映一组数据的集中趋势，而且平均数能反映一

组数据的平均水平；标准差和方差都能反映一组数据的稳定程度.

3.某公司10位员工的月工资(单位：元)为XI,X2,…，X10,其平均数和方

差分别为X和S2,若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下

月工资的平均数和方差分别为()

A.T,52+1002B.7+100,52+1002

C.T,s1D.T+100,52

答案D

解析解法一：因为每个数据都加上100,所以平均数也增加100,而离散

程度保持不变，即方差不变.

—1——

解法二：由题意知X1+X2-I-----Fxio=lOX,^2=J^X[(X1—X)2+(%2—x)2

——1

2

H---F(xio-x)],则所求平均数y=y^X[(%,+100)+(x2+100)H----l-(xio+

1——

100)]=-^X(10x+10X100)=x+100,

1———

所求方差为正X[(xi+100—y)2+(X2+100—y)24---卜(xio+100—y)2]=

1———

[jjX[(XI—X)2+(X2—X)2H-----F(XIO—X)2]=$2.

4.一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都

加上60,得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是()

A.57.2,3.6B.57.2,56.4

C.62.8,63.6D.62.8,3.6

答案D

解析每一个数据都加上60,所得新数据的平均数增加60,而方差保持不

变.

5.如图，样本A和3分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为

C.XA>XB9SA<SBD.XA<XB,SA<SB

答案B

解析由题图知，A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5,2.5,10；8组的6个数分

别为15,10,12.5,10,12.5,10,

2.5+10+5+7.5+2.5+1025

所以

XA—6一4，

15+10+12.5+10+12.5+1035

x8=A=V•

显然XA<xB.

又由图形可知，5组数据的分布比4组的均匀，变化幅度不大，故8组数据

比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以SA>S&

二'填空题

6.一组数据2,尤,4,6,10的平均值是5,则此组数据的标准差是.

答案2啦

解析・・・一组数据2,九46,10的平均值是5,・・.2+1+4+6+10=5乂5,解

得x=3,二此组数据的方差?=|X[(2-5)2+(3-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(10-

5月=8,.•.此组数据的标准差5=26.

7.下列四个结论，其中正确的有.

①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等；

②如果一组数据中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变,

方差不改变；

222

③一个样本的方差是?=^[(XI-3)+(X2-3)+-+(X20-3)],则这组样本

数据的总和等于60；

④数据ai,。2,。3,…，④的方差为前，则数据2al,2a2,2g3,…，2a”的方差

为4岸.

答案①②③④

解析对于①，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相

等，都等于今.•.①正确；

对于②，一组数据中每个数减去同一个非零常数。，这一组数的平均数变为

x—a,方差52不改变，.•.②正确；

对于③，一个样本的方差是$2=系[(无]—3)2+(%2—3)2+~+(回)一3)2],，

这组样本数据有20个数据，平均数是3,...数据总和为3X20=60,.•.③正确；

对于④，数据ai,<22,。3，…,。”的方差为乐，则数据2a1,2a22a3,…，2an

的方差为(2力2=4岸，.•.④正确.

综上，正确的是①②③④.

8.若40个数据的平方和是56,平均数是坐,则这组数据的方差是,

标准差是.

答案0.9嚅

解析设这40个数据为xj(i=l,2,…，40),平均数为x.

则[(xi-x)2+(X2-x)2H---F(X4O-x)2]

=亲X[x彳+x3+…+x船+40x2—2x(xi+X2++X40)]=表

X56+40义惇)—2X乎X40X明

(56-40Xg)=0.9.

••・$=标=/=嚅.

三'解答题

9.某校高一(1)、(2)班各有49名学生，两班在一次数学测试中的成绩统计

如下表：

班级平均分众数中位数标准差

高一⑴班79708719.8

高一(2)班7970795.2

(1)请你对下面的一段话给予简要分析：

高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为79

分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了”；

(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议.

解(1)由高一(1)班成绩的中位数是87分可知，85分排在25位以后，从位

次上讲并不能说85分在班里是上游，但也不能从这次测试上来判断学习的好坏，

小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握得较好，从掌握的学习内容上

讲也算是上游.

(2)高一(1)班成绩的中位数是87分，说明高于87分的人数占一半左右，而

平均分为79分，标准差又很大，说明低分者也多，两极分化严重，建议对学习

差的学生给予帮助.

高一(2)班成绩的中位数和平均数都是79分，标准差较小，说明学生成绩之

间的差别也较小，学习差的学生较少，但学习优秀的学生也很少，建议采取措施

提高优秀学生