高中数学第5章导数及其应用53

三十七极大值与极小值

I基础通关»(15分钟30分)

1,下列关于函数的极值的说法正确的是()

A.导数值为0的点一定是函数的极值点

B.函数的极小值一定小于它的极大值

C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值

D.若f(x)在(a,b)内有极值，那么f(x)在(a,b)内不是单调函数

【解析】选D.由极值的概念可知只有D正确.

2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x),且函数y=(1-x>F(x)的图象如图所示，则下列

结论中一定成立的是()

A.函数f(x)有极大值f⑵和极小值f⑴

B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(l)

C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)

D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)

【解析】选D.由图可知，当x<-2时，f(x)>0；当-2<x<l时，f(x)<0；当1<x<2时，

f(x)<0；当x>2时，f(x)>0.由此可以得到函数在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极

小值.

教师

专用【补偿训练】

函数f(X)的导函数f(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是()

A.；为f(x)的极大值点

B.-2为f(x)的极大值点

C.2为f(x)的极大值点

4

D.5为f(x)的极小值点

【解析】选A.对于A选项,当-2<x<g时，f(x)>0,当；<x<2时，f(x)<0,；为f(x)

的极大值点，A选项正确；对于B选项，当x<-2时，式x)<0,当-2<x4时，f(x)>0,

-2为f(x)的极小值点，B选项错误；对于C选项，当;<x<2时，F(x)<0,当x>2时，

f(x)>0,2为f(x)的极小值点，C选项错误；

对于D选项，由于函数y=f(x)为可导函数，

且ND<0，所以,不是长幻的极值点，D选项错误.

3.已知函数f(x)=2x3+ax?+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是()

A.(2,3)

B.(3,+oo)

C.(2,+oo)

D.(-8,3)

【解析】选B.因为f(x)=6x2+2ax+36,且在x=2处有极值，所以f(2)=0,即24+4a+36

2

=0za=-15,所以f(x)=6x-30x+36=6(x-2)(x-3),由P(x)>0得x<2或x>3.

_x

4.已知函数f(x)=2ef(e)lnx--,贝!|函数f(x)的极大值为

2ef(e)i2ef(e)i

【解析】f(x)=-------------，故f(e)=-------------

iv21

解得f(e)=［，所以f(x)=21nx,f(x)=---.

由P(x)>0得0<x<2e,由f(x)<0彳导x>2e.

所以函数f(x)在(0,2e)单调递增，在(2e,+功单调递减，

故f(x)的极大值为f(2e)=21n2e-2=21n2.

答案：21n2

5.已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1.

⑴求a,b的值；

⑵求出函数f(x)的单调区间.

【解析】⑴因为f(x)=3x2_6ax+2b,函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值T,所

以f(l)=-1,f(l)=0,所以1-3a+2b=-1,3-6a+2b=0,

解得a=|,b=,所以f(x)=x3-x2-x.

(2)因为f(x)=3x2-2x-1,

所以由f(x)=3x2-2x-1>0,

得oo,-£)或(1,+oo),

由f(x)=3x2-2x-l<(^^xe(-g,l),

所以函数f(x)的单调增区间为(-8,，(1，+°°)，减区间为(-g，1).

教师

专用

已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.

⑴求a,b的值；

⑵讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.

【解析】(l)f(x)=ex(ax+b)+aex-2x-4

=ex(ax+a+b)-2x-4,f(0)=a+b-4=4,①

又f(0)=b=4,②

由①②可得a=b=4.

(2)f(x)=ex(4x+4)-x2-4x,

贝(If(x)=ex(4x+8)-2x-4=4ex(x+2)-2(x+2)

=(x+2)(4ex-2).令P(x)=0,得xi=-2,X2=-In2,当x变化时,F(x)与f(x)的变化情况如

表：

(—8,(2•(—In2,

X—2—In2

-2)-In2)+00)

/(])+0—0+

f(l)极大极小

f(x)在(-8,-2),(-In2,+co)上单调递增,

在(-2,-In2)上单调递减.

当x=-2时，函数f(x)取得极大值,

极大值为f(-2)=4(1-e-2).

国I能力进阶»(30分钟60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1.(2021.盐城高二检测)已知函数f(x)的导函数P(x)的图象如图，若f(x)在x=xo处有极值，则

xo的值为()

A.-3B.0C.3D.7

【解析】选B.从P(x)的图象可以看出f(x)在(-5,0)上单调递增，在(0,7)上单调递减，所以

f(x)在x=0处有极大值.

2.已知函数f(x)=x3+ax?+bx-a?-7a在x=1处取得极大值10，则£的值为()

A.-§B.-2

2

C.-2或-wD.不存在

【解析】选A.因为F(x)=3x?+2ax+b且f(x)在x=1处取得极大值10,所以「⑴=3+2a+b

=0,

f(l)=l+a+b-a2-7a=10,所以a2+8a+12=0,

所以a=-2,b=1aga=-6,b=9.

a=-2,b=l时，f(x)=3x2-4x+1=(3x-l)(x-1).当§<x<1时，f(x)<0,当x>1时，

F(x)>0,所以f(x)在x=1处取得极小值，与题意不符.

当@=-6,b=9时，f(x)=3x2-i2x+9=3(x-l)(x-3)；当x<1时，f(x)>0,当1<x<3

时,f(x)<0,所以f(x)在x=1处取得极大值，符合题意；

所编=4=1-

3.已知函数f(x)=-*3+笳-4在*=2处取得极值，若m,nd[-1,1],则f(m)+f(n)的最

小值是()

A.-13B,-15C.10D.15

【解析】选A.对函数f(x)求导得f(X)=-3x2+2ax,

由函数f(x)在x=2处取得极值知P(2)=0,

即-3x4+2ax2=0,所以a=3.

由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f(x)=-3x2+6x,

易知f(x)在［-1,0)上单调递减，在(0,1］上单调递增，

所以当m£[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.

又因为f(x)=-3x2+6x的图象开口向下，

且对称轴为x=1,所以当n£[-1,1]时,

?(n)min=？(T)=-9,

故f(m)+?(n)的最小值为-13.

教师

专用

函数f(x)=：x?+(a-l)x-alnx没有极值，则()

A.a=-1B.a>0

C.a<-1D.-1<a<0

【解析】选Af(x)=(x-1)(1+1),x>0,

当aNO时，2+1>0,令f(x)<0,得0<x<1；

令f(x)>0,得x>Lf(x)在x=1处取极小值.

当a<0时，方程1+1=0必有一个正数解*=-a,

2

一、(x-1).....................

①若a=-1,此正数解为x=1,此时f(x)=->0,f(x)在(0,+oo)上单调递增，无极

X

值.

②若时-1,此正数解为x?l,P(x)=0必有2个不同的正数解，如图，则f(x)存在2个极值.综

上，a=-1.

4.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有且只有一个极小值，则()

A.0<b<lB.b<l

C.b>0D.b<；

f(0)<0,f-3b<0z

【解析】选A.f(x)=3x2.3b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则即<

f(1)>0,〔3-3b>0,

解得0<b<1.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y=f(x)的部分图象如图所示则下面结论正确的是()

A.在(1,2)上函数f(x)为增函数

B.在(3,4)上函数f(x)为减函数

C.在(1,3)上函数f(x)有极大值

D.x=3是函数f(x)在区间［1,5］上的极小值点

【解析】选ABC.由图可知，当1<x<2时，f(x)>0,

当2Vx<4时，f(x)<0,当4Vx<5时，f(x)>0,

所以x=2是函数f(x)的极大值点，x=4是函数f(x)的极小值点，故A,B,C正确，D错误.

6.对于函数f(x)=x3-3x2,给出选项中正确的是()

A.f(x)是增函数，无极值

B.f(x)是减函数，无极值

c.f(x)的单调递增区间为(-8,0),(2,+8),单调递减区间为(0,2)

D.f(0)=0是极大值，f(2)=-4是极小值

【解析】选CD.f(x)=3x2-6x.

令F(x)=3x2-6x>0,彳导x>2或x<0；

令f(x)=3x2-6x<0,得0<X<2,所以函数f(x)在区间(-00,0)和(2,+oo)上单调递增,在

区间(0,2)上单调递减.

当x=0和x=2时，函数分别取得极大值0和极小值-4.

三、填空题(每小题5分，共10分)

2

7.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+l在点(1,f(l))处的切线斜率为3,且x=§是y=f(x)的极值

点，贝！Ja+b=.

【解析】因为f(x)=3x2+2ax+b,

f(1)=3,

3+2a+b=3,

即,44

§+§a+b=O.

角军得a=2,b=-4,所以a+b=2-4=-2.

答案：-2

8.已知a为常数，函数f(x)=xInx-ax?+x有两个极值点，则实数a的取值范围为.

【解析】f(x)=Inx+2-2ax,函数f(x)有两个极值点,则P(x)有两个零点,即函数y=Inx与

函数y=2ax-2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，

_____e

要使函数图象有两个交点，则0<2a<e即0<a<].

答案：0<a4

四、解答题(每小题10分，共20分)

9.函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在原点相切,若函数的极小值为-4.

⑴求a,b,c的值；

⑵求函数的单调递减区间.

【解析】⑴因为函数的图象经过点(0,0),易得c=0.

又图象与x轴相切于点(0,0),且y'=3x2+2ax+b,

故0=3x02+2ax0+b,解得b=0.

所以y=x3+ax2，则y'=3x2+2ax.

2

令y'=0,解得x=0aEx=-ga,

2_..

即*=0和*=-]a是极值点.

由图象知函数在x=0处取极大值，

2

故在x=-ga处取极小值.

当x=Ja时，函数有极小值-4,

整理得a3=-27,解得a=-3.

故2=-3,b=0,c=0.

⑵由(1)得y=x3-3x2,贝!]丫,=3x2-6x,

令yr<0,即3x2_6x<0,

解得0<x<2,

所以函数的单调递减区间是(0,2).

10.设函数f(x)=-1X3+X2+(m2-l)x(xeR),其中m>0.

⑴当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(l))处的切线的斜率；

⑵求函数f(x)的单调区间与极值.

【解析】⑴当m=1时，f(x)=-|x3+x2,

f(x)=-X?+2x,故f(l)=1.

所以曲线y=f(x)在点(1,f(l))处的切线的斜率为1.

(2)f(x)=-x2+2x+m2-1.

令P(x)=0,角单彳导x=l-m或x=l+m.

因为m>0,所以1+m>l-m.

当X变化时，f(x),f(x)的变化情况如表：

(一8,(1-DI.(1+m,

X1—m1+

1一］)1))+。'：)

/'(1)—0+0—

/(支)4/(1-))1)/(1+M4

所以函数f(x)的单调递减区间为(-00,1-m),(1+m,+00),单调递增区间为(1-m,1+m).

函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(l-m),

21

且f(l-m)=-m3+m2-.

函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m),

21

且f(l+m)=§m3+m2-.

国创新迁移》

1.若x=2是函数f(x)=x(x-m)2的极大值点，求函数f(x)的极大值.

【解析】因为F(x)=(x-m)(3x-m),且f(2)=0,

所以(2-m)(6-m)=0,即m=2或m=6.

⑴当m=2时,f(x)=(x-2)(3x-2),

2

由f(x)>0得x<§或x>2；

由f(x)<0得,<x<2.

所以x=2是f(x)的极小值点，不合题意，故m=2舍去.

(2)当m=6时,f(x)=(x-6)(3x-6),

由P(x)>0得x<2或x>6；由f(x)<0得2<x<6.所以x=2是f(x)的极大值，所以f(2)=2x(2

-6)2=32.

即函数f(x)的极大值为32.

2.(2021.盐城高二检测)已知函数f(x)=ex(x2-ax+a2-3a+1)在x=xi和x=X2时取极值，且

X1<X2.

(1)已知Xi=-2,求X2的值；

⑵已知xi+X2<0,求f(Xl>f(X2)的取值范围.

【解析]⑴因为f(x)=ex(x2-ax+a2-3a+1),

所以f(x)=ex[x2+(2-a)x+a2-4a+1],

因为f(x)在x=Xi和x=X2时取极值，

所以f(Xl)=P(X2)=0,

所以Xi,X2是x2+(2-a)x+a2-4a+1=0的两个不等实根,

所以Xi+X2=-2+x2=a