高考高中数学：数列-专项训练含解析

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高考高中数学：数列-必考点专项训练含解析

」一、单透露

1.等差数列a.的前n项和为S..若4=63,则再+4/耳9=（）

A.12B.9C.6D.3

2.等比数列an的前n项和为S”,目的、2马.马成等差数列,若则5=｛）

A.15B.16C.31D.32

3.已知等差数列｛aj前n项和为Sn.若5o=1O,5al=60,贝IJSQ=（）

A.110B.150C.210D.280

4.若数列”的前n项和为S”,且a7,a=2.5,+1Sp+1=鼠尸1则5,=（）

nn+1,

A.---B.TC.2"-1D.2+1

5.设S”为数列3的前in0和，5,=3a『2nwN.则a.的通项公式为（）

6.对于数列an.规定Aar为数列an的一阶差分数列，其中'a,=a、，-a.cwN.对自

l

然数kk＞2,规定Aan为故列an的k阶差分数列,其中.可,=AiaM-Aia,.若

n

A=1,且■AZ耳-△aM+同=-2nTN，则数列an的通项公式为（）

A.=n*1-2*'B.4=mT'

C.，=n+1・2皿D.2n-l-2"-1

7.等比数列an的各项均为正数.已知向St占=a4a,6=.且a-b-4.则

log闰+1吗马+…+1°923＞。=（）

A.12B.10C.5D.2+10%5

8.数列a0满足：叶一玉,2a「nI.CEN.给出下述命8J正确的个数是：（）

①若数列a“满足：马＞4,则'a”nlnrN；

②存在常数C.使得a,■cneN成立；

③若p+q（其中pqmnwN）,则〜+4,二可小③”：

④存在常数d,使得a_a,+n1dneN都成立

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、多选题

9等差数列｛aj的前n项和为Sn,若a0.公差d=0.则下列命就正确的是（

A.若工=§,则必有§4=0B.若，=0,则必有5?是5。中最大的项

C.若$6>5,则必有§>qD.若S6>§,则必有

10.已知等比数列a”中，满足目=Lq=2,则（）

A.数列an是等比数列B.数列—是递增数列

21a"

c.数列logza”是等差数列D.数列an中，S^S4Sg仍成等比数列

11.设等比数列a„的公比为q,其前n项和为S0,前n项积为％,并且满足条件J>1,

a6al>1,主?<0,则下列结论正确的是（）

西-•

A.0<q<1B.a6^>l

C.Sn的最大值为5D.7；的最大值为心

12.设x为不超过拗最大整数，a0为[xx]xw0,n能取到所有值的个数，是数列

-前礴的和，则下列结论正确的有（）

[an+2nj

A.a3=4B.190是数列an中的项

c.5o=?D.当n=7时，亘=21取最小值

6n

三、填空题

13.数列（25-2n）2"’的最大项所在的项数为______.

14.设数列an满足a）=a,a^,-ll-an=2anneM,若数列an的前2019项的乘积为

3,则2=_____.

a-2a-2

15.在数列a中，0=3,且一2—----2—=2.

nn+1n

（1）an的通项公式为___________；

（2）在耳、马、马、…、joe这2019项中，被10除余2的项数为___________.

四、解答题

a-1

16.已知数列an满足a,=1,且=

(1)证明数列，是等差数列，并求数列an的通项公式.

(2)若。=—求数列。的前n项和Sn.

an+1

17.已知等差数列｛a»满足a5=9,32+36=14.

(1)求｛a〃｝的通项公式；

^

(2)若h=af,+q"q>0，求数列｛d｝的前〃项和5

18.设d为等差数列｛an｝的公差，数列｛«｝的前n项和工，满足/=(neNl,且

d=^=",若实数meR=｛x|ak_2<x<Q+3｝(keN\k>3),则称m具有性质月.

(1)请判断h、4是否具有性质?，并说明理由；

(2)设S.为数列｛aj的前n项和，若｛5-力.％｝是单调递增数列，求证：对任意的k(keN,

k>3),实数，都不具有性质B；

(3)设日„是数列｛%｝的前n项和，若对任意的ncN,村24|都具有性质只，求所有满足条件的

k的值.

参考答案

1.B

【解析】

【分析】

利用等差中项的性质可得51=21引，求得引=3；再根据下角标的性质可求得结果.

【详解】

由等差数列性质可知：冬,解得：

1=21aH=63%=3

二33+4+09=3^=9

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.

2.C

【解析】

【分析】

设等比数列an的公比为q,根据题意得出关于q的二次方程，求出q的值，然后利用等比数列求

和公式可求出Z的值.

【详解）

设等比数列的公比为由于的、马、马成等差数列，且

anq,2a,=1,

.♦.也;的+劣，即旬=4+cf，即d-M+duO,解得q=2.

a,1-dlx1-25

因此，Si；=-----------=------------=31•

1-q1-2

故选：C.

【点睛】

本题考查等比数列求和.解题的关键就是计算出等比数列的首项和公比，考查计算能力，属于基础

3.D

【解析）

【分析】

由等差数列的性质可得5°,§O-5o,冬0-50,S旬-%也成等差数列，由此求得£的值.

【详解】

解：••.等差数列｛2„｝前/1项和为S”

•••5。，§0-§0,50-§0,S阅一%也成等差数列

故（&-S&）+$o=2（5201slo）,

.•£=150

又：（&-5o）+（S＜）-&）=2（$-＞）

,•.$^=280

故选D.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的定义和性质，等差数列前n项和公式的应用.

4.C

【解析】

【分析】

对已知Sn+1S“2+1=Smi+12,进行化简,令。=5,+1,可得0.32=虻…即A为等

比数列，利用J=La?=2可计算出。的首项和公比,从而可求得。的通项,得到S”的通项.

I详解】

•••Sn+1Sgz+1=SN+12，

令。=Sc+1

二。-切2=氏1，可得A为等比数列，设其公比为q

t|=Sj+l=a|+l=Zt^=^+1=al4-a2+1=4

.•«=3=2,.•.。=牛小=2＞2~=2"

n

Sn=bn-l=2-l,故选C项.

【点睛】

本题考查换元法求数列的通项，等比数列求通项，考查内容比较简单，属于简单题.

5.B

【解析】

【分析】

先根据递推公式求出首项，再递推一步，两个等式相减，即可判断出数列an是等比数列，最后求

出通项公式即可.

【详解】

因为5„=33。-2(口€叱)...①,n=1时，5=阳-2.可得5=1,

3

n22时，SM=3a>1-2…②，①-②得an=3ar,-3a^,an=-a^,,

所以an是等比数列，an=lx(±r=(^r'.

故选：B

【点睛】

本题考查了通过递推公式求等比数列的通项公式，考查了数学运算能力.

6.B

【解析】

【分析】

根据题中定义结合等式△,n-AaM+a.u-Z1neN可得出=2。+2",等式两边同时除

以2湎,可得出爵=/+；,可知数列|关：是以;为首项，以;为公差的等差数列，求出数列

fa1

［才j的通项公式，即可得出an.

【详解】

n

根据题中定义可得△2an-aa(Hi+arl=Aa^,-Aan-Aawl+an=-2neN.

即an-Aan=a.-a^y-an=2an-a向=-2",即a2=2a0+2”,

111

爵naa3

得

n-且

=-+--=2=-

2>-22

2nr

所以，数列摆是以;为首项，以;为公差的等差数列一n-1=，

因此，an=n-2^'.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及数列的新定义以及等差数列的定义，考查运算求解能

力，属于中等题.

7.C

【解析】

【分析】

利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出.

【详解】

向量a=（a4,*）,6=（马，2）,且ab=4,

2马+a5a6—4,

由等比数列的性质可得：弓加:……二a4a7=a5a6=2,

则10gz司+log2a2++log2%=Sg2（74•%）=loa^log.2^5.

故选C.

【点睛】

本题考查数审积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中

档题.

8.A

【解析】

【分析】

由aa+aN>2an得.az-a;1>an-a”],然后结合条件,逐一判断四个命题的真假.

1详解】

由a”1+>2an,得a^-an>an-,即数列a„,-an是递增数列.

对于①，若％>a,则an->a^,-a^2>•••>马-a|>0,「高。>a^,成立，正确；

对于②，若数列an为递减数列，如：1，；，；，；，…，满足题意，但是当n->+s时，a.f-8.

不存在常数c,使得a,>cneM成立，错误；

对于③，若数列an为递减数列，如：1，；，！，；，…，满足题意，2+4>1+3,但是

32+a4<a,+a3,错误；

对于④，若数列an为递减数列，如：I，；[，；，…，满足题意，但是当2+s时，a.T-8,

故不存在常数d,使得a。>a,+n-1dneN都成立，错误.

故选：A.

【点睛）

本题主要考查数列递推式以及数列单调性的应用,意在考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.

9.ABC

【解析】

【分析】

直接根据等差数列｛an｝的前n项和公式s.=g+'』逐一判断.

【详解】

等差数列｛aj的前n项和公式Sn=na,+-~--.

若W=，，则5a,+10d=9a,+36d,

13d

2al+13d=0,4=--,q>0,d<0,

W。，§4=74+8,4=0,q对；

nnld

..Sn=3+-=-咽+nn」d.业二呵,由二次函数的性质知§是

222-2

中最大的项，①寸；

若$6>§,则%=a,+6d<0,q<-6d.

>0,：.d<0,4=a+5d<-6d+d=-d>0,^=a7+d<a7<0,

§>&=§+4，;

故选：ABC.

【点睛】

本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，属于中档题.

10.AC

【解析】

【分析】

*,

根据题意求出等比数列an的通项公式,即可求出数列马。,羡,log2an的通项公式，并

判断数列类型，由等比数列前n项和公式.可求出SWSR,S3c.即可判断选项D的真假.

【详解)

n

等比数列an中，0=1,q=2,所以名=2)Sn=2-1.

于是故数列是等比数列,

a2c=4",,1092an=n-1,a2n

数列是递减数列，数列logzq,是等差数列.

因为3O率，所以不成等比数列.

5O=2'°-1,§2O=22°-1,§O=2-1,

而Ao

故选:AC.

【点胤

本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，以及通过通项公式判断数列类型，属于

基础题.

11.AD

【解析】

【分析】

分类讨论86.0大于1的情况，得出符合题意的一项.

【详解】

a,-1八

①a6>1e>L与题设工^<0矛盾.

37T

符合题意.

②&>La7VL

a—1

③aeVl©<1,与题设个彳<0矛盾.

访-1

④aevLa,〉］与题设0>1矛盾.

得则工的最大值为

a6>1,a7cL0<q<1,Z.

.--B.C.错误.

故选：AD.

【点睛】

考查等比数列的性质及概念.补充：等比数列的通项公式：耳,=4/,neN

12.ACD

【解析】

【分析】

先根据a。的定义可求得a,,%,a3,再确定电的递推公式，从而求得2„的通项公式求解即可.

【详解】

当n=1时,xwQi,x=0,xx=0,故[xx]=0,即a,=1,

当n=2时,xe0,2,x=0,1,xxe01,2，故[xx]=0,1,即4=2,

当n=3时,xe0,3,x=0,1,2,xxe0J1,2J4,6，故[XX]=0,1,4,5,即为=4.

以此类推，当nz2,xeO.n时,x=0.1.Z...n,

xxe0M1,2u4,6^[(n-l^.rXn-l),故[xx]可以取的个数为

,fi-n+2Dn#-0+2--

1+1+2+3+...+D—1-------------.即％=―-~~----,D22

r?-n+2

当n=1时也满足上式，故a.=!；,neN*.

32-3+2

对A.a,==」=4,故A正确.

%2

n2

对B,令an=」-+2=]90=>n-n-378=0无整数解故B错误.

-1_211、

C,

'an+2n(n+1)(n+2)n+1n+2

11111\i2、仁「25

故公陶7+“广••+荷-初)=1-自故5。=1-立7故c正确.

对D,生0="+义-lz2x«回亘-L当且仅当《2=>n=2jiie6.7时取等号.

n2n2V2n22n

因为neN*,当n=6时.生且=6+!，当n=7时,包土耳=6+1,

n6n7

故当n=7时,反匹马取最小值,故D正确.

n

故选：ACD

【点睛】

本题主要考查了数列中的新定义问题，需要根据题意求解通项公式迸行分析，主要考查递推公式推导

通项公式的方法等.属于难题.

三、填空题

13.11.

I解析】

【分析】

fa>a,

n

an=(252n)2e',nz2时，，得到关于n的不等式组，解得n的范围，结合nwN，,

[an>a^}

得到n的值,再与n=1时进行比较，得到答案.

【详解】

令为=(25-2力2)

当n?2时，设名为最大项，则％:心,

,—Awl

(25-2n)2f(27-2n)27

即',

(25-2n)2^'>(23-2n)2n,

.2123

解得24口4/・

而neN',所以n=11

又n=1时，有a；=23〈马=42.

所以数列(25-2n)2"的最大项所在的项数为11.

故答案为：11

【点睛】

本题考查求数列中的最大项，属于简单题.

14.2

【解析】

【分析】

本题先根据递推式的特点可知名工1,然后将递推式可转化为再根据a,=a逐步代入

>~an

前几项即可发现数列an是以最小正周期为4的周期数列.再算出一个周期内的乘积为1,即可根据

前2019项的乘积为3求出a的值.

I详解】

,1+a

解：由题意，根据递推式，a.=1,故递推式可转化为%|=；；~n

I-a„

-1+at1,a+1

Q2019=4*504+3,・二耳,生…％o】9二耳,出,马二a•------=--=3,

1-8\3)3—1

解得a=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查周期数列的判定以及周期数列的性质应用.本题属中档题.

2

17.an=2n-n+2403

【解析】

【分析】

(1)根据款意得知数列।千工1为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列12H的

通项公式，即可求出外；

(2)设a*W-n+ZTOk+ZkwZ,可得出10k=n2n-l,由2n-1为奇数，可得出n为

10的倍数或2n-1为5的奇数倍且n为偶数，求出两种情况下n值的个数，相加即可得出答案.

【详解】

(1)•.•坛F-冬旦2且霁送=1,

所以，数列12H是以1为首项，以2为公差的等差数列，

・・2

•当-2=1+2n-1=2n-1,.\an=2n-n+2；

n

(2)被10整除且余数为2的整数可表示为10k+2keZ,

令4=24-门+2=10/(+2,可得10k=n2n-1,

-.nsN',且1vnw2019,贝iJ2n-1为奇数.

则n为10的倍数，或者2n-1为5的奇数倍且n为偶数.

当n为10的倍数时，n的取值有：10、20、30、…、2010.共201个；

当2n-1为5的奇数倍且n为偶数时，n的取值有：8、18.28、…、2018,共202个.

综上所述，在弓、为、马、…、马。19这2019项中，被10除余2的项数为201+202=403

故答案为：2#-“+2;403.

【点睛】

本题考查数列通项的求解，同时也考查了数列中项的整除问题,考查分类讨论思想的应用，属于中

等逋.

见解析，n

16.(1)an=^-1(2)Sn=1-n«2+1

【解析】

【分析】

(1)根据等差数列的定义即可证明数列一；,是等差数列，并通过数列-----；的通项公式得到

a+Lla.+1j

数列的通项公式;

an

2n

(2)因为。=—；="々"，根据错位相减法即可求出数列0的前n项和S“.

3n+l

【详解】

a「1

(1)因为

an+3

,2a+1

两边都加上1,得a*+1=­n=—

a“+3

1if.2^11111

所以------；=-1+―;=力+―;，即:一o.

a^i+l2、an+1J2an+1+1a^+l2

f11111

所以数列一；是以不为公差，首项为三：=不的等差数列.

1nn

所以:T方=5,即％=

dn+INZ

2n

(2)因为。=-2)所以数列d的前n项和.§,=1«1+2,2'+3,22+...+m2-①

a0+1

23

则2Sn=1x2'+2<2+3>2+...+m2-

>

由①一②，得一Sri=1x1+1x2'+1x22+・“+1xZ'-n-2"=1-n2"-1.

n

所以Sn=n-1-2+l

【点睛】

本题主要考查等差数列的证明，等差数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用.意在考查学生

的数学运算能力,属于中档题.

nn+1,q=1

2n

17.(1)an=2n-1(2)Sn=<ql-q

rr+-------z-,q>0且qw1

、1-w

【解析】

【分析】

(1)设等差数列｛加｝的首项为动，公差为&将条件转化为基本1再迸行计算，得到0和d的值，从

而得到｛aj的通项公式；(2)先得到4的通项，然后当q>0且qHI时，对。进行分组求和，分为一

个等差数列和一个等比数列，分别求和再相加，当q=1时，々是一个等差数列，利用等差数列的求

和公式进行求和.

【详解】

(1)设等差数列｛aj的首项为小，公差为d,

则由35=9,32+36=14

|a)+4d=9|a,=1

得;414解得二O

12al+6d=14Id=2

所以｛a力的通项公式加二2n-1.

⑵由而二2。-1,

得。=2n-1+d>l

当q>0且qHI时,

Sn=[1+3+5+7+...+(2/7-1)]+(</+炉+…+中

4+"

1-q2

当g二1时，bn-2/7,则$=n(0+1).

nn-i-1,q=1

所以数列｛d｝的前〃项和5,=,qi-f

ITH----------=—,q>0且qwl

1-q2

【点睛】

本题考查通过基本量求等差数列的通项公式，分组求和法求数列前n项的和.属于中档题.

18.(1)。不具有性质4具有性质总,理由见解析；(2)证明见解析；(3)3和4.

【解析】

【分析】

求得时,数列｛。｝的前项,可得和首项弓彳导到等差数列的通项，即可判断

(1)n=123456,77d｛an｝

久“是否具有性质兄；

由题意可得代入等差数列的通项公式和求和公式,化简整理可得

(2)-2Aa.“zSn-2Aa0｛a3

入入v-1,结合集合中元素的特点，即可得证;

(3)求得n=123,4,的特点，结合k=3456集合的特点,即可得到所求取值.

【详解】

解：(i)由工+；=2+；=_匕得自=_4,

E+a=h+4+4+a=_4