备考2025届高考数学一轮复习强化训练第一章集合常用逻辑用语与不等式第5讲二次函数与一元二次方程不等式

第5讲二次函数与一元二次方程、不等式1.[命题点1/2024江苏省南通市模拟]已知函数f（x）＝－x2＋4x，x∈[m，4]，若f（x）的值域是[0，4]，则实数m的取值范围是（C）A.（－∞，2） B.（0，2]C.[0，2] D.[2，4]解析画出函数f（x）＝－x2＋4x的图象，如图所示，易知f（0）＝f（4）＝0，f（2）＝4.因为x∈[m，4]时，f（x）的值域是[0，4]，所以由图可知m∈[0，2].故选C.2.[命题点1/2024江苏省南通市质量监测]记函数f（x）＝｜x2－ax｜在区间[0，1]上的最大值为g（a），则g（a）的最小值为（A）A.3－22 B.2－1C.14 解析分析函数f（x）＝｜x2－ax｜在x∈[0，1]上的图象及性质，分类探讨如下：①当a≤0时，如图1，易知函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，g（a）＝f（1）＝1－a，此时g（a）单调递减，g（a）min＝g（0）＝1；②当0＜a＜1时，如图2，f（x）＝｜x2－ax｜＝x所以g（a）＝max{f（1），f（a2）}＝max{1－a，a2易知当0＜a≤22－2时，1－a≥a24⇒g（a）＝1－当22－2＜a＜1时，1－a＜a24⇒g（a）＝此时g（a）min＝（22－2）2 图1 图2③当a≥1时，如图3，图4，f（x）＝｜x2－ax｜＝ax－x2，即g（a）＝max{f（1），f（a2）}＝max{a－1，a2因为a24－（a－1）＝（a2－1）2所以g（a）＝a2所以g（a）min＝g（1）＝14 图3 图4而1＞14＞3－22，故g（a）的最小值为3－22.故选3.[命题点2角度1/多选/2024宁夏育才中学模拟]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－3＜x＜2}，则（ABD）A.a＜0B.a＋b＋c＞0C.不等式bx＋c＞0的解集为{x｜x＞6}D.不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为{x｜－13＜x＜1解析因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－3＜x＜2}，所以x＝－3和x＝2是ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，所以－3+2=－ba，－3×2=ca，a<0，故b＝a，c＝－6a，a＋b＋c＝a＋a对于C，不等式bx＋c＞0可转化为ax－6a＞0，又a＜0，故x－6＜0，得x＜6，故C错误.对于D，不等式cx2＋bx＋a＜0可转化为－6ax2＋ax＋a＜0，即6x2－x－1＜0，解得－13＜x＜12，故D正确.4.[命题点2角度2]解关于x的不等式（a＋1）x2－（2a＋3）x＋2＜0.解析①当a＋1＝0，即a＝－1时，原不等式变为－x＋2＜0，即x＞2.②当a＋1＞0，即a＞－1时，原不等式可化为（x－2）（x－1a+1）＜若－1＜a＜－12，则1a+1＞2，解得2＜x若a＝－12，则1a+1若a＞－12，则1a+1＜2，解得1a③当a＋1＜0，即a＜－1时，原不等式可化为（x－2）（x－1a+1）因为a＜－1，所以1a+1＜2，解得x＜1a+1综上可知，当a＞－12时，原不等式的解集为{x｜1a+1＜x＜当a＝－12时，原不等式的解集为⌀当－1＜a＜－12时，原不等式的解集为{x｜2＜x＜1a当a＝－1时，原不等式的解集为{x｜x＞2}；当a＜－1时，原不等式的解集为{x｜x＜1a+1或x＞25.[命题点3角度1/2024河南名校联考]若对∀x∈R，∃a＞0，使得x2＋ax－a2≥x－am＋1成立，则实数m的取值范围为[2，＋∞）.解析由x2＋ax－a2≥x－am＋1，得x2＋（a－1）x－a2＋am－1≥0.由题意可得∃a＞0，使得（a－1）2＋4（a2－am＋1）≤0成立，即∃a＞0，使得m≥5a4＋54a－12成立.而5a4＋54a－12≥25a4·54a－16.[命题点3角度2/2024河南郑州统考]已知函数f（x）＝ax2－2x＋1（a＞0），g（x）＝x＋1x（1）当a＝3时，求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值和最大值；（2）若对∀x1∈（2，3），∃x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＜g（x2）成立，求实数a的取值范围.解析（1）当a＝3时，f（x）＝3x2－2x＋1＝3（x－13）2＋23，0≤x当x＝13时，f（x）取得最小值23；当x＝1时，f（x（2）易知g（x）＝x＋1x在区间[1，2]上单调递增，g（x）max＝5问题可转化为不等式f（x1）＝ax12－2x1＋1＜52对于随意x1∈（2解法一即a＜32+2x1x12＝32×（1x1）2＋2×1x1由x1∈（2，3），得1x1∈（1