2024年高考数学第一轮复习讲义第二章培优课2.9　指、对、幂的大小比较(学生版+解析)

§2.9指、对、幂的大小比较指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．题型一直接法比较大小命题点1利用函数的性质例1设，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>b>a D．b>c>a听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2找中间值例2(2023·上饶模拟)已知a＝log53，b＝，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3特殊值法例3已知a>b>1,0<c<eq\f(1,2)，则下列结论正确的是()A．ac<bc B．abc<bacC．alogbc<blogac D．logac<logbc听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，eq\f(1,2)，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较．跟踪训练1(1)已知a＝0.60.6，b＝lg0.6，c＝1.60.6，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b(2)已知a＝eq\f(4,3)，b＝log34，c＝3－0.1，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．c>b>aC．b>a>c D．a>c>b题型二利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小例4(1)已知，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<b<aC．b<c<a D．c<a<b听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2020·全国Ⅲ)已知55<84,134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则()A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<a<b听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．跟踪训练2(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(参考值lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a(2)(2022·汝州模拟)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，则()A．b<a<c B．c<b<aC．a<c<b D．a<b<c题型三构造函数比较大小例5(1)已知a＝eq\f(22－ln2,e2)，b＝eq\f(ln2,2)，c＝eq\f(1,e)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．b<a<cC．a<c<b D．b<c<a听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a＝0.1e0.1，b＝eq\f(1,9)，c＝－ln0.9，则()A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．a<c<b听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．跟踪训练3(1)(2022·济南模拟)已知a＝68，b＝77，c＝86，则a，b，c的大小关系为()A．b>c>a B．c>b>aC．a>c>b D．a>b>c(2)(2023·南昌模拟)设a＝e1.3－2eq\r(7)，b＝4eq\r(1.1)－4，c＝2ln1.1，则()A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．c<a<b§2.9指、对、幂的大小比较指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．题型一直接法比较大小命题点1利用函数的性质例1设，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>b>a D．b>c>a答案C解析因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))x是增函数，所以，即a<b，又因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以所以b<c，故c>b>a.命题点2找中间值例2(2023·上饶模拟)已知a＝log53，b＝，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a答案C解析因为1＝log55>log53>log5eq\r(5)＝＝eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)<a<1，b＝>20＝1,7－0.5＝＝eq\f(1,2)，即0<c<eq\f(1,2)，所以b>a>c.命题点3特殊值法例3已知a>b>1,0<c<eq\f(1,2)，则下列结论正确的是()A．ac<bc B．abc<bacC．alogbc<blogac D．logac<logbc答案C解析取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝eq\f(1,4)，则ac＝，bc＝，∴ac>bc，故A错误；abc＝，bac＝，∴abc>bac，故B错误；logac＝＝－1，logbc＝log2eq\f(1,4)＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误．思维升华利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，eq\f(1,2)，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较．跟踪训练1(1)已知a＝0.60.6，b＝lg0.6，c＝1.60.6，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b答案D解析因为y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增，所以1.60.6>0.60.6>0，又b＝lg0.6<lg1＝0，所以c>a>b.(2)已知a＝eq\f(4,3)，b＝log34，c＝3－0.1，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．c>b>aC．b>a>c D．a>c>b答案A解析因为a＝eq\f(4,3)＝，＝34＝81>43＝64，且函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以>log34，即a>b.又因为b＝log34>log33＝1，c＝3－0.1<30＝1，即b>c，所以a>b>c.题型二利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小例4(1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<b<aC．b<c<a D．c<a<b答案A解析c＝＝1，因为y＝在(0，＋∞)上单调递增，且eq\f(1,1024)<eq\f(1,625)，所以a<b，又<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,625)))0＝1，即b<1，所以a<b<c.(2)(2020·全国Ⅲ)已知55<84,134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则()A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<a<b答案A解析∵log53－log85＝log53－eq\f(1,log58)＝eq\f(log53·log58－1,log58)<eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log53＋log58,2)))2－1,log58)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log524,2)))2－1,log58)<eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log525,2)))2－1,log58)＝0，∴log53<log85.∵55<84,134<85，∴5log85<4,4<5log138，∴log85<log138，∴log53<log85<log138，即a<b<c.思维升华求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．跟踪训练2(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(参考值lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a答案B解析c＝930＝360，a＝2100⇒lga＝lg2100＝100lg2≈30.1，b＝365⇒lgb＝lg365＝65lg3≈31.0115，c＝930⇒lgc＝lg360＝60lg3≈28.626，所以lgb>lga>lgc，即b>a>c.(2)(2022·汝州模拟)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，则()A．b<a<c B．c<b<aC．a<c<b D．a<b<c答案D解析由题意得，a＝log63＝log6eq\f(6,2)＝1－log62＝1－eq\f(1,log26)，b＝log84＝log8eq\f(8,2)＝1－log82＝1－eq\f(1,log28)，c＝log105＝log10eq\f(10,2)＝1－log102＝1－eq\f(1,log210)，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以log26<log28<log210，则eq\f(1,log26)>eq\f(1,log28)>eq\f(1,log210)，所以a<b<c.题型三构造函数比较大小例5(1)已知a＝eq\f(22－ln2,e2)，b＝eq\f(ln2,2)，c＝eq\f(1,e)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．b<a<cC．a<c<b D．b<c<a答案B解析a＝eq\f(2－ln2,\f(e2,2))＝eq\f(ln

\f(e2,2),\f(e2,2))，c＝eq\f(1,e)＝eq\f(lne,e)，令f(x)＝eq\f(lnx,x)，∴a＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,2)))，b＝f(2)，c＝f(e)，∴f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，∴当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(e)＝eq\f(lne,e)＝c，∴a<c，b<c，又b＝eq\f(ln2,2)＝eq\f(2ln2,4)＝eq\f(ln4,4)＝f(4)，∵4>eq\f(e2,2)，∴f(4)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,2)))，∴b<a，∴b<a<c.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a＝0.1e0.1，b＝eq\f(1,9)，c＝－ln0.9，则()A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．a<c<b答案C解析设u(x)＝xex(0<x≤0.1)，v(x)＝eq\f(x,1－x)(0<x≤0.1)，w(x)＝－ln(1－x)(0<x≤0.1)．则当0<x≤0.1时，u(x)>0，v(x)>0，w(x)>0.①设f(x)＝ln[u(x)]－ln[v(x)]＝lnx＋x－[lnx－ln(1－x)]＝x＋ln(1－x)(0<x≤0.1)，则f′(x)＝1－eq\f(1,1－x)＝eq\f(x,x－1)<0在(0,0.1]上恒成立，所以f(x)在(0,0.1]上单调递减，所以f(0.1)<f(0)＝0＋ln(1－0)＝0，即ln[u(0.1)]－ln[v(0.1)]<0，所以ln[u(0.1)]<ln[v(0.1)]．又函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以u(0.1)<v(0.1)，即0.1e0.1<eq\f(1,9)，所以a<b.②设g(x)＝u(x)－w(x)＝xex＋ln(1－x)(0<x≤0.1)，则g′(x)＝(x＋1)ex－eq\f(1,1－x)＝eq\f(1－x2ex－1,1－x)(0<x≤0.1)．设h(x)＝(1－x2)ex－1(0<x≤0.1)，则h′(x)＝(1－2x－x2)ex>0在(0,0.1]上恒成立，所以h(x)在(0,0.1]上单调递增，所以h(x)>h(0)＝(1－02)×e0－1＝0，即g′(x)>0在(0,0.1]上恒成立，所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，所以g(0.1)>g(0)＝0×e0＋ln(1－0)＝0，即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)>0，所以0.1e0.1>－ln0.9，即a>c.综上，c<a<b，故选C.思维升华某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．跟踪训练3(1)(2022·济南模拟)已知a＝68，b＝77，c＝86，则a，b，c的大小关系为()A．b>c>a B．c>b>aC．a>c>b D．a>b>c答案D解析令f(x)＝(14－x)lnx，则f′(x)＝－lnx＋eq\f(14,x)－1.因为y＝－lnx在(0，＋∞)上单调递减，y＝eq\f(14,x)－1在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)＝－lnx＋eq\f(14,x)－1在(0，＋∞)上单调递减．而f′(5)＝－ln5＋eq\f(14,5)－1>0，f′(6)＝－ln6＋eq\f(14,6)－1<0，所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)＝(14－x)lnx在(6，＋∞)上单调递减．所以f(6)>f(7)>f(8)，即8ln6>7ln7>6ln8，故68>77>86.故a>b>c.(2)(2023·南昌模拟)设a＝e1.3－2eq\r(7)，b＝4eq\r(1.1)－4，c＝2ln1.1，则()A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．c<a<b答案B解析∵(e1.3)2＝e2.6<e3<33，(2eq\r(7))2＝28>33，∴e1.3<2eq\r(7)，∴a<0；b－c＝4eq\r(1.1)－4－2ln1.1＝2(2eq\r(1.1)－2－ln1.1)，令f(x)＝2eq\r(x)－2－lnx，∴f′(x)＝eq\f(1,\r(x))－eq\f(1,x)＝eq\f(\r(x)－1,x)，∴当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴f(1.1)>0，即2eq\r(1.1)－2－ln1.1>0，∴c<b，又c＝2ln1.1>2ln1＝0，∴a<c<b.课时精练1．设a＝，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2，c＝log2eq\f(3,2)，则a，b，c的大小关系是()A．b<a<c B．c<a<bC．b<c<a D．a<c<b答案B解析a＝>1，且<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＝b，又c＝log2eq\f(3,2)<log22＝1.故c<a<b.2．(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，则下列判断正确的是()A．c<b<a B．b<a<cC．a<c<b D．a<b<c答案C解析a＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)＝log82eq\r(2)<log83＝b，即a<c<b.3．设a＝log23，b＝2log32，c＝2－log32，则a，b，c的大小关系为()A．b<c<a B．c<b<aC．a<b<c D．b<a<c答案A解析由c＝2－log32＝log39－log32＝log3eq\f(9,2)>log34＝2log32＝b，a－c＝log23＋log32－2>2eq\r(log23×log32)－2＝2－2＝0，所以a>c，所以b<c<a.4．(2023·潍坊模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则()A．x>y>z B．y>x>zC．z>x>y D．x>z>y答案A解析因为3x＝4y＝10，所以x＝log310>log39＝2；1＝log44<y＝log410<log416＝2，则1<y<2，所以x>y>1，而z＝logxy<logxx＝1，所以x>y>z.5．设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>1，则eq\f(x,2)，eq\f(y,3)，eq\f(z,5)的大小关系是()A.eq\f(z,5)<eq\f(y,3)<eq\f(x,2) B.eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5)C.eq\f(y,3)<eq\f(x,2)<eq\f(z,5) D.eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,5)答案B解析由x，y，z为正实数，设log2x＝log3y＝log5z＝k>1，可得x＝2k>2，y＝3k>3，z＝5k>5.∴eq\f(x,2)＝2k－1>1，eq\f(y,3)＝3k－1>1，eq\f(z,5)＝5k－1>1，令f(x)＝xk－1，∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(2)<f(3)<f(5)，即eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5).6．(2023·茂名模拟)已知a＝sin2，b＝ln2，c＝，则a，b，c的大小关系是()A．c<b<a B．a<b<cC．b<a<c D．b<c<a答案D解析a＝sin2>sin

eq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)>eq\f(3,4)，＝e3>24⇒>2⇒＝eq\f(3,4)>ln2，即b<eq\f(3,4)，∴a>b；∵＝eq\f(1,2)＝eq\f(32,64)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64)，∴>eq\f(3,4)，∴c>b；∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))6＝eq\f(27,64)，＝eq\f(1,4)＝eq\f(16,64)，∴eq\f(\r(3),2)>，∴a>c，∴b<c<a.7．设a＝eq\r(9,10)，b＝9sin

eq\f(1,10)，c＝eq\r(5,3)，则()A．b<a<c B．b<c<aC．c<a<b D．c<b<a答案B解析令f(x)＝sinx－x，则f′(x)＝cosx－1≤0，所以f(x)为减函数，所以当x>0时，f(x)<f(0)＝0，即sinx<x，所以b＝9sin

eq\f(1,10)<9×eq\f(1,10)＝eq\f(9,10)<1，又a＝eq\r(9,10)>eq\r(9,1)＝1，c＝eq\r(5,3)>eq\r(5,1)＝1，且a45＝105，c45＝39＝3×94<105，所以b<c<a.8．已知a＝5ln4π，b＝4ln5π，c＝5lnπ4，则a，b，c的大小关系是()A．c<b<a B．c<a<bC．b<a<c D．a<b<c答案C解析令f(x)＝eq\f(lnx,x)(x≥e)，则f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，可得函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减，∴eq\f(πln4,4)>eq\f(πln5,5)，∴5ln4π>4ln5π，∴a>b，同理可得eq\f(lnπ,π)>eq\f(ln4,4)，∴4lnπ>πln4，∴π4>4π，∴5lnπ4