新教材人教B版高中数学选择性必修第一册1 .1 空间向量及其运算

1.1空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其运算.................................................-1-

1.1.2空间向量基本定理..................................................-9-

1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系..................................-16-

1.1.1空间向量及其运算

1.下列命题中为真命题的是（）

A.向量荏与瓦5的长度相等

B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆

C.空间向量就是空间中的一条有向线段

D.不相等的两个空间向量的模必不相等

函A

2.下列向量的运算结果为零向量的是（）

A.5C+ABB.RM+MN+~MP

C.MP+GM+7Q+QGD.5C+CA+AB+'CD

3.已知ei,e2为单位向量，且e」e2,若2=2€1+3€2万=依|-4€2担_1_1）,贝!）实数k的值为

（）

A.-6B.6

C.3D.-3

|解析|由题意可得a-b=O,ei-e2=0,|e11=|e21=1,

所以（2ei+3e2＞（kei-4e2）=0,所以2h12=0,

所以k=6.故选B.

4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于。，点E,F分别是BCAD的

中点，则版•存的值为（）

A.a2B.总

2

C「.—1。2Dn.—遍a2

44

ggc

-AF=I（AB+AC）-^AD

=^（AB-AD+AC-AD）

1（11）12

=-\aXQX-+QXQX-'=-6T.

4224

5.（多选）已知四边形ABCD为矩形,PA_L平面ABC。连接AC,BDP8,PCPD,则下列

各组向量中，数量积一定为零的是（）

AJ?与前B.万彳与丽

C.而与同D.港与而

|答案|BCD

|解析|玩-BD=（PA+AB+BC\（BA4-AD）

TA-BA+AB-BA+BC-BA+~PA-AD+AB-AD+BC-

^4D=-(AB)2+(FC)2#).

因为PA，平面ABC。,所以PA_LCD,

即方•而=0,

又因为AOLAB4OLPA,所以A。，平面PA3,所以AOLPB,所以方•丽=0,同

理丽•荏=0,因此B,C,D中的数量积均为0.故选B,C,D.

6.设ei,e2是平面内不共线的向量,已知费=2ei+依2,方=ei+3e2,CD=2eie,若A,B,D

三点共线，则k=.

年-8

7.化简*a+2b-3（:）+5（氢-刑+1c）-3（a-2b+c）=.

|gg|a+Q

8.如图，平行六面体ABCD-AB'CD1,AB=AD^1AA'=2,ZBAD=ZBAA'=Z

D44=60°,则AC的长为.

答案Im

|解树而|2=|而+5C+CC\2=AB2+~BC2+W2+2AB-~BC+2BC-CC+2AB-CC

=l2+l2+22+2xlxlxcos60°+2x1x2xcos60°+2xlx2xcos60°=11,则

|^4C|=Vn.

9.在四面体ABCD中,E尸分别为棱AC,BD的中点，求证:希+CB+AD+CD=4EF.

|证明|左边=（荏+AD）+（CB+CD）

=2AF+2CF=2（AF+浸）=4前=右边,得证.

10.

如图，在正方体ABCD-AiBCDi中，瓦厂分别是C\D\,D\D的中点，正方体的棱长为1.

⑴求<3,而〉的余弦值；

⑵求证:西1EF.

（l）^f4F=AD+DF=AO+通CE=CQ+CXE=A&+；CO=AAr-^AB.

因为荏­AD=0jB-A47=O,AD-西=0,

所以丽•荏=（踞-g希）•（近+；丽）

~2

又|福=|函=*所以cos〈函万>=|.

(2)|证明西=BD+西=^AD-AB+田方=西+D^F=-|(AB+码)，

所以西•丽=0,所以西1£F.

11.已知空间向量a=(f,l,t),b=(f-2,f,l),则|a-b|的最小值为()

A.V2B.V3C.2D.4

|ggc

|解析|*a=(r,l,r),b=(r-2,/,l),

.：a-b=(2,l"-l),则|a-b|=J22+(1-t)2+(t-1)2=J2(t-1)2+4,

.:当t=l时,|a-b|取最小值为2.故选C.

12.设平面上有四个互异的点A,3,CQ,已知(而+DC-Q^A)-(AB-n)=0,则△ABC

是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.钝角三角形D.锐角三角形

ggB

I解析I因为赤+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB4-前,所以(方+AC\(AB-

左)二|荏门mF=0,所以|南|二|北|,即1台。是等腰三南形.

13.如图，已知PA_L平面ABC,ZABC=nO°,PA=AB=BC=6,则PC等于()

A.6V2B.6C.12D.144

2

I解树因为丽=可+而+近,所以无2=PA2+^2+~BC+2PA-AB+2PA-

~BC+2AB-BC=36+36+36+2x36xcos60°=144,所以PC=12.

14.给出下列几个命题：

①方向相反的两个向量是相反向量；

②^|a|=|b|,则a=b或a=-b;

•寸于任意向量a,b泌有|a+b|W|a|+|b|.

其中所有真命题的序号为.

gg③

解相对于⑦，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①^误;对于②若

|a|=|b|,则a与b的长度相等,但方向没有任何联系，故不正确;只有③正确.

15.等边三角形A8C中,P在线段AB上，且丽=%荏，若而-AB=PA-而,则实数2的

值为.

ggl-y

解析设|AB|=a(a>0),

由题知,0<4<1.如图,

CP=^AC+AP

--------->,)

=-AC+AAB,

故而•荏=(%荏-AC)-AB

=A\AB\2-\AB114cleOSA=a2X--a2,

—>—>—>—>

PZ・PB=(U43)・(1J)4B

二2(九1)|AB|2二2(2-1)。2,

则a22-1a2=2(A-1)a2,

解得丸=1孚2=1+日舍).

16.如图，平面a,平面为4。，45,8。，48,且48=4,4。=6,8。=8,用刀,正,前表示

CD=,\CD|=.

-AC+BD2V29

I解析I".'CD=CA+AB+~^D=AB-'AC+~BD,

/.CD2=(AB-AC+BD)2

=AB2+AC2+BD2-?1B-AC+2AB-BD-2AC-BD=l6+36+64=ll6,.".

|CD|=2V29.

17.已知ABC。/5czy是平行六面体的中点为E,点F为DC'上一点，且

2

D'F=-D'C'.

3

(1)化简曰府+配+|南；

⑵设点M是底面ABCD的中心，点N是侧面8CCR对角线上的:分点(靠近C\

设丽=a荏+而+/而,试求a,p,y的值.

解⑴由4r的中点为£,得［府=EA,

又近=初，。尸=|℃,

因此।荏=|前=而从吗前+就+|荏=而+初+而^就

---------»---------»-------->1-------->Q-------->1-------->------->Q-------»-------->1-------->

⑵MN=MB+BN=”B+.BC=：(DA+AB)+*BC+CC')=^(-AD+

南)+[(而+府)=g南+3通+|府，因此a=[/=；,y=|.

18.如图，在三棱柱ABC-AliG中,MN分别是A1&B1G上的点，且

8M=2AiM,GN=2BiN.设施=a，前=bJX=c.

(1)试用a,b,c表示向量MN;

⑵若NBAC=90°,N3AAI=NC4AI=60°,A8=AC=AAi=l,求MN的长.

g(iw=西+&B；+FJV

=-B+AB+581cl——(c-a)+a+~(b-a)

=-a+-b+-c.

333

(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a-b+2b-c+2a-c=1+1+1+0+2x1x1x|+2x1x1寿5,所

以|a+b+c|=V^,

所以|MN|司a+b+cl若，即MN若.

19.

/aLB/

如图所示，已知线段AB在平面a内，线段AC_La,线段3。J_A民且AB=1,AC=BD=24,

线段3。与a所成的角为30°,求CO的长.

假由AC_La,可知

过点D作DD\la,

Di为垂足，连接BDi,

则NDBDi为BD与a所成的角，即NDBDi=30°,所以NBDDi=60°，因为AC,

0。。|，。,所以4。〃。。1,所以＜刀,而＞=60°,所以＜刀,百行＞=120°.又而=

CA+AB+BD,

所以|而|2=(85+AB+BD)2=\CA\1+\AB\1+\BD\2+2CA-AB+2CA-BD+2AB-

BD.

因为BD1AB,AC±AB,

所以就•布=0,而-AB=0.

故而|2=函2+|砌2+|丽2+2方.品

=242+72+242+2x24x24xcos120°=625,

所以|而|=25,即CD的长是25.

20.如图所示，在矩形ABCD^,AB=l,BC=a,PA±平面ABCD（点、P位于平面ABCD的

上方），则边BC上是否存在点。，使所1亚？

网假设存在点。（点。在边上），使所1QD,

连接A0,因为PA平面ABCD,所以PA，QD.

又丽=而+而，

所以所-~QD=PA-QD+AQ-QD=Q.

又可•亚=0,所以而♦而=0,所以而LQD.

即点Q在以边AO为直径的圆上，圆的半径为今

又AB=1,所以当］=1,即a=2时，该圆与边BC相切，存在1个点。满足题意；

当|>1,即a>2时，该圆与边BC相交，存在2个点。满足题意；

当|<1,即a<2时，该圆与边BC相离，不存在点Q满足题意.

综上所述，当心2时,存在点。，使可1QD;

当0<。<2时，不存在点0,使地1QD.

1.1.2空间向量基本定理

1.如图所示,在平行六面体ABCD-A\B\C\D\中,M为AC与8。的交点.若

不瓦=a，前=b，m=c,则下列向量中与瓦而相等的向量是（)

AA.—1a+-1、b+c

22

C—.-1a—lib+cDn.-ial—.b+c

2222

I解析瓦而=B^B+JM=A^A+^(BA+'BC)

111

=c+-(-a+b)=--a+-b+c.

2.对于空间一点。和不共线的三点A,B,C,且有60?=OA+2OB+3OC,^\（）

A.0,A,8,C四点共面

B.P4,8C四点共面

C.0,P,8C四点共面

D.O,P,A,B,C五点共面

解析|由6OP=OA+2OB+3OC,^OP-OA=2(OB-OP)+3(0C-0?),^

AP=2PB+3PC,

.:而，丽,而共面.又三个向量的基线有同一公共点P,.：PAB,C四点共面.

3.（多选）已知点M在平面A3C内,并且对空间任意一点。，有丽=拓7++|0C,

则%的值不可能为（）

A.lB.OC.3D.i1

3

|答案|ABC

I解新:加=拓7+：用+g小，且MA,氏C四点共面，.：x+5+5=l,.：x=/

4.已知向量a,b,且屈=a+2b,或=-5a+6b,而=7a-2b,贝IJ一定共线的三点是()

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

ggA

|解析|因为而=与+近+而=3a+6b=3(a+2b)=3与，故而||万,又而与万有公

共点A,所以A,B,O三点共线.

5.下列说法错误的是()

A.设a,b是两个空间向量，则a,b一定共面

B.设a,b是两个空间向量，则ab=ba

C.设a,b,c是三个空间向量，则a,b,c一定不共面

D.设a,b,c是三个空间向量，则a(b+c)=ab+ac

Hgc

解析|A.设a,b是两个空间向量，则a,b一定共面，正确，因为向量可以平移；

B.设a,b是两个空间向量，则a-b=b-a,正确，因为向量的数量积满足交换律；

C.设a,b,c是三个空间向量，则a,b,c可能共面，可能不共面，故C错误；

D.设a,b,c是三个空间向量，则a-(b+c)=a・b+a-c,正确，因为向量的数量积满足分

配律.故选C.

6.设ei,e2是空间两个不共线的向量，已知荏=0|+依2,近=5ei+4e2,尻=-e「2e2,且

A,B,D三点共线，实数k=.

ggl

|解枷7通=说+就+方=7ei+收+6他,

且万与而共线，故而=x而，

即7ei+(&+6)e2=%ei+He2,

故(7・%圮1+(4+6・成)02=0,又ei,e2不共线，

•：［：；：2n解得。=故k的值为1.

(fc+6-kx=0,也=1,

7.在以下三个命题中，所有真命题的序号为

①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底，则a,b,c共面；

葬两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a,b共线；

③若a,b是两个不共线的向量，而c=za+//b(z,//GR且2〃9)，则｛a,b,c｝构成空间的一

个基底.

|解析也与a,b共面，不能构成基底.

8.已知平行六面体0A8C-0A5C；且，双=b，布=c.

(1)用a,b,c表示向量而;

⑵设G,H分别是侧面跳TCC和。山夕。的中心，用a,b,c表示就.

=AC+CC=OC-OA+Oa=b+c-a.

Q丽=GO+^H=-OG+OH

=-|(OB+OC)+|(OB'+布)

111

=--(a+b+c+b)+-(a+b+c+c)=-(c-b).

9.已知三个向量a,b,c不共面，并且p=a+b・c,q=2a-3b-5c,r=・7a+l8b+22c,向量p,q,r

是否共面？

网假设存在实数使p=2q+〃r,则

a+b-c=(22-7//)a+(-3A+18〃)b+(-54+22〃)c.

:，a,b,c不共面,

5

-

(2A-7/Z=1,h3

〃解得(1

-3A+18=1,-

.-5A+22/z=-1,(M3

即存在实数％="=［，使p=2q+〃r,

.：p,q,r共面.

10.如图所示,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面,M,N分别是AC,BF

的中点.判断而与雨是否共线？

C

解；M,N分别是AC,BF的中点，而四边形ABCDABEF都是平行四边形,

--»----->----»----»1---->---->1---->

「•MN=MA+AF+FN=-CA+AF+-FB.

22

-->----->---->---->----->1>---->---->1---->

又MN=MC+CE+EB+BN=3CA+CE-AF--FB.

2-----------------------2

/.-CA+AF+-FB=--CA+CE-AF—FB,

2222

."JCE=CA+2AF+FB=2（MA+AF+前）=2而，

.'.CE||而，即谓与而共线.

11.如图，梯形ABCD中,AB//CQ/3=2CD,点。为空间内任意一

点,。4=2,。8=1）,。。=（：,向量。0=x2+）,心+2（：,则%,%2分别是（）

A.1,-1,2

c---1

gEc

W^jOD=~0C+W=0C+^~BA=0C+^（OA-OB）=^OA-^OB+0C=

ga-：b+c,因此/=抄=-呆=1.故选C.

12.在平行六面体ABCD-EFGH中，若方=枭通-2），前+3z而，则x+y+z等于（）

G

HE

D

c.-D.-

46

ggD

解析由于南=4+而+德=方+就+而，对照已知式子可得

x=l,・2y=l,3z=l,故工=1,产-1/1=3从而x+y+z=-5.

13.（多选）在正方体ABCD-A\B\C\D\中,P,M为空间任意两点，如果有两=

西+7瓦?+6初%硒挪么对点M判断错误的是（）

A.在平面BADi内B.在平面BAiD内

C.在平面BA\D\内D.在平面ABiG内

答案|ABD

|解析|丽=西+70+6再4^7^

=PB]+By4+6B/i-4Al0]

=PB]+BiAi+6B/I-4Al

=两+6（西-而）-4（西-西）

=11西-6丽-4可，且11-6-4=1,

于是四点共面.

14.已知空间单位向量ei,e2,e3,ei_Le2*2_Le3,ei・e3W，若空间向量m=xei+ye2+ze3满

足:nrei=4,m-e2=3,m・e3=54!jx+y+z=,|m|=

V34

解析因为ei_Le2,e2.Le3,ei-e3=g,空间向量m=xei+ye2+ze3满

Qei+ye2+ze3)-e1=4,

足:m・ei=4,m・e2=3,m・e3=5,所以+ye2+ze3\e2=3,

、(阻+ye2+ze3)-e3=5,

K+gz=4,俨=0,

即,y=3,解得y=3,

3%+z=5,lz=5,

所以x+y+z=8,|m|=V34.

15.已知。是空间任一点5A8,C,D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且

65=2丽+3亢方+4z苑则2x+3y+4z=.

I解析W=2x50+3>-C0+4zD0

=-2xOB-3)^OC-4zOD.

由四点共面的充要条件知-2x-3y-4z=1,

即2x+3y+4z=-l.

16.如图，设O为口ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点，若荏=

^OD+xOB+yOA^x,y的值.

概因为荏=AB+BC+CE=0B-0A+0C-0B-^0C

=-0A+10C=-0A+-(0D+DC)

,■>1>,11,>>11■1>1,1>,■1>Q'‘'>1，>1,>

=-0A+-(0D+AB)=-0A+-0D+-(0B-0A)=--0A+-0D+-0B,

2、722、7222

所以X=1,J=-|.

17.已知非零向量ei,e2不共线，如果荏=ei+e2,前=2ei+8e2,AD=301-3©2,求证：4,3,。,£)

四点共面.

|证明|证法一:令/L(ei+e2)+〃(2ei+8e2)+v(3ei-3e2)=0,

则(2+2//+3v)ei+(2+8//-3v)e2=0.

--.e，不丑浅.0+2〃+3u=0,

,ei,e24八找'.•卜+8〃-3»=0.

A=-5,

易知4=1,是其中一且解，

⑴二1

则-5万+AC+AD=0./.A,B,C,D四点共面.

证法二:观察易得前4-而=(2ei+8e2)+(3ei-3e2)=5ei+5e2=5(ei+e2)=5荏.

.".AB=^AC+^AD.

由共面向量知，彳瓦前，而共面.

又它们有公共点四点共面.

18.如图，在平行六面体ABCD-AiBiGOi中，。是8Q的中点，求证:BC〃平面ODCi.

=B^0+0C\+D^O+OD.

:•。是SOi的中点，

.:瓦+瓦刁=0,.：瓦^=西+OD.

.：瓦%瓦7,南共面，且BCG平面OCiD.

.：BC〃平面ODG.

19.如图所示,四边形ABCD是空间四边形,分别是边ABAD的中点,EG分别是

边CB,CD上的点，且存=|C5,CG=|万.求证:四边形EFGH是梯形.

屉喇;E,H分别是边ABAD的中点，

.".AE=^AB,AH=^AD,

，-….>>1>1>1一一…>

/.EH=AH-AE=-AD--AB=-BD.

222

又FG=CG-CF=-CD--CB=々（CD-CB），BD.「・EH=-FG,

333k734

--->--->--->Q--->

」.EH||FG,\EH\^\FG\.

丁点尸不在EH上，.：四边形EFGH是梯形.

20.已知平行四边形ABCD,从平面ABCD外一点O引向量

OE=kOA,OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD.

求证:(1)点E,F,G,”共面；

(2)直线AB〃平面EFGH.

|证明|(1)VOA+AB=OB,/.kOA+kAB=kOB.

1>......>1>1>1>,>1>

宿OE=kOA,OF=kOB,.：OE+kAB=OF.

>“-一-〉''>'一，.，…〉,〉

又OE+EF=OF,.：EF=kAB.

同理，前=kAD,~EG=kAC.

丁四边形ABCD是平行四边形，

.".AC=AB+AD,

.：—=—+更，即丽=~EF+EH.

kkk

又它们有同一公共点E,

.；点E,F,G,H共面.

(2)由(1)知丽=前瓦

.,.AB||加，即又ABC平面EFGH,

.：与平面EFGH平行，即〃平面EFGH.

1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系

1.已知向量a=(l,-2,1),a+b=(-l,2,-1),则向量b等于()

A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)

C.(-2,0,-2)D.(2,l,-3)

ggB

2.向量a=(l,2,x),b=(2,y,-l),若|a|=V5,且a_Lb,则x+y的值为()

A.-2B.2

C.-lD.l

|ggc

朝由题意得｛第育=倔

3.若△ABC中,NC=90°41,2,-3攵)乃(-2,1,0),。(4,0,-2幻,则左的值为()

A.V10B.-V10

C.2V5D.±V10

ggD

=(-6,1,2^),G4=(-3,2,-Z),

则方•方=(-6)x(-3)+2+2网困=-23+20=0,.：攵=土VIU.

4.若"BC的三个顶点坐标分别为A(1,-2,1)乃(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是

()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

ggA

g§AB=(3,4,2W=(5,l,3),FC=(2,-3,l).

由荏•前＞0,得A为锐角；由刀•方＞0,得C为锐角;由瓦5•近＞0,得B为锐角.

所以△ABC为锐角三角形.

5.(多选)如图所示，设OxQy是平面内相交成6(e*9角的两条数轴网，e2分别是与

x,y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为。反射坐标系，若丽=xei+ye2,

则把有序数对(x,y)叫做向量旃的反射坐标,记为两=(x,y),在。=祭的反射坐标系

中,a=(l,2),b=(2,-l).则下列结论正确的是()

A.a-b=(-l,3)B.|a|=V3

C.a±bD.a〃b

I#剽AB

|解析|a-b=(ei+2e2)-(2ei-e2)=-ei+3e2,

则a-b=(-l,3),故A正确；

|a|=Je+2e2)2=J5+4cosy=旧,故B正确；

a-b=(ei+2e2>(2ei-e2)=2e1+3ere2-2e；=-|,故C错误；

D显然错误.

6.已知向量a=(l,2,3),b=aX+y-2,y),并且a,b同向，则x+y的值为.

I解析I由题意知a〃b,

所以,=给!”=［即。z=3%,①

123U2+y-2=2%,②

把⑦代入②得x2+x-2=0,即(x+2)(x-l)=0,

解得x=-2或x=l.

当x=-2时,y=-6;

当x=l时,y=3.

(X=-2

则当。=_6'时，b=(2-4,-6)=-2a,

向量a,b反向，不符合题意，故舍去.

当《二:'时，b=(L2,3)=a,

a与b同向，符合题意，此时尢+y=4.

7.已知向量a=(5,3,l),b=(-2j,-|),若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围

为.

|解析［由已知得a-b=5x(-2)+3f+lx(彳)=3/?因为a与b的夹角为钝角，所以ab<0,

即3T<0,所以呼.

若a与b的夹角为18为，则存在2<0,使a=/lb(4<0),

即(5,3,1)=4-2”?,

5

-

-

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