高中数学奇偶性

函数的基本性质

函数居描述小物运动变化规律的数学模见如果r

解「雨效的交化规律.那么也就网本把握r相应小物的在事物*化过催中隹

变化规m.内此研究函数的性班,如函数在什么时蟆递挣不变、计征我是送个'#物

增或递状•%没〃最大值或最小价•函数图象勺什么特的H叱

征等，足非常币要的.1Jj

观察图1.31中的各个函数图象.你健说说它们分

别反映「柑应函数的哪此变化规律吗？

观赛图1.3-2.可以行到,

历数/（.’>，的图象山左至公是上升•的,函数八，），的图象住.v轴左倒是b

27

CHAPTER音通高中潭推标准买当教科书敛学，磔修

降的.A：vWi/ifflw।升的.函数图象的r升“一卜降”反映「雨故的•个联本性

质单一n.那么.加何描述函数佟।煞的“।升”“卜降”呢？

以：次雨粒儿，)，为例.列出八.V的对应他农13.

表1-3

•T••,-4—3—2—10I234

/(.r>J:…169II0II916…

*|比图1.32(2)和&I3.可以发现:

旧经C.v$IM俐"MF.也就是.fiKHiK.(>I.Mi6，的增人.一应的/(，)

反而劭&城小：窗软住、刘小俐-l.fl".也就是.fi：K|hj(o.)I.WJI,，的增大.

相应的/<，)也R”f增大.

|务?如何利用由畋修析式,/Cr)=L描述着工的增大.相应的/(，)陨

<1I次雨tt1<>)，.我内可以这样描述"6区间

«>.4->|.隔若，的增大.相应的/<.，)也随音增大”,fljx你能仿断也样

阿(0•>I.(fIRA1'11•.«•i!!i1]/(.ii><,.n>)的橘此•汉呵矫H

/(.»).»ti区W

，."ii,<ii|.fl/(.,,)/(,).这时.我们就说成数

.J<♦"I上用或西

/-<<>।fi：K|iil«>.j)|.足增函数.

般地.设雨数八，)的定义域为/：

如果U卜定义域/内乂个M.间〃卜的任点曲1、自叫1的侑，•，•"i，，时•都

{1Hi>/(.，.>•小么就说函数/，.一在区间”I:兄；:‘口故(incn.isingrunction)(!?1

1.33(I))：

如果对卜定义域/内某个区同〃I•.的任电两个门变试的侑......，，，，时•都

〃/<，"/<<>.那么就说函数/<，)住区间〃I：足减3故(dccu-.iMiigfuiK-uon)

<|V|1.33(2)).

II2«

第一章集合与函数微念第i章

如枭函故V/＜，）作区间〃卜.足增函数或武函数.那么就说函数V这K.fHl

JUl（严格的）单调件.区间〃叫做.V”，）的单谢区间.

例1-1.3I一定义作区间[-5.5]上的函数N/（，）.根据图象说出函数的单

明区间.以及何步小湖区间上.它於增雨数还是减雨数?

用1.37

解：雨数.v/（.r）的单调区网“[5.2）.|2.I）.[1.3）.[3.5].其中,、

/（，）住区间5.2）.[1.3）|：址减雨数.住X间[2.D.[3.5]卜必增函数.

例2物叫1学中的跛意库定律/，§3为正常数）3诉我倒.对J•定M的体.

当其体枳V减小时.压强。将增大.试川南数的单两性证明之.

分析：按理点.只要证明函数/，:.作区间（，）.+）1:足谶函数即可.

证明：根据单谢性的定义.设v.V是定义域“）.+,）I的任急两个实效.IL

V,V.则

illV.6(0.4->.i!JV,V-()：

IIIV.i'.l\-\\o.

乂A12

/f(\)//(\)o.

/＞（Vi）//（V）.

所以.函故/，f..ve（（）.）足改函数.也就是说.当体视VM小时.儿强/，将

增大.

29

CHAPTER售通言中课程标准实珍教科书数学,必修

言出反比例函数F1.的用象.通过电补用求.t对品

能；16K布K什*4帅出价

<I'：•'•./想％后通过正行加电.证

明送件精想的£硝巾.乂研

<：-'/

tAltM，*的一件聿H]

结论.方法.

我一再来观察本N的图1.3?.比较此中的两个函数图象.可以发现.南散八，），

的图较MiT最低点（<>.”）.即对「住盘的.WR.都〃/（，）/,<<•>>"•个雨数，（，）

的图象低点时•代们就说函数/（，）仃以小侑.向函数/<，），的田依没外尺低点•所

以雨敢/（，），没仃坡小值.

你能以而ft/<r）.，为例说明的做/<,«）的最大ffl的含义吗？

般地.一雨数.V/（，>的定义域为/.如果住在实数M满足:

（II时J的，e/.—/（.，）Ml

<2>（（（IIeI.I'hi!]/<（）M.

那么.我们称M足函数、/（，>的显大值<niaxiniuintnluc）.

'；考?才./仿照函数最大tfl的定义.给出由垃N/1，）的显小/1（minimum

一value）的定义吗？

例3“幼佗”烟花足一刈：例的烟花之-.制造时股足191中作它达列一高点时爆

我.如果烟佗即他血的高收〃，m叮时间人之间的关系为/，⑺I.!（/,I11.7/IIX•那么

II3()

第一事集合与函数杈念第一章

烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时驯？这时即地iAi的高收

是多少（精确到1m>?

解：作出函数/，（/）I.!>/+II.7/+IX的图象

（图1.3>）.显然.南敌图象的顶点就总烟花卜开的此高点.顶

点的横坐而就足烟花爆裂的豪住时刻，纵坐标就是这时般地而

的而收.

M总it计*

犹是捺帆送些H

W%<引L；的S

度.>t>i列AA

炳尼的靛川效W.

用1.3s

山：次函数的知识,对「雨数%"）1.9/11.7/418.我们仃:

”9）L5时.函数有以大值

I■<I.!)>•IK11.7

1X(-^!.!!)

广」.烟花冲出后1.5、足它爆裂的坡住时刻.这时跟地面的高度约为29小

例4已知由故/（r>,2］（r€2.6］）.求函数的公大值和批小hi

分析：山函数/（.，），2］（，£［2.6］）的图象

（图I.3M）可知.函数人.r>~.6：|<|11|2.*i|

x~1

卜递陈所IN.函故人,）~.6Jx：f.iJ|2,1»J

.r-I

的两个端点「分别取得取大值和最小侑.

解：设，.，是区间〔2・6I.一任蠢两个

实数・.，.则

Ill1.4，・

2((.11)-(./,-I)]

(.r.I)(.rI)

2(.r-X|)

(.rtI)(.rII*

ill211-i6.得，.i0・(.iI)(./0.

31II

CHAPTER魅通高中课程标准实险教科书题学/必能

JW

/（/）JXJ）«・

即

八.，）/（I）.

所叫雨数八，）2JiKM[2.（;卜的战函故.

,rI

7

14此.南故八，）「/」4间2.，；的两个端点I.分别收得吊火仙,佩小他.即

（\>2WN<WMkfrt.A，<；时收得此小俏.搔小一足”.1.

铸习

I.诸根州卜1、1描述乂我配线的小户依卡）乍户,"II人数A间的大系.

2.1个1:1<X,IKt-I2,HO）人'd*他—.中午时分（12,00|：；.（HI）场Ml4由他人’I

愣”油臾。T工—风雨过后•大’国眠.一到太阳曲h<I&«<»，乂"蛤〃冲..mill这

kx：•"•moolWM'CiUfl力时向南数的回旋的图象.并说出HiK雨敌的小MK间.

3.根堀卜IM设出南故的小利|4向・队及。:M•小汹1〈阿卜.•炳数比增雨畋还是M南故.

I.id：叫雨故H<•.ICiKI兄状南数.

：，.世/<.，>上正又住区网r..II。的雨数.如果八八住14间«.2|I6l<M

I-I逑增.的小“，>的卜大，的图软.从图，1小“幺发现〃的

第一蒙集合与函数慨念第一章

奇偶性

■..I...:

这两个由故旧象有什么共同力衽吗？

(2)相应的两个由敬(ft对应表是如何体现这些朴»的？

我做4到.这网个雨数的图象都关J.、，轴对称.那么.如何利川函数斛析式描述函也

图象的这个特仙呢？

从函数仇讨应我可以行到.“"I变Qj取对相反数时.相应的网卜函数做HI同.

例如.对卜函数/(.»).<<|：

./(3)9/(3)：

谪你体配送

/(2)I/(2>；

fitR.讹叫由

/(1)1/(1).il/<Hf也是

实际I•<4JK内任意的•个，•都仃八•)(，)•

八”这时我的称南数/(Q.，为偶函数.

般地.如果对广南数“，)的定义域内任彦•个人都有”，)/(，)・那么雨故

/(.r)就叫做偶函数(evenfimclion).

33II

CHAPTER普通吊中课程标准实验敦科书数学/怒解

府川.雨故/⑴，H./U)，二硼偶函数,它们的伯然别如图-8⑴

(2)所小.

我1(16..四个雨故的图象都7<J原点对称.函数图象的Ut

特征•反映作函数句析代「就是:冰仿熙这全

:过也.说.明缶牧

当n变中，取•对相及数时.相应的函数值.八，)也足<1HI

反数./<H［也是*

।加收.

例如・对I雨数/<|)r<|：

/(3)3/(3)：

/(2)2l(2)t

31

第一章联台与函数概念第一•章

/(1)I/(1).

实际I.梢数八，)，定义域R内任.也个都//(,"，八，).这

时我们称函数/(«).，为奇函数.

一般地.如枭对卜函数/(.,)的定义域内住点：个，.都有".»)/＜，).那么南

教/(/)就叫做奇函数(oddfunction).

例5判断卜.列函数的奇偶性：

(1)/(.r)r1:(2)/(.r).r:

(3)/(.，).，+'*(I)f(.r)I.

.r/.r

解(I)J•函数八”)丁・凡定义域为《・+)・

因为对定义域内的海♦个人都一

/(­.r)(T)1.r,/(.，)・

所以.函数/(.|).，'为偶函数.

(2》对「函数/(」)r'・JC定义域为(.I).

因为时定义域内的W♦个人都“

/(.r)(.r)r/(.r).

所以.函故/(」)t为价函数.

⑶对上函数/U).r+-].其定义域为。1，/"一

内为WI定义域内的句•个八部”

/(一.，,)广+,,(-'!)八，,■

II

CHAPTER毋通高中津程标卷奖线我科芬国学，必修

所以.南故八，)，+।为奇南数.

J'

(i><ir用妆”.，>1.H定义域为，.

♦广

内为对「定义"内的，•个，.都仃

K<>,1,1/<，).

<一1).r

所以.雨收/<<>L为偶雨数.

r

舞习

l・M卜的南数的奇斛外：

(I)/(H3,，3,r：(2)/(»)r2，：

(3>/<»I'；I《"/(,)“7.

2.匕加”，)址螂懒数.小八是布僦数.试招卜得补允完」.

3G

第一隶桀合与函数假念第一•章

6g於本

而，您

用计算机绘制函数图象

利用计算机软件可或使拄、迅速地绘制各种乐效图求.不同的计耳机软件绘”1函貌国

象的ft体操作G尽相同.值都是&于我们熟悉的描点作图.即给自变让赋伍.用计算法»1

算出相应的函比值.用由这些对应值生成一系列的点.最后连接这些点描绘出济双圉*.

下面以Excd和.儿何画板为例.介绍用计耳机软件作品效留象的方小.

1.川-Excel"绘制国.故.v.r的曲束

<l)4T^Excel.在一列检人自变量的位：

(2)把先标移到〃网.在据辑框把入计算法则-HIWER(A：A.3)-.I-J1.在

8列生成相应的茶做值.如图I所示；

(3)选中41梯区域八.liH.执行“插入►fflA."命令.在“图A类吧”中选择"XY

散点国”.根据高曼在“子困人先史”中选择其一.然心按照对话框中的提示.尤反制图

操作.就可得到如图2所示的函示y，的图堂.

2.川、几何画板绘制品就Nhr(A/0)的图案

(I)打开几何用板.通过执行“均造平行线和“构造—生成平行于，轴的

fUttAli,将\典定于、,构.H为动点.迫中”点.执行“凡能假坐标”选项.画板上

昊示的点”的俯上标，“就是摹轨/，的值.

(2)找行”用女新戊品数”.在对话相内输入品软入达式-Xn«XA2".执行“田表

绘财新函敦”.即七成.由效图色.如用3.

37II

CHAPTER普通离中课程标准实验教科书数学/必修

,/你左右移动”点的fi.K时.济ft,v/，.，（/，/<））就会"动"起来.如用I.如米有

条件.击你绘M国tiy，，,，hrI<（«/（））的图象.并界究系R“./»..用翼的

当脸.

II3S

第一章集W与函数修念第一章

A组

I.眄出卜列加数的国软.并根据图象说出函数y/（，）的单网M.间.以及在各中网X间I雨故

v〃，）足增求数还是被函数.

（I）y=/一5/—6,（2）丫-9一/,

2.2孙

（I）FHtt/（.r）r+1A-<.OM.是M雨数；

（2）而改/（j）1；ft（.（））IJZirtwitt.

3.探究•次雨牧.、・，"，卜〃<.，6R>的单调件.并d明你的结论.

I.名心平过逑忠片眼川丛种西物后心率*闺明yz慢.之埼随/例”的曲退.心率种次悔微升

A.Miimmw重起.心率关于时间的一个可能的用于（小危图，.

S.臬汉,I削货公“I的”收益.V，L。施辆不的“机金，兀何的关系为.V<■+162,21<M>0.那

□U

么.一辆不附〃租金多少元时.机货公司的月收薇最大？觥大力收益是多少?

6・12如丽数八.『）是定义4RI的奇函数.当，r时./（./>«+」）.・出•救/"）的图柒・

并求出南数的解析式.

B组

1.已知函数〃八•12.1.«（z），2『（.rS「2.I!）.

⑴求/<J）.#（」）的单调|区间:（2）求/（」）・#J）的最小做.

2.如图所示.动物网要建造血球墙的2间血根相同的矩形熊猫居室.如果可供他独用战的材料

总长是30m.那么宽上（维位,2为多少才使便所建番的年间第第居空而队易大？修间熊猫

居室的最大而机是多少？

（牛2胞，

3.巳知函数/（，》般@|南数・而且在（0・+,）匕足减/敷・n»/（.r）ft（・。）上是堆的故迳

是减雨数.并id明你的判断.

^gVUfK'^h

39

CHAPTER普通扇中课槿标准实验教科书数学/0修

nI；世纪近代也学产'I以东•雨故的一念小处-

数学的核心一器.数？:他科学的绝大部分都一—散内容行

大.作数学.物理和儿他学利中.闲妆大系随处可她.例

如.IMIH体的体枳和一血枳是JIT•的雨数.海体脑胀的

体积/温爱的闲数.运动物体的路fV是时间的一数.

等等.

M川心他杀.「泛网沙、仔细观察.就会作很£1汨.网页中发现〃关南效的介

；绍.也使在'1油中发现i'l匕函收应川的无例.

一据卜向的建议胤及提供的参考选题和途花.请同学们亲n「解雨故的发展历程及H

:广泛应川.

-.实习目的

।.「解雨故形成、发展的w史.

2.体验介作《习的“人

-.操作建议

I.述密.根一个人洪鹿初步确定实习作业的选题他围.

2.分川.3G人为一个实习小狄确定•个人为州氏.

；.分改任%.根据个人情况和优势.经小组共同商议•由绢长倘定W个人的人体

:任芬.

I.一■优料.一时一体受习,”•■过各种方州搜柒索材・包括文下.图片.数据以

及杵仅优料』•并壮笳相关资料.

，.5Mil总.川实习损告的旧人展现小组的实，J成枭.

G.个川范阳的灾流.讨论和总结.

三.参考选题

I.南—产，|的社公背俄.

2.雨数慨念发展的历史过程.

工而数付，的故九

I.一，家叮而数.

众多数学家对商数的完将作册「或或.九加JF噬伽利略、hiML.Tt«i.

1名和欧］；，*"iiR"k不，或多位数学家.说明他雨牧发展作出的力献.的受依学家

的的伸.

同中们””乂从选题中选推.个•mum采川口1_1的的II作为小组坎习作业的

:选密

II

第一聿集合与函数fit念第一章

四.参考途径

I.上美ISIR

梁柒I，.世界数学通史.辽丁载育出版社.

■文俊.世界X%科学家传记•科学出版礼.

<11)Wfft!•一.《雨数住你，边.科学出版社.

2.机关网页

www.|M'p.ix)nucn

五.实习报告的参考形式

参考以卜的咦习报告杉式.设计一个实习报隹

实习报告

年)1II

黝II

||：更

箔注

fil长及叁加人员

指导教岫审核您她

」.•1,•

点共同的，•1仔&做出。己的。献.在合作学:J中.〃

•1•^^•••

时论交潦的中共再患出的这样才能荻。解决何国的「佳方案.

HII

CHAPTER普通鸟中课程标准实险教科书敬学/必修

小结

本堂知识结构

二.回顾与思考

I.一企讲A4现代数学的后本语4.使川柒介一;i可以箍沾.*确地&达故学的内

曾请结介实例.分捌用力然诏言.集合偌言（列举法或描述法人国/ifhT描述蝴假

JIT同学之旅川第介语甫我达数学内容的优点.

•个，介中的无奈应该是确定的."计的、AJi1的.你能结介例「咏说明人介的这

北求木鳖求吗?

如一类比两1、数的关系思号两个架介之间的四本关系（包含.HI等）?

如何箕比必卜数的达。思芍两个丸介之间的磔木运0（并.£补）？

2.住付储我们运川人介,川应的皤；进•一描述「雨故微念.1制中的函数定义

相比较.突出「卜购数假念的木质，两个数集间的种确定的M应火系；叫确「函数的•:

个构成卷#3定义域.时应关系和值域：叫人广函数符“，.、，/（，）.

通过本靠学习.你财函数一念仃什么新的认双和体会吗?

3.函数止描述变H之间依帧大系的市收数学校的函数的人小方法卜世有解析法,

图象法，列&法.种.作解决同题时•而到不同的曲耍•选择而'*1的方法表示函数是很

［婴的.请你结介具体寞例•分析,比较这种/（，］；〃法的特点.

II

第一方集合与函数假念第i章

1.研究雨数的性质不仅是解决实际问题的席赞.也足数学本。的自然要求.例

如：小物的变化超势.时称性.川料此行.利洞展大、效率最岛等.这些特性反映在函

数上.就是要研究函数的4本件质.如单谢性、最大（小）多和奇偶性等.

在研究这此届本性质时.我们殷是先从儿何仃观（观察图象）人F.然后运用自

然语；描述函数的图象特征.Jft后抽象到函数的符号刻津闱应的敷小特征.这是一个渐

进的过科・也州数学学习和研究中经常使用的方法.请同顾L3在中研究函数性质的整

个过程.并和同学交流你的学习体的

映射

类比联系

）卅.为例.不等小等

特殊化

例如.•次函数.：

次函数.文比例函数.

指数函数.对数而数.

M函数.加函数等

13

复习参考期

A组

I.川外书伙*小1例小介，

<I)A9)J

，：’，"H\I，':

(3)(

2.出P人小，'血内的功臣.UJ卜列集含的也组成什么因花：

(!)/'/*\/*/：<4.两个定点八

(2)；rtn(“足送点八

3.litiftiPHiw«\II/'&小这个T面内峋动点・firthUi华介i9r\r/rnvr\火的点

见什么.

i.已知4，；।，，i.H，〃/i.f\/«'