2025届新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.2圆的一般方程课件新人教A届选择性必修第一册

2．4圆的方程2.4.2圆的一般方程素养目标•定方向

1．掌握圆的一般方程及其特点．(重点)2．会将圆的一般方程化为圆的标准方程，会由一般式求圆心和半径．(易混点)3．能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程．(重点、难点)

1．通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养．2．通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.必备知识•探新知

方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形知识点1方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0变形为：(1)当D2＋E2－4F>0时，方程表示圆，圆心为____________，半径为________________.(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点__________________.(3)当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形．提醒：一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.做一做：1.圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标是__________，半径长是______.[解析]

方程x2＋y2－6x＝0可化为(x－3)2＋y2＝9，则圆心坐标为(3,0)，半径长为3.2．方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是_________________.[解析]

由x2＋y2－2x＋2k＋3＝0得(x－1)2＋y2＝－2k－2，因为方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，所以－2k－2>0，解得k<－1.(3,0)3(－∞，－1)圆的一般方程知识点2(1)方程：当__________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．(2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．D2＋E2－4F>0

思考：(1)圆的一般方程有什么特征？(2)如果点P(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，那么应满足什么关系式？圆外呢？做一做：1.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝______.[解析]

以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4.2．已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心C(5,0)，则圆C的半径r＝_____.[解析]

由x2＋y2＋2ax＋9＝0得(x＋a)2＋y2＝a2－9.由－a＝5得a＝－5，所以r2＝16.所以圆C的半径r＝4.44关键能力•攻重难1．(1)若方程x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0表示的曲线是圆，则m的取值范围为(

)A．(－∞，20) B．(－∞，5)C．(5，＋∞) D．(20，＋∞)(2)已知a∈R，方程a2x2＋(2－a)y2＋8x－4y－5a＝0表示圆，则圆心坐标是________________.题型探究题型一圆的一般方程的概念B(－4,2)[解析]

(1)方程x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0表示的曲线是圆，22＋42－4m＞0，解得m＜5，所以m的取值范围是(－∞，5)．[规律方法]

圆的一般方程的特点(1)x2，y2的系数相等，且不为0；(2)没有xy项；D2＋E2－4F>0.可以根据这些特点，列出相应的条件解题．(1)圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为(

)A．r＝1，(－2,1) B．r＝2，(－2,1)C．r＝2，(2，－1) D．r＝1，(2，－1)(2)若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(

)对点训练❶DA题型二求圆的一般方程2．求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．[规律方法]

求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；(2)待定系数法：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．(1)圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是_______________________.(2)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程是________________________.对点训练❷x2＋y2－4x－4y－2＝0x2＋y2－8x－2y＋12＝0题型三求动点的轨迹方程3．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A(－2,0)，B(2,0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心为______________，面积为________.[规律方法]

求动点的轨迹方程的常用方法1．直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．2．代入法：找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程．

设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．对点训练❸易错警示忽视圆的方程成立的条件4．已知点O(0,0)在圆x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0外，求k的取值范围．[辨析]

本题忽视了圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件为D2＋E2－4F＞0，而导致错误．[分析]

方程是否满足表示圆的条件，这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题．[误区警示]

二元二次方程表示圆的条件和圆的一般式方程中求圆的半径容易失误，要特别注意.课堂检测•固双基1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(

)A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16C2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(

)A．－1 B．1C．3 D．－3[解析]

将圆的一般方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴