2024年初升高数学衔接讲义专题19充分条件与必要条件练习(学生版+解析)

专题19充分条件与必要条件学习学习目标1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系知识精讲知识精讲高中必备知识点1：充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpeq\o(⇒,/)q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的不充分条件q不是p的不必要条件高中必备知识点2：充要条件1．如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q．2．如果peq\o(⇒,/)q且qeq\o(⇒,/)p，则p是q的既不充分也不必要条件．3．如果p⇒q且qeq\o(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件．4．如果peq\o(⇒,/)q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．5．设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．若A⊆B，则p是q的充分不必要条件．q是p的必要不充分条件．若A⊇B，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．6．p是q的充要条件是说，有了p成立，就一定有q成立．p不成立时，一定有q不成立．典例剖析典例剖析高中必会题型1：充分条件与必要条件的判定1．已知，，则是的_______________(充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择一个填空)．2．设，，则是的______________条件(用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空)3．给出下列结论，其中，正确的结论是________.①“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件②“p且q为假”是“p或q为真”的充分不必要条件③“p或q为真”是“非p为假”的必要不充分条件④“非p为真”是“p且q为假”的必要不充分条件4．“”是“”的___________条件.5．“或”是“”成立的_____________条件.高中必会题型2：充要条件的判断1．若，都是实数，试从①；②；③；④中选出适合的条件，用序号填空．(1)“，都为0”的必要条件是______；(2)“，都不为0”的充分条件是______；(3)“，至少有一个为0”的充要条件是______．2．不等式有实数解的充要条件是______．3．已知a、b是实数，则“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的__________________条件．4．下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为________.(填序号)①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；②p：|x|>3，q：x2>9.5．设，则是成立的________条件；高中必会题型3：充要条件的证明1．已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.2．已知的三条边为，求证：是等边三角形的充要条件是．3．设均为实数，判断“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的什么条件.4．求证：四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分.5．已知ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))对点精练对点精练1．“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件2．设a∈R，则“a>0"是“a2>0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设，则“且”是“且”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．“”是“”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6．若“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件是“<x<”，则实数m的取值范围是()A． B．C． D．7．在如图电路中，条件p：开关A闭合，条件q：灯泡B亮，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则()A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件9．“t≥-2”是“对任意正实数x，都有t2-t≤x+恒成立”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．是成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知，，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是()A． B． C． D．12．若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是()A． B． C． D．13．设命题p：x＞4；命题q：x2﹣5x+4≥0，那么p是q的_______条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).14．若p：是q：的必要不充分条件，则实数a的取值范围为______．15．“”是“”的_________________条件．16．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________.17．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：x2≥2x+a，且q是p的必要条件，求实数a的取值范围.18．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？19．设命题，命题，若是的必要条件，但不是的充分条件，求实数的取值组成的集合.20．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}(a＞0)，B＝{x|x2+3x﹣4≤0}.(1)若a＝3，求A∪B；(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围.21．设集合，(1)请写出一个集合，使“”是“”的充分条件，但“”不是“”的必要条件；(2)请写出一个集合，使“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件．22．已知命题“关于x的方程有两个不相等的实数根”是假命题.(1)求实数m的取值集合；(2)设集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.专题19充分条件与必要条件学习学习目标1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系知识精讲知识精讲高中必备知识点1：充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpeq\o(⇒,/)q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的不充分条件q不是p的不必要条件高中必备知识点2：充要条件1．如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q．2．如果peq\o(⇒,/)q且qeq\o(⇒,/)p，则p是q的既不充分也不必要条件．3．如果p⇒q且qeq\o(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件．4．如果peq\o(⇒,/)q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．5．设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．若A⊆B，则p是q的充分不必要条件．q是p的必要不充分条件．若A⊇B，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．6．p是q的充要条件是说，有了p成立，就一定有q成立．p不成立时，一定有q不成立．典例剖析典例剖析高中必会题型1：充分条件与必要条件的判定1．已知，，则是的_______________(充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择一个填空)．答案:充分条件设命题对应的集合为,命题对应的集合为,因为,所以命题是命题的充分条件.故答案为：充分条件.2．设，，则是的______________条件(用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空)答案:充分非必要A是B的真子集，故是的充分非必要条件故答案为：充分非必要3．给出下列结论，其中，正确的结论是________.①“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件②“p且q为假”是“p或q为真”的充分不必要条件③“p或q为真”是“非p为假”的必要不充分条件④“非p为真”是“p且q为假”的必要不充分条件答案:①③对于①，由p且q为真，得和都为真，由p或q为真，得和至少有一个为真，故“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，因此①正确；对于②，由p且q为假，得和至少有一个为假，由p或q为真，得和至少有一个为真，故“p且q为真”是“p或q为真”的即不充分不必要条件，因此②错；对于③，由p或q为真，得和至少有一个为真，由非p为假，得为真，故“p或q为真”是“非p为假”的必要不充分条件，因此③正确；对于④，由非p为真，得p为假，由p且q为假，得和至少有一个为假，故“非p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件，因此④错.故答案为：①③.4．“”是“”的___________条件.答案:充分不必要条件.由不等式，解得，构成集合又由不等式，解得，得到，可得集合是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件.5．“或”是“”成立的_____________条件.答案:必要不充分，不能推出且，反过来，且能推出，所以是且的必要不充分条件，利用逆否关系的等价性可知或是的必要不充分条件.故答案为：必要不充分高中必会题型2：充要条件的判断1．若，都是实数，试从①；②；③；④中选出适合的条件，用序号填空．(1)“，都为0”的必要条件是______；(2)“，都不为0”的充分条件是______；(3)“，至少有一个为0”的充要条件是______．答案:①②③④①①或，即，至少有一个为0；所以是“，都为0”的必要条件，也是“，至少有一个为0”的充要条件；②，互为相反数，则，可能均为0，也可能为一正一负；所以是“，都为0”的必要条件；③或；所以是“，都为0”的必要条件；④或，则，都不为0，所以是“，至少有一个为0”的充要条件.故答案为(1).①②③(2).④(3).①2．不等式有实数解的充要条件是______．答案:解：因为，当且仅当时等号成立，所以不等式有实数解的充要条件是．故答案为：．3．已知a、b是实数，则“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的__________________条件．答案:充要∵a>0，b>0，∴a＋b>0，ab>0，∴“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的充分条件；∵ab>0，∴a与b同号，a＋b>0，∴a>0且b>0，∴“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的必要条件．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．故答案为：充要4．下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为________.(填序号)①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；②p：|x|>3，q：x2>9.答案:①②①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件.②由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件.故答案为：①②5．设，则是成立的________条件；答案:充要故答案为充要高中必会题型3：充要条件的证明1．已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.答案:见解析(1)必要性：由，得，即，又由，得，所以.(2)充分性：由及，得，即.综上所述，的充要条件是.2．已知的三条边为，求证：是等边三角形的充要条件是．答案:证明见解析证明(充分性)∵，∴∴(必要性)∵，∴∴即，∴，得证．3．设均为实数，判断“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的什么条件.答案:充要条件充分性：因为，所以，即方程有两个不相同的实根，设两根为，则，即一正一负，故充分性成立；必要性：因为“方程有一个正实根和一个负实根”成立，所以，即，故必要性成立.所以“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件.4．求证：四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分.答案:证明见解析设对角线与的交点为.充分性：由对角线与互相平分得，又，所以，所以，，，所以四边形是平行四边形；必要性：由四边形是平行四边形得，，，所以所以，四边形的对角线与互相平分；所以四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分.5．已知ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))答案:证明见解析设p：a3+b3+ab-a2-b2=0，q：a+b=1.(1)充分性(p⇒q)：因为a3+b3+ab-a2-b2=0，所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0，即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0，因为ab≠0，a2-ab+b2=+b2>0，所以a+b-1=0，即a+b=1.(2)必要性(q⇒p)：因为a+b=1，所以b=1-a，所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0，综上所述，a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.对点精练对点精练1．“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件答案:B因为当a+b为偶数时，a，b都可以为奇数.所以“a+b是偶数”不能推出“a和b都是偶数”，显然“a和b都是偶数”⇒“a+b是偶数”.所以“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件.故选：B2．设a∈R，则“a>0"是“a2>0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案:A解：当时，，当时，或，所以“a>0"是“a2>0”的充分不必要条件，故选：A3．设，则“且”是“且”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案:A若且，由不等式的同向可加性可得，由不等式的同向同正可乘性可得，所以“且”可以推出“且”，即充分性成立；反之，若，，满足且”，所以“且”不可以推出“且”，即必要性不成立；所以“且”是“且”的充分不必要条件.故选：A.4．“”是“”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案:A由得，则；若，，则，但不能推出；因此“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案:A由题意，“返回家乡”可推出“攻破楼兰”，但“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.故选：A.6．若“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件是“<x<”，则实数m的取值范围是()A． B．C． D．答案:B不等式-1<x-m<1等价于：m-1<x<m+1，由题意得“<x<”是“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件，所以，且，所以，且等号不能同时成立，解得.故选：B.7．在如图电路中，条件p：开关A闭合，条件q：灯泡B亮，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案:A若开关A闭合，则灯泡B亮，所以条件p可以推出条件q；若灯泡B亮，则开关A闭合或开关C闭合，不能确定开关A闭合，条件q推不出条件p；所以p是q的充分不必要条件.故选：A.8．若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则()A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件答案:B因为B不是A的子集，所以集合中必含有元素不属于，而即为或，x∈A必有x∈C，但反之不一定成立，所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.故选：B．9．“t≥-2”是“对任意正实数x，都有t2-t≤x+恒成立”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案:B由于x+≥2，由题意知t2-t≤2，解得-1≤t≤2.所以“t≥-2”是“-1≤t≤2”的必要不充分条件.故选：B10．是成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案:A充分性显然成立，必要性可以举反例：，，显然必要性不成立.故选：A11．已知，，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是()A． B． C． D．答案:D由是的必要条件，可得，解得故选：D.12．若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是()A． B． C． D．答案:C由“”是“”的必要不充分条件知：是的真子集，可得知故选：C13．设命题p：x＞4；命题q：x2﹣5x+4≥0，那么p是q的_______条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).答案:充分不必要命题q：x2﹣5x+4≥0⇔x≤1或x≥4，∵命题p：x＞4；故p是q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要14．若p：是q：的必要不充分条件，则实数a的取值范围为______．答案:若是的必要不充分条件，则是的真子集，则，解得；当时，不成立，故，即实数的取值范围是，故答案为：.15．“”是“”的_________________条件．答案:充分不必要充分性：若，则，故充分性成立；必要性：若，当时，不成立，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.16．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________.答案:解不等式，解得，解方程，解得或.①当时，即当时，不等式即为，该不等式的解集为，不合乎题意；②当时，即当时，解不等式可得.由于是的充分不必要条件，则，可得，此时；③当时，即当时，解不等式可得.由于是的充分不必要条件，则,可得，解得.检验：当时，则有，合乎题意；当时，则有，合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.17．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：x2≥2x+a，且q是p的必要条件，求实数a的取值范围.答案:(﹣∞，﹣1].由x2﹣4x+3≤0得(x﹣1)(x﹣3)≤0得1≤x≤3，由x2≥2x+a得x2﹣2x≥a，若q是p的必要条件，即当1≤x≤3时，x2﹣2x≥a恒成立，设f(x)＝x2﹣2x，则在[1，3]上为增函数，则f(x)的最小值为f(1)＝1﹣2＝﹣1，∴a≤﹣1，即实数a的取值范围是(﹣∞，﹣1].18．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？答案:(1)充要条件；(2)充要条件；(3)必要条件.都是的必要条件，是的