2024届高考数学学业水平测试复习专题三第7讲函数的单调性与最值课件

专题三函数的概念与基本初等函数Ⅰ第7讲函数的单调性与最值1．函数的单调性

项目增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数.一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数.(2)单调区间的定义．如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．续上表图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(3)∀x∈I，都有f(x)≥M；(4)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值答案：(1)A

(2)D剖析：(1)求函数的单调区间要考虑到函数的定义域．(2)单调区间不能并．只能用：和，与，及，逗号联结．(3)已知函数f(x)＝x2－2x，x∈[2，5]，则函数的最大值为(

)A．15 B．10C．0 D．－1剖析：求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．3．函数单调性的应用(1)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(

)A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)(2)已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．解析：(1)函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，剖析：函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．1．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(

)A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)D

函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.3．(2023·广东模拟)下列函数在(0，＋∞)上不是增函数的是(

)A．y＝3x＋5 B．y＝x2＋4C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋4C对于A：y＝3x＋5在定义域R上单调递增，故A错误；对于B：y＝x2＋4在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，故B错误；对于C：y＝3－x在定义域R上单调递减，故C正确；对于D：y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，函数在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，故D错误．故选C.答案：28．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1－a.(1)若a＝2，求函数f(x)在区间[0，3]上的最小值；(2)若函数f(x)在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值．解：(1)若a＝2，则f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3，该函数的图象开口向下，图象的对称轴为直线x＝2，所以函数f(x)在区间[0，2]上单调递增，在区间[2，3]上单调递减，又f(0)＝－1，f(3)＝2，所以f(x)min＝f(0)＝－1.(2)易知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，①当a≤0时，函数f(x)在区间[0，1]上单调递减，则f(x)max＝f(0)＝1－a＝3，解得a＝－2；②当0<a<1时，函数f(x)在区间[0，a]上单调递增，在区间[a，1]上单调递减，则f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1＝3，