人教A版高中数学第一册(必修1)学案6：5.4.1正弦函数、余弦函数的图象

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象

『目标』1.了解利用正弦线作正弦函数图象的方法；2.掌握正弦函数、余弦函数的图象，知

道它们之间的关系；3.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象.

『重点』画正弦函数、余弦函数图象的简图.

『难点』用五点法画正弦函数、余弦函数的图象.

『要点整合』

知识点一利用正弦线作正弦函数的图象

『填一填』

利用正弦线可以画出y=situ,xd『0,2%』的图象，要想得到了=$加。611）的图象，只需将

y=sinr,尤e『0,2兀』的图象即可，此时的图象叫做.

『答一答』

1.为什么把＞=5]!«,XG『0,2兀』的图象向左、向右平移2兀的整数倍个单位长度后图象形

状不变？

2.如何由正弦曲线得到余弦曲线？

"五点法"作y=sin%,%e［0,2TT］的

知识点二,简图

［填一填］

在函数y=sim;,xe的图象上，起关键作用的是

函数y=sin%,%e［0,2TT］的图象与光轴的交点及最高点和最

低点,它们依次为：.

事实上,只要这五个点确定了，函数y=sinx,xe［0,2F］的图

象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不太高时，我们可以

先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起

来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图.

『答一答』

3.用五点作图法作函数图象的三个步骤是什么？

4.画》=（：05%,『0,2兀』时的图象，应取的五个点分别是什么？

『典例讲练』

类型一用“五点法”作三角函数的图象

『例1』用“五点法”作出函数y=l+2siru,xe『0,2兀』的图象.

『通法提炼』

“五点法”是一种作图思想或策略，它不仅限于画正

弦函数、余弦函数的简图，也可用于画复合型正、余弦函

数的简图(如本例).对形如y=4sin(/%+?)+3或y=

4cos(口％+3)+5的函数，都可以用“五点法”画其简图.

其中五个关键点应由①％+3分别取0,女,TT,竽,2b来确

定，而不是*取这些值来确定.

工变式训练1」用“五点法”作出函数y=2+cosx,xe『0,2肩的简图.

类型二利用“图象变换”作三角函数的图象

『例2』画出下列函数的图象.

⑴尸"—cos2x；(2)y=sin|x|.

『通法提炼』

某些函数的图象可通过图象变换，如平移变换、对称变换作出，如将y=siwt的图象在y轴

右侧的保留，在左侧作右侧关于y轴的对称图形，便得到y=sin|x|的图象，将＞=511«;图象

在x轴上方的不动，x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，便得到y=|siiu|的图象等.

『变式训练2』(1)函数y=l—cosx,『0,2兀』的大致图象是()

77

JLF3P27r2L3TT2ITx

2-22T

号TT要27r

(2)下列叙述：

①尸—COSX与y=C0S(—x)的图象关于x轴对称;

②y=—cosx与y=cos(—x)的图象关于y轴对称;

③y=siivc与y=|sinx|的图象在y轴右侧相同.

其中正确的序号为.

类型三正、余弦函数图象的应用

『例3』求下列函数的定义域.

(l)j；=lg(—cosx)；

(2)y=42sinx一也.

『通法提炼』

利用三角函数图象解sinX>〃(或cosx>〃)的三个步骤:

(1)作出直线y=〃，y=sinx(或y=cosx)的图象；

(2)确定siax=Q(或cosx=〃)的x值；

(3)确定siiu>〃(或cosx>〃)的解集.

『变式训练3J设Of兀，且|cos%—sinx|=sinr—cosx,则x的取值范围是.

『课堂达标』

1.对于正弦函数y=siiw的图象，下列说法错误的是（）

A.向左右无限伸展

B.与〉=8林的图象形状相同，只是位置不同

C.与x轴有无数个交点

D.关于y轴对称

2.函数y=-sinx的大致图象是（）

2m-]

4.要使8，了=罚有意义,则，，的取值范围为.

5.在『0,2兀』内用五点法作出y=—sinx—1的简图.

『课堂小结』

一本课须掌握的三大问题

1.五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常

考知识点之一.

2.图象的平移与对称也是作三角函数图象的常用方法.

3.正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想

解决三角函数问题的基础.

★参*考*答*案★

『要点整合』

知识点一利用正弦线作正弦函数的图象

『填一填』

不断向左、向右平行移动（每次移动2兀个单位长度）

正弦曲线

『答一答』

1.提示：由公式sin（x+2E）=sinx,可得.

2.提示：由公式cosx=sinG+f）可知，要得到余弦曲线，只需把正弦曲线向左平移胃个单位

长度.

"五点法"作y=sin%,%e［0,2TT］的

知识点二\简图

［填一填］

（0,0）,刍1）,（兀，0）,潦，—1）,（2兀，0）

『答一答』

3.提示：列表，描点，连线（注意光滑）.

4.提示:（0,1）,俘0）,（71,-1）,作，0）,（2兀，1）.

『典例讲练』

类型一用“五点法”作三角函数的图象

r例1」

r解』列表

7T37r

X07127r

2T

sinx010-10

1+2sinx131-11

在直角坐标系中描出五点（0』），俘3）,（兀，1）,修，一1）,（2K,1）,然后用光滑曲线顺次

连接起来，就得至ijy=l+2sinx,『0,2%』的图象，如图.

『变式训练1J

解：列表：

713n

X0712兀

2~2

cosx10-101

2+cosx32123

描点连线，如图.

类型二利用“图象变换”作三角函数的图象

［例2』

『解』(1)：y1一cos?—|sinx|,

sinx,

.।।(止Z)

—sinx,Ikn+7i<x<2k7i+2K.

作出y=sinx,『0,7iJ和〉=一5加，2兀）的图象，并将图象左右平移即可.

其图象如图所示.

fsinx,x>0,

(2)y=sin|x|=J.其图象如图所示.

Lsinx,x<0,

『变式训练2」

耳答案」」(1)D(2)①

『『解析』』⑴设於)=y=l—cosx,贝1］的)=1-COSTT=2,

所以函数人x)的图象经过点(无，2),排除选项A,B,C.

(2)y=cos(—x)=cosx,其图象与y=-cos尤的图象关于x轴对称，不关于y轴对称，①正确;

②错误；画出图象可得，③不正确.

类型三正、余弦函数图象的应用

『例3』

［解』(1)为使函数有意义，则需要满足一cosQO,即cosx＜0.

由余弦函数图象可知满足条件的X为彳+2®＜了＜咨+2也，k^Z.

TT3IT

所以原函数定义域为{%l］+2左兀＜x＜g+2kji,左£Z}.

(2)为使函数有意义，则需要满足2sinx—6三0,即sin%、乎.

由正弦函数图象可知满足条件的无为牛+2E,)teZ.

IT3IT

所以原函数定义域为{x|］+2析CxW彳+2E,k£Z}.

『变式训练3」

「『答案」J］，y

『『解析」」如图，由题意得sinx2cosx,

根据『0,2兀』区间上函数＞=5加与〉=3工的图象得在5ITT

『课堂达标』

L『