实变函数试题库

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一、填空题

1.设Aa=/,2］,〃=1,2,,则limAH=.

n

2.（“力）（-，+8）,因为存在两个集合之间的一一映射为-----.

3.设E是R?中函数的图形上的点所组成的集合，则

0,x=0

E'=E°=

9・

4.若集合EuR“满足£'u£,则后为集.

5.若（见"）是直线上开集G的一个构成区间，贝！］（,，刀）满足:.

6.设E是闭区间［a,句中的全体无理数集，则mE=..

加E［力（％）/〃x）］=0｛力（％）｝£上

8.设石uR〃，％。GR”,若,则称工。是E的聚点.

9.设｛.%（“）｝是E上几乎处处有限的可测函数列，fix）是£上几乎处处有

限的可测函数，若Tb>°,有,则称｛力（“）｝在E上依测

度收敛于f（x）.

1。.设力⑶=则/力3｝的子列优㈤｝,使得

13.（°」）到（氏+份的双射是.

14.E的全体聚点所组成的集合包含于E的充要条件是

15.【°1］中无理数集的外测度为.

16.R"中所有开集生成的a代数记为B,称B中的集合为.

17.若/"=°,则对任意的点集B,必有机（46）=.

18.当E为闭区间时，m*E=.

19.设函数/（X）在可测集E上几乎处处有限，若对任意给定的S〉°,存在E中

的一个闭集尸，使，"（£"）＜%且/（X）在F上连续，则/（X）是可测集£上的

20.是否存在开集使其余集仍为开集（是或不是选其一填写）.

21.如果,则称后是自密集，如果,则称£是开集,

如果,石'（=石则称/是.

00

G=C\G.

22.设G表示为一列开集GJ之交集：I则G称为.

23.若F表示为一列闭集⑹｝之并集：I,则/称为.

24.V。，8€尺”＞。），/在E上可测，贝！|£（/2。）一七（/之»=.

25.Cantor集的外测度为.

26.（Fatou引理）设"，-是可测集EuR“上一列非负可测函数，则.

二、选择题

1.设C为。1］中Cantor集，则下面说法错误的是:（）

A.。是闭集.C.C=0.

B.。是完全集.D.。是可数集

2.设/（x）,£.（同伙=1,2,）是上几乎处处有限的可测函数，关于函数列

｛£《）｝的各种收敛性之间的关系，正确的是（）

A.若十/（》），则

B.若人（x）f^/（x）,则人（x）+/（x）.

C.若加（£）＜”，且则A（x）＞

D.若m（E）＜小，且£（x）器-＞/（x），则£（%）—^/（x）・

3.下列关于开集和闭集的性质中，错误的是（）

A.0,R既是开集，又是闭集.

B.R”中的开集和闭集一样多.

C.设｛7｝着是R"中的一个开集列，则其并集'G.是开集.

k=]

D.设｛鼻｝乙是R"中的一个闭集列，则其交集’&是闭集.

k=i

4.在下面命题中正确的是（）

A.若E为R"中的无界集，则〃2（E）=+oo.

B.若E为H”中的可测集，且E中至少有一个内点，则根（£）＞0.

C.设E是[0』中的可测集,且加㈤=1,则〃?（E）=1.

D.若加（£）=0,则E为R"中的可数集.

5.下列命题正确的是（）

A.若“X）在点集EuR"上可测，则|/（x）|在E上可测，反之亦然.

B.若〃x）在点集EuR"上可测，则,尸（另在E上可测，反之亦然.

C.若在点集上可测，则尸（%）在E上可测，反之亦然.

D.设点集EuR",则维（x）是R"上的可测函数.

三、判断题.正确的证明，错误的举反例.

1.若A,3可测，Au5且则加A＜加3.

2.设七为点集，P丈E,则P是七的外点.

3.点集E=｛1,2,｝是闭集.

n

4.任意多个闭集的并集是闭集.

5.若EuR〃,满足rnE=+8,则£为无限集合.

6.若E与它的真子集对等，则E一定是有限集.

7.凡非负可测函数都是心可积的.

8.设A为“空间中一非空集，若则入Ka

9.设E为可测集，则存在G。•型集/，使得RuE,且皿石-尸)=0.

10.A")在[a,b]上心可积，贝/(x)在[a,b]R可积且⑷1“用

四、计算证明题

L证明:A-(5W)=(A叫(AC)

2.设M是W空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心，有理数为半径的

球的全体，证明M为可数集.

3.设£uR',£u纥.，且瓦为可测集，/=1,2,•根据题意，若有

m*(B「E)-O,(ifco),证明旧是可测集.

4.设P是集，，求(L)「/(x)dx..

[x2,xe[0,l]-P°

5.设函数/(x)在Cantor集《中点x上取值为一,而在兄的余集中长为

111

右的构成区间上取值为=1,2,,求rff(x)dx..

36J。

[.xf1nX.31

lim(R)-----^-sinnxdx

6.求极限：〃-8i0\+nx-

7.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集.

8.E"上全体有理数点集的外测度为零.

9.设函数列在E上依测度收敛了,且力，于E,贝！于E.

10.设A©在L-+司上可积，则图“(X+。-/⑴向=°.

「rnx•

lim(L)-------T-y^mnvcdx

ILwJoi+/nx.

0000

limA,=A„

0

12、证明—n=ln1=n

13、设玛=｛（乂，）卢/<1｝。求&在R2内的匕E2f瓦。

14、若EUR",对V£>0,存在开集G,使得EuG且满足m*（G-E）（巴

证明E是可测集。

15、试构造一个闭的疏朗的集合Eu[O,l],“-2O

16、设在E上力（%）=/（x）,且力（X）（力+O几乎处处成立，“=L2,3,…，则

有｛.力（X）1a.e.收敛于/（"）o

17、设Eu*,f（x）是E上ae有限的可测函数。证明存在定义于“上的一列

连续函数｛g,（x）｝,使得㈣且"（幻=/3于石。

rf|一（%）|/「

limI''dx=O

18、设初E<8，1｝为a.e有限可测函数列，证明：""'T+成（刈的

充要条件是工小）=°。

20、设，您<8,a.e.有限的可测函数列力J）和g,（x）,"=1,2,3,…,分别依

测度收敛于/（%）和g（%）,证明力⑴+8/幻=/⑴+8⑴。

----=(1-x)+(f-X)+,•,,0<x<1,

21、试从1+x求证

In2=1-----1---------1-

234

A(C,纥)=(A-B,,)

23.设A是一个集合，｛4』、｛纥｝是两个集列，证明:

24.设｛工，）是出，加上一列几乎处处有限的可测函