高中数学-正弦函数余弦函数的图象教学设计学情分析教材分析课后反思

§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

教材分析

本节课是人教版高中数学必修4,第一章《三角函数》第4节《三

角函数的图象与性质》的第一课时，本节内容主要是根据正弦线画出

函数y=sinx,xw[0,2句的图象，利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线,

并且介绍了用“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.绘制余弦函

数图象的过程中蕴涵着化归和转化等数学思想方法，对于进一步探索、

研究正切函数的图象有一定的启发与示范作用，同时也为今后学习正

弦型函数丁=4疝（如+⑼的图象及运用数形结合思想研究正余弦函数

的性质打下坚实的知识基础，因此本节课的内容起到了承上启下的作

用.

学情分析

授课对象为普通高中一年级学生，通过对前三节内容的学习，学

生已经掌握了正弦线、诱导公式等三角函数知识和一些基本函数的图

象及其画法，这为本节课的学习奠定了知识上的基础.利用正弦线画

出正弦函数图象时一，学生难以想到平移正弦线的作用，理解图象的形

成过程有一定的困难.“五点法”画正余弦函数的简图时，由于五点

的选取和往常不一样，因此选取关键点时会遇到一些障碍.

教学目标

重点：正弦函数和余弦函数的图象.

难点：利用正弦线画正弦函数图象，正、余弦函数图象间的关系，

“五点法”画正余弦函数图象.

知识点：正弦函数、余弦函数图象的画法.

能力点：能利用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图.

教育点：通过作图，使学生感受波形曲线的流畅美、对称美，使学

生体会事物周期变化的奥秘、.

自主探究点：探究“五点法”画与正弦函数、余弦函数有关的某些

简单函数在长度为一个周期的闭区间上的简图.

易错点：在五点的选取上，学生对坐标的计算易出现错误.

考试点：正、余弦函数的图象.

课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解正弦函数、余弦

函数图象的作法及他们图象间的关系.

课堂模式学案导学

教学用具多媒体课件、三角板、彩色粉笔

教学过程

一、引入新课

1.复习回顾

问题1:三角函数线的定义，正弦函数、余弦函数的解析式及定

义域是什么？

学生复习回顾单位圆中正弦线、余弦线、正切线的作法，及正弦

函数：y=sinx,xeR,余弦函数：y-cosX,XER.

【设计意图】复习回顾，为利用正弦线画正弦函数做准备.

2.情境引入

师：遇到一个新函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的

形状，

看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质.为了获得正弦函数和

余

弦函数的图象，思考这样一个问题：“装满细沙的漏斗在做单摆运动

时，

沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”思考：该曲线是

何

曲线？你有办法画出该曲线的图象吗？

【设计意图】明确研究思想，利用简谐振动图象引进正弦曲

线、余弦曲线.

问题2:如何画出正弦函数y=sinx,xeR的图象？

学生思考问题2.

二、探究新知

师：我们可以用单位圆中的三角函数线来刻画三角函数，那是否

可以用它来帮助作三角函数图象呢？正弦线有周而复始的变化规律,

因此我们可以先研究如何利用正弦线作出y=sinx,"[0,2句的图象.

教师讲解利用单位圆中的正弦线作正弦函数图象的方法.

问题3：如何得到图象上的一个点，即对于自变量x,如何利用正

弦

线确定它所对应的y的值？

教师将问题分为两步，逐步引导学生.

⑴为什么要从单位圆与X轴交点A开始，将单位圆分成12等份？

学生在教师的指导下，讨论、分析正弦线的特殊位置，说明这样做的

理由.

【设计意图】：使学生认识这样可以把正弦函数有代表性的取值

都包括在内，以便较准确地做出图象，体会用学过的“描点法”作

图象取点的技巧和合理性.

⑵如何利用正弦线描出正弦函数图象上的一些点呢？

教师引导学生分析图象上的点(x,y)与单位圆中的圆心角x及其

对应的正弦线y之间的关系.

【设计意图】：进一步明确如何利用单位圆中的正弦线画正弦函

数图象.

生：按照教科书叙述的步骤,描出12个点,做出函

y=sinx,xe[0,2句的图象.

【设计意图】：培养学生的动手操作能力，形成对正弦函数图象感知.

问题4:如何做出函数y=sinx,xeR的图象？

师：提示学生从诱导公式入手，进行思考.

因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数

y=sin%,xw[2%肛2(%+1)"),伏wZ,Aw0)

的图象，与函数

y=sinx,xe[0,2")

的图象的形状完全一致.于是只要将函数

y=sinx,xe[0,2万)

的图象向左、向右平行移动（每次24个单位长度），就可以得到正

弦函数

y=sinx,XG/?

的图象，即正弦曲线.

生：思考问题，总结规律，动手画图.

【设计意图】：引导学生利用诱导公式（一），只要将函

数y=sinx,xe[0,2万）的图象向左、向右平移（每次2万个单位长度）

就可以得到函数丁=疝—€/?的图象.

问题5:你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适

当的图形变换得到余弦函数的图象吗?

教师先引导学生由诱导公式联想到图形的平移，而后让学生思考

应该怎样平移.

生：学生利用诱导公式，回答正弦函数、余弦函数之间的关系,

再用坐标变换做出余弦函数图象.

由诱导公式六我们有

,,兀、

y-cosx=sm（x+—）,

而函数

y=sin(x+—),xeR

的图象可以通过正弦函数

y=sinx,xe7?

【设计意图】：使学生从函数解析式之间的关系思考函数图象之间的

关系，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法,

让学生感受有了一个函数图象为基础时，可以通过图

象变换得到另一函数的图象，降低作图的难度.

问题6：在作出正弦函数》=而乂％«0,2句的图象时，应抓住哪些关

键点？

生：观察图象，找到正弦函数的五个关键点：（0,0）、（£,1）、（肛0）、

2

37r

（5，-1）、（2肛0）.

【设计意图】：从对图象的整体观察入手，引出“五点法”.

问题7：类似于正弦函数图象的五个关键点，你能找出余弦函数图象

的五个关键点吗？请将它们的坐标写出来，然后作出函数

y=cosx,x£[0,2i]的简图.

a

生：找出五点：(0,1)、令,0)、(肛-1)、磴,0)、(2肛1)，作出

y=cosx,xe[0,2句的简图.

【设计意图】：类比正弦函数，学会“五点法”作余弦函数的简图.

三、理解新知

1.正弦曲线：正弦函数的图象.余弦曲线：余弦函数的图象.

2.“五点法”作正弦曲线、余弦曲线时，找准五个关键点，注意

与诱导公式、坐标变换等知识的联系.

⑴作函数尸sinx,(xeR)的图象，常用的五点：

(0,0),(―,1)>(乃,0),1)>(2肛0)

22

⑵作函数y=cosx,(xeR)的图象，常用的五点：

TT34

(0,1),(-,0),(肛T),(―,0),(2肛1).

22

3.“五点法”作图的步骤：列表一一描点一一连线.

【设计意图】：将“五点法”作图的步骤及注意的问题给学生总结

出来，以便学生更好的运用知识完成例题.

四、运用新知

例题1：ffll出函数y=l+sinx,xe[0,2句的简图:

解：①按五个关键点列表：

X07C713兀24

7~2

sinx010-10

1+sinx12101

②描点并将它们用光滑的曲线连接起来:

y=sinx,xe[0,2^-]

课堂练习：131出函数y=-COSX,XG[0,2;T]的简囱：

解：①按五个关键点列表：

X0717t3兀24

~2

2

cosx10-101

-cosx-1010-1

②描点并将它们用光滑的曲线连接起来:

【设计意图]让学生自己动手，巩固“五点法”作图.

课堂小结

思考：

1.这堂课的主要内容是什么？

2.正弦函数的图象通过怎样的图形变换可以得到余弦函数的图

象？

3.如何用五点法画正弦函数和余弦函数的图象？

先由学生思考回答，教师再补充完善.

l作函数y=sinx,(xeR)的图象，常用的五点：(0,0),(y,l),(乃,0),

(-ys-l)»(2乃,0)

I作函数y=cosx,(xeR)的图象，常用的五点：(0,1),(1,0),(^,-1),

37r

(~^-,0)，(2肛1).

步骤：列表一一描点一一连线.

可以将正弦函数的图象向左平移g个单位长度得到余弦函数的图

象.

【设计意图】：反思学习过程，对研究正弦函数、余弦函数图象的方

法进行概括，深化认识.

课后作业

必做题：画出下列函数的简图.

⑴y-1-cosx,xe[0,2^-](2)y-2cosx,xe[0,

选做题：用五点法国出函数y=sin2x,xe[0,2句的图象.

【设计意图工巩固本节课所学的内容，通过选做题，让学生思考

判断五点的横坐标有什么不同.

答案:

必做题：画出下列函数的简图.

⑴y=1-cosX,XG[0,2TT\

解：①按五个关键点列表:

X071兀3424

7~2

COSX10-101

1-COSX01210

②描点并将它们用光滑的曲线连接起来:

X071713万24

~2T

COSX10-101

2cosx20-202

②描点并将它们用光滑的曲线连接起来:

选做题：用五点法画出函数y=sin2x,xw[0,2句的图象.

①按五个关键点列表：

713兀

2x0n2兀

5~2

X7C71347t

077T

sin2x10-101

②描点并将它们用光滑的曲线连接起来：

八y

y=sin2x,xw[0,2乃]

-\A■/1—＞工

教学反思0年兀TU件2万

1.本节课的设计通过教导发现学生在探究中，通过自己

动脑、动手、与d人讨论交流来获得真知，体现了学生的主体

地位，真正把课堂留给学生.

2.本节课没有好的问题情境，不能很大程度上调动学生学习的积

极性；时间分配不够合理，实际讲课时学生练习的时间不足.

3.建议：学生对正弦函数、余弦函数的图象不好理解，教师在讲

解过程中可以适当增加练习时间，让学生在画图过程中体会图

象的变化特点.

板书设计

§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

I.y=sinx,x&R的图象例题1⑴y=1+sinx,xG[0,2句

2.正弦曲线：正弦函数的图象.

余弦曲线：余弦函数的图象.(2)y=-cosx,xe[0,2/r]

3.作函数y=sinx,xcR的图象，常用的五点:

作函数），=sinx,xeR的图象，常用的五点:

《正弦函数、余弦函数的图象》学情分析

授课对象为普通高中一年级学生，通过对前三节内容的学习，学

生已经掌握了正弦线、诱导公式等三角函数知识和一些基本函数的图

象及其画法，这为本节课的学习奠定了知识上的基础.利用正弦线画

出正弦函数图象时，学生难以想到平移正弦线的作用，理解图象的形

成过程有一定的困难.“五点法”画正余弦函数的简图时，由于五点

的选取和往常不一样，因此选取关键点时会遇到一些障碍.

《正余弦函数的图象》教学效果分析

本节课首先通过一个关于简谐振动的实验引入课题，让学生对正

弦函数的图象有一个直观的认识。这样既激发了学生的学习兴趣，又

很好地将数学与物理联系在一起。为学生了解三角函数模型的实际背

景，认识数学与现实生活及其他学科的联系提供了鲜活的素材。同时,

简谐振动试验形象直观，符合学生的认知规律。

通过简谐振动简单认识了正弦函数的图象以后，我们就着手去画

函数y=sinx的图象，这样学生就遇到一个问题一一描点不易操作。

为了解决这一问题，首先复习三角函数线中的正弦线作以铺垫，进而

让学生找点（3sin3,这体现了从特殊到一般的思想，使学生易于接

33

受。从实际教学来看，效果非常明显，学生很快就找到了描点的方法。

正弦函数的图象顺利作出以后，我们又使用了一个用几何画板做成的

动画加以演示，学生这时情绪高涨，印象非常深刻。紧接着，我们抛

出问题：如何作出余弦函数的图象？我们借助诱导公式和图象平移,

问题便迎刃而解。然后，我们用学生演示的方式让学生自主发现正余

弦函数图象中起关键作用的五个特征点。从而引出“五点法”作图。

教师演示正弦函数，学生完成余弦函数，培养学生自主学习能力，巩

固学习成果。

在应用环节，我们设计了一道例题、一道变式和一道思考题，利

用这几道题对所学内容进行巩固。通过例题和练习的讲解与演练，培

养学生分析问题和解决问题的能力。这里再一次体现了由浅入深、循

序渐进的教学原则。同时，题目还渗透了图象变换的内容，为后续章

节的学习埋下伏笔，做好铺垫。

本节课的主要内容就是函数作图，为了引导学生勤于动手，规范

作图的意识，我们对学生讲义作了设计，为学生提供了坐标系。从实

际操作来看，效果明显。绝大多数同学作图都非常认真，作出的图象

更是整洁、大方。

小结环节充分发挥学生的主动性，让学生总结本节课的收获，通

过教师点评，让学生明确本节课的重点和难点。

总之，本节课充分发挥了学生的主体地位，教师很好地把握了教

师的教与学生的学之间的关系。充分体现了自主学习、探究学习、小

组合作学习等教学理念。通过检测发现，本节课效果很好，达到了预

定目标。

《正弦函数余弦函数的图象》教材分析

本节课是人教版高中数学必修4,第一章《三角函数》第4节《三

角函数的图象与性质》的第一课时，本节内容主要是根据正弦线画出

函数y=sinx,xe[0,2句的图象，利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线,

并且介绍了用“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.绘制余弦函

数图象的过程中蕴涵着化归和转化等数学思想方法，对于进一步探索、

研究正切函数的图象有一定的启发与示范作用，同时也为今后学习正

弦型函数丁=4曲（8+。）的图象及运用数形结合思想研究正余弦函数

的性质打下坚实的知识基础，因此本节课的内容起到了承上启下的作

用.

《正弦函数、余弦函数的图象》评测练习

1、利用五点作图法作出丁=17抽乂》引0,2汨的图象.

2、利用五点作图法作出V=2-3COSX,XG[-2肛2汨的图象

.71

V=sin(2x----),XG[-271,2TC\

3、利用五点作图法作出.3的图象

兀

一，一,,,y=3sin(2x+—)+1,xG2TT]一

4、利用平移作图法作出.6的图象.

5、作出尸忖时与);=5诃目/€[-2肛21]的图象

(l)sinx<;(2)cosx>^-

6、利用图象法解不等式：22

7、求方程sinx=lgx的解得个数.

正弦函数、余弦函数的图像课后反思

通过这节课的学习，学生掌握了正余弦函数图像特点，取得了较

好效果。课后我认真观看录像，进行了深入的思考总结.总体而言，

这节课是比较成功的，特别是对学情的把握，师生的互动，对细节方

面的处理，过渡性语言的设计，等等，都多比较到位，在课堂教学有

效性方面处理也很得力。

这节课的亮点有以下几个方面：

1、整堂课的教学设计体现了充分备学生的特点。根据学生的实

际情况，对教学内容大胆地整改，使得教学难度适中，真正做到了因

材施教。

2、数学总是要在游戏中学习的。本课开场白我通过简单的学生

活动，巧借学生的好胜心理和爱表现天性，激