河南省平顶山市汝州市2021-2022学年八下期中数学试题（解析版）

2021~2022学年下学期期中考试试卷八年级数学注意事项：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效．3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1.下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中心对称图与轴对称图形定义对每个选项进行判断即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查中心对称图与轴对称图形定义，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题关键．2.若，则下列不等式一定成立的是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质进行运算辨别即可．【详解】解：A、∵x＜y，∴-2x＞-2y，故A不符合题意；B、∵x＜y，∴x-2＜y-2，故B符合题意；C、∵x＜y，当m＞0时，mx＜my，故C不符合题意；D、∵x＜y，∴，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了不等式的性质，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC工程人员这种操作方法的依据是（）A.等边对等角 B.等角对等边C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一”【答案】D【解析】【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC，故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．4.下列各图中，由图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】此题是一组复合图形，根据平移、旋转的性质解答．【详解】观察四个图形可知，选项D中图形①向左平移，再向下平移可得到图形②；图形①绕正六边形中心顺时针方向旋转120°可得到图形②，符合题意．故选D．【点睛】本题考查平移、旋转的性质：

①平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

②旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．5.如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）A.三边垂直平分线的交点 B.三边中线的交点C.三条角平分线的交点 D.三边上高的交点【答案】A【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．【详解】解：∵中转仓到A、B两地的距离相等，∴中转仓的位置应选在边AB的垂直平分线上，同理，中转仓的位置应选在边AC、BC的垂直平分线上，∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，∴中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点上，故选：A．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6.将不等式组，的解集表示在数轴上正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】不等式组的解集是﹣1＜x≤2，在数轴上表示为：，故选：C．【点评】本题考查了解不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能正确在数轴上表示出不等式组的解集是解此题的关键．7.如图，在中，平分交于点D，，若点P是上的动点，则线段的最小值是（）A.2.4 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】过点D作DE⊥BC于点E，由垂线段最短可知当P与E重合时DP最短，根据角平分线的性质即可得到DE=DA=3．【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥BC于点E，∵垂线段最短，∴当P与E重合时DP最短，∴线段的最小值即DE的长度，∵BD平分交于点D，AD⊥AB，DE⊥BC，∴DE=DA=3．故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．8.若方程组的解满足，则的取值中负整数的个数是（）A1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】先把方程组化简成用含m的式子表示x-y，再解不等式，结合题意在解集中找到符合题意的数字就可以解决本题．【详解】解：得：∵∴∴∴的取值中负整数有两个，分别为：-2、-1．故选：B．【点睛】本题考查了含参数二元一次方程组的解法、解不等式、负整数的定义等知识．用含m的式子表示出x-y和正确解不等式是解决本题的关键．9.如图，在中，，；在上任取一点，延长到，使；在上任取一点，延长到，使；按此做法继续下去，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角形外角定理，以及等腰三角形的性质，找到角度规律，即可进行求解．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，同理可知：，即：，由此可知：，故选：C．【点睛】本题主要考查的是三角形外角定理，以及等腰三角形的性质，依次找到相邻三角形底角的角度关系，并进行延伸是解题的关键．10.运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，若输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，则x的最小值是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于18，第二次运算结果大于18列出不等式组，然后求解即可．【详解】解：由题意得，解不等式①得，解不等式②得．则的取值范围是，是整数，的最小值是5．故选：．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11.若商品原价为5元，如果降价x%后，仍不低于4元，那么x的取值为________

.【答案】【解析】【分析】根据题意表示出降价后价格，进而得出不等关系求出即可．【详解】解：由题意可得：5（1-x%）≥4，

解得：x≤20．

故答案为x≤20．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，得出正确不等关系是解题关键．12.如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线平移到的位置，连接．则的长为________．【答案】【解析】【分析】由平移的性质以及边长关系，可判定∠BAE=90°，然后利用勾股定理即可解答．【详解】解：∵△DCE由△ABC平移而成∴BE=2BC=4，DC=AB=CE=DE=2∵等边△ABC∴∠ACB=60°∴∠CEA=∠CAE=30°∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+30°=90°∴AE==故答案为．【点睛】本题主要考查等边三角形、平移的性质以及勾股定理的等知识点，掌握平移的性质成为解答本题的关键．13.如图，在四边形中，，，，．则四边形的面积为________．【答案】【解析】【分析】延长DA和CB交于点E，求出∠E=30°，在利用30°的直角三角形的性质求出AE，BE，DE，DC，的长，再求出与的值，最后求出四边形的面积即可．【详解】解：如图：延长DA和CB交于点E，∵∠C=60°，∠D=90°，∴∠E=30°，在Rt中AE=2AB=10，BE=，∴DE=AE+AD=12，在Rt中EC=2DC,∴即化简得：，解得：，∴，，∴四边形的面积=，故答案为：．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理是解题的关键．14.如果2m，m，1﹣m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么m的取值范围是________．【答案】m＜0【解析】【分析】如果2m，m，1-m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，即已知2m＜m，m＜1-m，2m＜1-m，即可解得m的范围．【详解】根据题意得：2m＜m，m＜1-m，2m＜1-m，解得：m＜0，m＜，m＜，∴m的取值范围是m＜0．故答案为m＜0．15.如图，把绕顶点顺时针旋转得到，若直线垂直平分，垂足为点，连接，，，且，．下面四个结论：①；②；③；④的面积为，其中正确的结论有________．【答案】①②④【解析】【分析】利用旋转的性质得CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，则可得△CBF为等腰直角三角形，于是可对①②进行判断；由于直线DF垂直平分AB，则FA＝FB，BE＝AE，于是根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ECA＝∠A＝22.5°，然后根据三角形内角和可计算出∠CEF，从而可对③进行判断；利用旋转性质得，则利用三角形面积公式计算即可对④进行判断．【详解】∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，∴CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，∴△CBF为等腰直角三角形，∴BF＝BC＝，∠CBF＝45°，故①②正确；∵直线DF垂直平分AB，∴FA＝FB=，BE＝AE，∴∠BAF＝∠ABF．∵∠BFC＝∠BAF+∠ABF＝45°，∴∠BAF＝22.5°，∵CE为Rt△ABC斜边AB上的中线，∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠BAF＝22.5°，∴，故③错误；∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，∴．∴，故④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质以及直角三角形斜边中线的性质等知识．掌握旋转前、后的图形全等是解题关键．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.（1）解不等式：（2）解不等式组：（要求：利用数轴解不等式组）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据解不等式的步骤求解即可；（2）先求出来个不等式的解集，在在数轴表示出来，找出公共部分即为不等式组的解集．【详解】（1）解：去分母得：去括号得：移项得：合并得：得：（2）解：解不等式①得解不等式②得在同一条数轴上表示不等式①②的解集因此原不等式组的解集为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握解一元一次不等式（组）的方法和步骤是解题的关键．17.在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）请画出关于原点对称的图形，并直接写出点的坐标；（2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的．并直接写出点的坐标．【答案】（1）图见解析，点坐标为．（2）图见解析，点坐标为．【解析】【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可．（2）根据旋转的性质作出对应点的位置即可．【小问1详解】如图所示：即为所求，【小问2详解】如图所示：即为所求，【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边．上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．18.某单位要制作一批宣传材料.甲公司提出：每份材料收费1元，另收取制版费600元；乙公司提出：每份材料收费1.2元，不收取制版费.(1)设制作份宣传材料，甲公司收费元，乙公司收费元，请分别写出，与的关系式；(2)该单位要制作宣传材料1000～4500(含1000和4500)份，选择哪家公司比较合算？【答案】(1)y1＝x＋600；y2＝1.2x；(2)当1000≤x＜3000时，选择乙公司较合算；当x＝3000时，甲、乙两公司一样合算；当3000＜x≤4500时，选择甲公司较合算【解析】【分析】（1）根据甲、乙两个公司的收费方法分别列式即可；（2）分别算出y1＞y2，y1＝y2，y1＜y2时x的取值范围即可得出结论.【详解】解：(1)根据题意得，y1＝x＋600；y2＝1.2x.(2)由题意，当y1＞y2时，x＋600＞1.2x，得x＜3000；当y1＝y2时，x＋600＝1.2x，得x＝3000；当y1＜y2时，x＋600＜1.2x，得x＞3000；∴当1000≤x＜3000时，选择乙公司较合算；当x＝3000时，甲、乙两公司一样合算；当3000＜x≤4500时，选择甲公司较合算.【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．19.如图，在中，点在的垂直平分线上，连接，作于点，交的延长线于点，且．（1）求证：；（2）如果，求的度数．【答案】（1）见解析（2）44°【解析】【分析】（1）由点在的垂直平分线上，得到CB=CD，即可证明，得到，等量代换得到，即可得出结论；（2）由,得到，再由，解得∠CBD，得出∠ABC和∠A的度数．【小问1详解】证明：，，∴和均是直角三角形，∵点在的垂直平分线上，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和、外角和的性质等知识点，解题的关键是找到全等三角形，利用其性质解题．20.某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设超市购进这批水果总量为m千克，每千克进价为n元（不计超市其它费用）．（1）如果超市在进价的基础上提高10%作为售价，此时：①超市最终的销售额为_________元（用含m、n的代数式表示）；②在这一次销售中，超市_______（填：盈利或亏本）．（2）如果超市至少要获得17%的利润，请通过计算说明这种水果的售价最低应提高百分之几？【答案】（1）①；②亏本；（2）这种水果的售价最低应提高30%．【解析】【分析】（1）①根据总价=单价×数量，即可求出超市最终的销售额；

②将最终的销售额与进货成本比较后即可得出结论；

（2）设这种水果的售价最低应提高x%，根据利润=销售收入-进货成本，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【详解】解：（1）①超市最终的销售额为（1+10%）n×（1-10%）m=0.99mn（元）．

②∵0.99mn＜mn，

∴在这一次销售中，超市亏本．

故答案为：①0.99mn；②亏本．

（2）设这种水果的售价最低应提高x%，

依题意，得：（1+x%）n×（1-10%）m-mn≥17%mn，

解得：x≥30．

答：这种水果的售价最低应提高30%．【点睛】此题考查列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含m、n的代数式表示出销售额；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．21.（1）阅读理解：我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为，“宽臂”的宽度，（这个条件很重要哦！）勾尺的一边满足，，三点在同一直线上且．如图所示，下面以三等分为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：第一步：画直线使，且这两条平行线之间的距离等于（说明：两条平行线中的一条直线上任意一点，到另一条直线的距离，就是这两条平行线之间的距离）；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点落在上，使勾尺的边经过点，同时让点落在的边上；第三步：标记此时点和点所在位置，作射线和射线．请完成第三步操作，图中的三等分线是射线________、________．（2）在（1）的图中，过点作于点，根据（1）中第一步的操作可知，请你证明．【答案】（1）；；（2）见解析【解析】【分析】（1）作射线BQ和射线BP，射线BQ和射线BP就是∠ABC的三等分线；（2）根据线段的垂直平分线的性质定理，等腰三角形的三线合一，角平分线的判定定理，即可证明．【小问1详解】解：作射线BQ和射线BP，如图所示：射线BQ和射线BP就是∠ABC的三等分线．故答案为：BQ；BP．【小问2详解】∵，，∴，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查三角形综合题，垂直平分线性质定理，角平分线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称构造角相等，属于中考常考题型．22.如图，长方形各顶点的坐标分别为，，，，长方形各顶点的坐标分别为，，，．平移长方形得到长方形，且点的坐标为．（1）画出长方形，并指出这一平移的平移方向和平移距离；（2）如果长方形沿的方向平移，至与重合停止，设平移过程中平移的距离为，长方形与长方形重叠的面积为，请指出在平移过程中是如何变化的，并直接写出平移过程中的最大值．【答案】（1）图见解析，平移方向是点到点的方向，平移距离为，（2）在平移过程中，的变化情况是：先变大，再保持不变，再变小．平移过程中，的最大值为4【解析】【分析】（1）根据点B′的坐标，就知道了平移方向和平移距离，得、、，连接、、、，即可得长方形A′B′C′D′；（2）需要分段考虑，当两个长方形只有部分重叠时，由图像可知当d增（减）相同数量时，对应的S也增（减）相同数量，求出S与d之间的关系式，当大长方形包含小长方形时，S是一个常量，分别求出S的值，即可得答案．【小问1详解】解：长方形A′B′C′D′，如图所示：∵B(3，4)到B′(7，8)，∴点B向右移动4个单位距离，再向上移动4个单位距离，得到点，同理可得、、，连接、、、，即可得长方形A′B′C′D′，平移的方向是点B(3，4)到点B′(7，8)的方向，平移距离为个单位长度（即一个小方格对角线的4倍）；【小问2详解】当两个长方形只有部分重叠时，由图像可知当d增（减）相同数量时，对应的S也（减）相同数量，当大长方形包含小长方形时，S是一个常量，所以在平移过程中，S的变化情况是：先变大，再保持不变，再变小，∵，，，，，∴S最大值为4．【点睛】本题主要考查平移与坐标，同时还要综合运用一次函数解决问题，解题的关键是熟练掌握平移与坐标，一次函数相关知识点．23.（1）如图1，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出________；（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图2，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的