人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义 2.1等式性质与不等式性质（原卷版）

第第页2.1等式性质与不等式性质课程标准学习目标①会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质。②会利用不等式性质比较大小。③会利用不等式的性质进行简易的求范围与证明。1通过本节课的学习，能做到用不等式表示不等关系，能利用等式及不等式的相关性质进行大小的比较、不等关系的证明、求解相应代数式的取值范围.知识点一：不等式的概念在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“SKIPIF1<0”“SKIPIF1<0”“SKIPIF1<0”“SKIPIF1<0”“SKIPIF1<0”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.自然语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符号语言SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0知识点二：实数SKIPIF1<0大小的比较1、如果SKIPIF1<0是正数，那么SKIPIF1<0；如果SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0；如果SKIPIF1<0是负数，那么SKIPIF1<0，反过来也对.2、作差法比大小：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<03、不等式性质性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变知识点三：不等式SKIPIF1<0的探究一般地，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.知识点四：不等式的性质性质性质内容特别提醒对称性SKIPIF1<0SKIPIF1<0（等价于）传递性SKIPIF1<0SKIPIF1<0（推出）可加性SKIPIF1<0SKIPIF1<0（等价于可乘性SKIPIF1<0注意SKIPIF1<0的符号（涉及分类讨论的思想）SKIPIF1<0同向可加性SKIPIF1<0SKIPIF1<0同向同正可乘性SKIPIF1<0SKIPIF1<0可乘方性SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同为正数可开方性SKIPIF1<0题型01由已知条件判断所给不等式是否正确【典例1】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（多选）设SKIPIF1<0为正实数，则下列命题正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【典例3】（多选）已知实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么下列选项中错误的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】（多选）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（多选）下列结论正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0题型02由不等式的性质比较数（式）大小【典例1】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则一定有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】设SKIPIF1<0，比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小【变式1】（多选）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（多选）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列四个不等式中，一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型03作差法比大小【典例1】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系为（）SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0大小关系不确定【典例2】“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式1】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则s与t的大小关系是________.题型04利用不等式求值或取值范围【典例1】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（多选）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】已知实数x，y满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则y的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范围．题型05用不等式表示不等关系【典例1】铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过SKIPIF1<0，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（

）A．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【典例2】用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的SKIPIF1<0，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的SKIPIF1<0，请从这个实例中提炼出一个不等式组：______．【变式1】如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母SKIPIF1<0的不等式表示出来（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案SKIPIF1<0为一次性投资SKIPIF1<0万；方案SKIPIF1<0为第一年投资SKIPIF1<0万，以后每年投资SKIPIF1<0万.下列不等式表示“经过SKIPIF1<0年之后，方案SKIPIF1<0的投入不大于方案SKIPIF1<0的投入”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型06易错题（利用不等式求值或取值范围）【典例1】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是_____，SKIPIF1<0的取值范围是____.【典例2】若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的取值范围是________.2.1等式性质与不等式性质A夯实基础一、单选题1．下列不等式正确的是（）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<02．下列说法中正确的是（）A．如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<03．下列命题为真命题的是（）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<04．已知p∈R，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则M，N的大小关系为（）A．M<N B．M>NC．M≤N D．M≥N5．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题7．已知SKIPIF1<0，则下列选项中能使SKIPIF1<0成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．设a，b，c均为大于零的实数，若一元二次方程SKIPIF1<0有实根，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题9．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是______．10．若关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0只有一个整数解2，则实数SKIPIF1<0的取值范围为____________．四、解答题11．用比较法证明以下各题：(1)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．12．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是？B能力提升1．刘老师沿着某公园的环形道（周长大于SKIPIF1<0）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑SKIPIF1<0，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了SKIPIF1<0，恰好回到起点，前SKIPIF1<0的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（

）A．7 B．8 C．9 D．102．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0成立的一个充分非必要条件是（

）A．SKIPIF1<0