高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册《2 圆与圆的位置关系》同步练习（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册《2.5.2圆与圆的位

置关系》同步练习

-、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆Q：（x-2）2+（y-1）2=1上存在点P,且

点P关于直线x+y=0的对称点Q在圆C2：（x+2）2+y2=r2（r>0）±,贝!|r的取值范

围是（）

A.[V17-1,V17+1]B.[2V2-1,2V2+1]

C.[V2-1.V2+1]D.[V5-1,V5+1]

2.（5分）圆M+y2=9和圆％2+y2+6x—8y—11=0的位置关系是（）

A.相离

B.内切

C.外切

D.相交

3.（5分）已知圆01的方程为/+y2=4,圆。2的方程为（x-a）2+y2=1,如果这两

个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是（）

A.{1,-1}B.{3,-3}

C.{1,-1,3,—3}D.{5,—5,3,—3}

4.（5分）圆G：（x+2）2+y2=5,圆C2：（%-2）2+（y-2）2=5,则圆C1与圆C2的

位置关系为（）

A.相交B.相离C.内切D.外切

5.（5分）若圆（x-a）2+（y-b）2=b2+1始终平分圆（x+l）2+（y+I）2=4的周长,

则a,b满足的关系是（）

A.a2+2a+2b—3=0B.a2+2a+2b+5=0

C.a2+b?+2a+2b+5=0D.a?-2a—2b+5=0

6.（5分）已知动圆C的圆心Qo，%）在抛物线y2=12x上，且圆C与直线x=-2相切，

则圆C与圆（x-3）2+y2=i（）

A.总是相离B.总是外切

C.一定有两个不同的公共点D.可以有公共点，也可以没有公共点

7.（5分）圆（X+2）2+y2=4与圆（万一27+（y-I）2=16的位置关系为（）

A.内切B.外切C.相交D.外离

8.（5分）点P（x,y）是直线2x+y+4=0上的动点，PA,PB是圆C：x2+（y-I）2=1

的两条切线，A,B是切点，则三角形PAB周长的最小值为（）

A.4+V5B.5+V5D.4+2V5

二、多选题(本大题共5小题，共25分)

9.(5分)圆Qi：/+y2-2x=0和圆Qz：/+y2%—4y=0的交点为2,B,则

有()

A.公共弦AB所在直线方程为x-y=0

B.P为圆口上一动点，贝归到直线AB距离的最大值为日+1

C.公共弦AB的长为当

D.圆&上存在三个点到直线Wx-3y=0的距离为:

10.(5分)已知圆M:(x-l)2+(y—l)2=4,直线1:x+y+2=0,P为直线Z上的动

点，过点P作圆M的切线PA,PB,切点为力，B,则下列结论正确的是()

A.四边形MAPB面积的最小值为4B,四边形MAPB面积的最大值为8

C.当NAPB最大时，|PA|=2V2D.当NAPB最大时，直线AB的方程为

x+y=0

11.(5分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆G：/+y2=8与圆C2：x2+y2+2x+

y—a=0相交于4B两点.若圆G上存在点P,使得4ABp为等腰直角三角形，则实

数a的值为()

A.6B.8+2V5C.8-275D.8

12.(5分)已知点4(2,0),圆C:(x—a-l)2+(y-Ha)2=1,圆上的点P满足P/P+

P02=10,贝Ua的取值可能是()

A.1B.-1C.-2D.0

13.(5分)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262〜公元前190年)的著作《圆锥曲

线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的

比为常数k(k>0且kH1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知

0(0,0),4(3,0),圆C：(x-2)2+y2=r2(r>0)上有且仅有一个点P满足|PA|=

2|PO|,则r的取值可以为()

A.1B.2C.3D.5

三、填空题(本大题共5小题，共25分)

14.(5分)已知圆Ci：x2+y2+2x+8y+16=0,圆C2：尤？+丫2一4x-4y-1=0,

则圆G与圆C2的公切线条数是.

15.(5分)圆Ci：(x—2/+(y-3/=1与圆C2：(%-3产+(y—4)2=9的位置关系

是.

16.(5分)已知圆X?+严—4x+2y+4=0与圆/+/-Qb—10)x—2by+2b2—

10b+16=0相交于4。1，%)，8(x2,y?)两点，且满足*+资=者+该，则

b=.

17.(5分)已知圆G：—+y2-2x=0与圆C2：(x-a)2+(y-4)2=16外切，则实

数a的值为.

18.(5分)已知直线心x-y+2=0与x轴交于点力，点P在直线/上，圆C：(x-2)2+

y2=2上有且仅有一个点B满足AB1BP,则点P的横坐标的取值集合为.

四、解答题(本大题共5小题，共60分)

19.(12分)平面上两点4、B,则所有满足震=k(k41)的点P的轨迹是一个圆，这个

轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆G上动点P与两个定点

0(0,0),4(0,3)的距离的比为2.

(1)求圆G的方程；

(2)直线Z：尸犬上任取一点Q,作圆G的切线，切点分别为M,N.

口求四边形QMQN面积的最小值；

口证明直线MN恒过一定点并写出该定点坐标.

20.(12分)在平面直角坐标系xOy中，己知圆C：x2+(y-2)2=1.

(1)若圆E的半径为2,圆E与x轴相切且与圆C外切，求圆E的标准方程；

(2)若过原点。的直线/与圆。相交于4B两点，且OA=AB,求4CAB的面积.

21.(12分)已知两圆G：/+y2—2x—6y—1=0和C2：x2+y2-10x—12y+

45=0.

(1)求证：圆Ci和圆C?相交；

(2)求圆G和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.

22.(12分)已知圆心在直线刀+)/-1=0上且过点4(2,2)的圆(71与直线3*-4丫+5=

0相切，其半径小于5.

(1)若圆与圆C］关于直线x-y=0对称，求圆的方程；

(2)过直线y=2x—6上一点P作圆的切线PC,PD,切点为C,D,当四边形PCC2。面

积最小时，求直线CD的方程.

23.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2-12x-14y+

60=0及其上一点4(2,4)

(I)设平行于OA的直线/与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线］的方程；

(11)设点7«,0)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得四边形ATPQ为平行四边形，求实

数t的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】

该题考查两圆位置关系的判断，是中档题.

根据题意，得出|r-l|《花《r+1,进行求解即可.

解：圆G：(%—2/+(y-l)2=1关于直线x+y=O对称的圆的方程为Co：(-y-

2)2+(-%-I)2=1,

即:(y+2)2+(x+1产=1.

则条件等价为：G)：(X+I/+(y+2)2=1.与。2：(X+2)2+y2=r2。>0)有交点即

可，

两圆圆心分别为为Co(-1,-2),C2(-2,0),半径分别为1,r,

则圆心距IC0C2I=J(-1+2)2+(—2—0)2=V5,

则满足|r—1|《V54r+1,

由|r一1|《百，得1—而4r《1+遍，

由有《丁+1,得r》而-1.

综上，V5-1<r<V5+1.

■1.r的取值范围是[通-1,75+1].

故选：D.

2.【答案】D;

【解析】

求出两圆的圆心坐标和两个半径R和r,然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离

d,比较d与R—r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系.

此题主要考查学生掌握两圆的位置关系的判别方法，是一道基础题.

解：x2+y2+6x—8y—11=0化为(x+3)2+(y-4)2=36,又/+y2=9,

所以两圆心的坐标分别为：(一3,4)和(0,0),两半径分别为R=6和r=3,

则两圆心之间的距离d=J(-3)2+42=5,

因为6-3<5<6+3即R-r<d<R+r,所以两圆的位置关系是相交.

故选D.

3.【答案】C;

【解析】该题考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础.两个圆有且

只有一个公共点，两个圆内切或外切，分别求出a,即可得出结论.

解：•••两个圆有且只有一个公共点，

二两个圆内切或外切，

内切时，|可=1,a=-1或1,

外切时，|a|=3,a=—3或3,

二实数a的取值集合是{1,一1,3,-3}.

故选：C.

4.【答案】D;

【解析】解：根据题意，圆G：(x+2)2+y2=5,其圆心为(一2,0),半径R=百，

圆C2：(x-2)2+(y-2>=5,其圆心为(2,2),半径r=逐，

圆心距IC1C2I=，16+4=2店=R+r,则两圆外切，

故选：D.

根据题意，求出两个圆的圆心与半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答

案.

此题主要考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题.

5.【答案】B;

【解析】

此题主要考查圆与圆的位置关系的应用，要求熟练掌握圆的相关性质.

根据两圆平分圆的周长，得到条件关系，即可得到结论.

解：,••/(%-a)2+(y-b)2=b2+1始终平分圆(x+I)2+(y+I)2=4的周长，

二两圆的公共弦必过(久++(y+I)2=4的圆心，

两圆相减得相交弦的方程为-2(a+l)x-2(b+l)y+a?+1=0,

将圆心坐标(—1,—1)代入可得a?+2a+2b+5=0.

故选B.

6.【答案】B;

【解析】解：由题意得圆C的圆心(右,/a)，半径R=x()+2,

而圆(x—3)2+y2=1的圆心(3,0),半径r=l,

由圆心距为，Qo—3产+12X()=x0+3=R+r,

故两个圆总是外切，

故选：B.

根据圆心距和两个圆的半径比较即可.

该题考查了圆和圆的位置关系，考查转化思想，是一道基础题.

7.【答案】C;

【解析】解：根据题意，圆(X+2)2+y2=4的圆心为(一2,0),半径为「1=2,

圆(x—2)2+(y—I)2=16的圆心为(2,1),半径万=4,

则有圆心距d=g,

有「2-q=2<717<^+r2=6,则两圆相交；

故选：C.

根据题意，由圆的标准方程求出两圆的圆心与半径，据此结合圆与圆的位置关系分析

可得答案.

该题考查圆与圆的位置关系，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题.

8.【答案】C;

【解析】

本题的考点是直线与圆的位置关系，主要涉及了三角形的周长，解答该题的关键是“若

三角形周长最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长

PA,PB最小”属于中档题.

解：•.•圆的方程为：x2+(y-l)2=l,

二圆心C(O,1),半径r=1.

根据题意，“若三角形周长最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的

距离时，切线长PA,PB最小”

vd=|0+1+4|=V5»

V4+1

圆心到直线1的距离为d=V5,由半径r=1,

可得PA=PB=2,

在直角三角形PAC中，使用等面积法可求"x*=1X2,

即AB=手

则三角形PAB周长的最小值为4+誓.

故选C.

9.【答案】ABD;

【解析】解：Qi：/+丫2-2x=0和圆Q?：久2+y2+2x-4y=0的交点为4,B,

两圆方程作差得，x—y=0,4正确；

设P®y),

由％2+y2_2x=0得(％—l)24-y2=1,

则l=1+cosa,y=sina,a6血2兀)，

所以P到直线AB:X_y=0的距离d=gsa-'n"+l|=1缶双二9+1]4空=1+g即

V2v2v22

最大值1+学8正确；

圆心Qi(1,0)到直线AB：x-y=0的距离为日，

所以公共弦AB=2J1—(曰)2=C错误；

因为Qi(l,0)到直线gx-3y=0的距离为焉=1<1,

所以圆Qi：x2+y2-2x=0和直线V5x-3y=0相交，

所以圆Qi上存在三个点到直线Bx-3y=0的距离为玄。正确.

故选：ABD.

根据两圆方程相减可得公共弦方程可判断选项4利用圆的参数方程及点到直线的距离

公式，余弦函数性质可检验选项B；结合直线与圆相交性质可检验选项C；结合直线与

圆的位置关系可检验选项D.

此题主要考查了圆与圆，直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离，直线与圆相

交性质的应用，属于中档题.

10.【答案】AD;

【解析】

此题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题.

分析可知当MP_U时，四边形MAPB面积最小，且NAPB最大，利用三角形的面积公式

可判断AB选项，分析出四边形MAPB为正方形，利用正方形的几何性质可判断CD选项.

=|(|AM||PA|+|BM||PB|)

又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,

而|PA|2=|PM|2-|AM|2=|PM|2-4,

即S=2j|PM『一4.

因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，

即在直线x+y+2=0上找一点P,使得|PM|的值最小，

所以IPMIminuH詈=2/，

所以四边形PAMB面积的最小值为4,故A正确；

由于|PM|没有最大值，故四边形MAPB面积没有最大值，故B错误；

当|PM|取得最小值时，NAPB最大，此时|PA|=](2&)2-22=2,故C错误；

当NAPB最大时，PM垂直直线，，

故PM的方程为y-l=x-l,

即y=x,

所以此时

所以(―1,—1),(1,1)为直径的圆的方程为x?+y2=2,

联立片+y2=2与(x-I)2+(y-I)2=4,两方程相减,

可得公共弦的直线AB的方程为x+y=0,故。正确.

故选：AD.

11.【答案】BCD;

【解析】

此题主要考查圆与圆的位置关系及其判定，属中档题.

根据题意，求出AB所在直线的方程，按直角顶点的位置分情况讨论，求出a的值，综

合即可得答案.

解：已知圆G：/+y2=8与圆。2：%2+y2+2x+y-a=0相交于力、B两点，

则AB所在直线的方程为2x+y—a+8=0,

若圆6上存在点P,使得4ABP为等腰直角三角形，分2种情况讨论：

①P为直角顶点，则AB为圆G的直径，

即直线2*+丫一。+8=0经过圆加的圆心6，必有-a+8=0,解可得a=8；

②4或B为直角顶点，则点Q到直线AB的距离d=2近=2,

则有=警驾=2,解可得a=8-2遥或8+24，

V4+1

综合可得：a的取值的集合为｛8,8-2遮,8+2遮｝;

故选BCD.

12.【答案】ABC;

【解析】

此题主要考查与圆有关的轨迹方程，圆与圆的位置关系，属于中档题.

设P(x,y),mPA2+P02=10,求出P的轨迹方程，利用圆上的点P满足P42+

P02=10,则两圆相交或相切，建立不等式，即可求出a的取值范围，从而可求解.

解：设P(x,y),4(2,0),

由PA?+。。2=I。，得(％_2)2+y2+x2+y2=10,

整理得：(x-I)2+y2=4.

圆C：0—。-1)2+(7—百€1)2=1上存在点「，满足242+2。2=10,

即两圆(x—I)2+y2=4与(x-a-I)2+(y-V3a)z=1有公共点，

则1=2-14J(a+1-+(V3a)242+1=3,

解得］《|«|<|-

••.a的取值可能是1,—1)

故选：ABC.

13.【答案】AD;

【解析】

此题主要考查圆有关的轨迹问题，考查圆与圆的位置关系，考查分析与计算能力，属

于中档题.

设P(尤,y),由|PA|=2|PO|,得(x+1)2+*=4,又点P是圆C：(x-2)2+y2=

r2(r>0)上有且仅有

的一点，所以两圆相切，计算求解即可得到答案.

解：设P(x,y),由|PA|=2|PO|,得(x—3尸+y2=4/+4y2,

整理得(x+l)2+y2=4,

又点P是圆C：(x-2)2+y2=r2(r>0)上有且仅有的一点,

所以两圆相切.

圆(x+I)2+y2=4的圆心坐标为(—1,0),半径为2,

圆C：(x-27+y2="(r>0)的圆心坐标为(2,0),半径为r,

两圆的圆心距为3,

当两圆外切时，r+2=3,得r=1,

当两圆内切时，|r-2|=3,得r=5,

故选AD.

14.【答案】4;

【解析】解：圆G：/+V+2x+8y+16=0的圆心坐标为(一1,一4),半径为1,

圆。2：/+丫2-4*一4丫-1=0的圆心坐标为(2,2),半径为3,

则圆心距为：J(-l-2为+(—4—2)2=3>/5>1+3,

故两圆相离，

故两圆的公切线的条数是4条，

故答案为：4

根据已知，分析两个圆的位置关系，可得答案.

该题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，难度中档.

15.【答案】内含;

【解析】解：圆G：(x-2/+(y-3)2=1,其圆心G为(2,3),半径6=1

圆C2：(x-3)2+(y-4)2=9,其圆心c?为(3,4),半径为万=3.

则IGQI=夜，「2-6=2.

，・•|GC21V2.

圆Q:(X-2)2+0-3)2=1与圆C2：(X-3)2+0-4)2=9的位置关系是内含.

故答案为：内含.

根据圆G，标准方程求解圆心和半径，利用圆心距和两半径之间的距离关系判断即

可.

该题考查圆与圆的位置关系，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运

用.

16.【答案】|;

【解析】

此题主要考查圆与圆的位置关系及判定，圆的弦有关的综合问题.设圆/+y2-4x+

2丫+4=0圆心为。，由好+比=据+*，贝iJOA=0B,由垂径定理得0C1AB,由

此得答案；

解：由题意知两圆公共弦AB所在的直线方程为(2b-14)x+(2+2b)y+5-a2-

2b2+10b-16=0,

圆+y2-4x+2y+5-a2=0的圆心为(2,-1),记为C.

-xl+yl=xl+yl，

OA=OB,

AOC1AB,

koC"AB=-1，

解得b=|.

故答案为|.

17.【答案】4或—2;

【解析】【试题解析】

此题主要考查两圆位置关系的应用，属于基础题.

利用圆心距与两圆半径之和相等求解.

解：因为圆C1：(%-1)2+y2=1与圆。2：Q-@)2+(y-4)2=16外切，

圆Ci的圆心为(1,0),半径为1,

圆圆心为(a,4),半径为4,

所以J(Q—1)2+42=1+4=5,

所以Q=4或一2,

故答案为4或-2.

18.【答案】号,5};

【解析】

此题主要考查了直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，由题意得到4点坐标，以及已知

圆的圆心及半径，根据条件，得到有且仅有一个点B满足AB，BP,就是以AP为直径

的圆与已知圆0相切，分别讨论两圆外切与内切两种情况，得到结果.

解：如图:

,••直线x-y+2=0与x轴交于点4,

.••?!(-2,0),

•••圆。：(x-2)2+y2=2,

二圆心0(2,0),半径为VL

•••有且仅有一个点B满足AB1BP,

•••以AP为直径的圆与已知圆。相切，

,••设P(a,b),

・•.AP中点M:(等号，

•••以AP为直径的圆的半径为；，(a+2)2+炉,

二两圆的圆心距为：MC=J(等一2丫+《)2,

,•,若两圆外切时，MC=V2+M(a+2尸+炉,

又•・,a—b+2=0,

・•・解得Q==p

同理，当两圆内切时，得：。=5,8=7,

・・・P点横坐标的取值集合为{35}.

故答案为{3,5}.

19.【答案】

解：(1)设点P的坐标为(x,y),根据题设条件有|PO|=2|PA|,

所以有J/+y2=2J-+(y-3)2,

化简得/+⑶一4/=4.

(2)①由题知，当GQJ./时，四边形QMCiN面积取得最小值.

此时GQ=等=2V2,QM=2f2=2,

所以S四边形QMQN=2x-xGMxQM=4,

故四边形QMCiN面积的最小值为4.

②设Q(a,a),由几何性质，可知M,N两点在以GQ为直径的圆上，

此圆的方程为x(x-a)+(y-4)(y-a)=0,

而直线MN是此圆与圆G的相交弦所在直线，

与圆G相减可得MN的方程为a(x+y-4)-(4y-12)=0,

令侬二，解喉上

所以直线MN恒过定点(1,3).;

【解析】

此题主要考查直线和圆的位置关系，切线长的问题，圆与圆相交弦问题，定点问题,

属于较难题.

(1)点P的坐标为(x,y),根据题设条件有|PO|=2|PA|,所以有J/+y2=

2"2+(y—3)2,化简即可得圆的方程；

(2)①由题QM,QN是圆的切线，所以当GQ，/时，QMGN面积取得最小值4.

②设Q(a,a),由几何性质，可知M,N两点在以GQ为直径的圆上，此圆的方程为

x(x-a)+(y-4)(y-a)=0,而直线MN是此圆与圆G的相交弦所在直线，相减可

得MN的方程为a(x+y-4)一(4y-12)=0,所以直线MN恒过定点(1,3).

20.【答案】解：(1)设圆E的标准方程为(x-a)2+(y-fa)2=r2,

故圆心E坐标为(a,b),半径r=2；

因为圆E的半径为2,与x轴相切，所以网=2.

①因为圆E与圆C外切所以|EC|=3,即,a?+(b-2尸=3,

②由①②解得a=±3,b=2,

故圆E的标准方程为a+3)2+(y-2)2=4或(x-3)2+(y-2)2=4.

(2)设Z(xo,%)因为OA=AB,所以4为OB的中点，

从而以2*,2%),因为4,B都在圆C上所以｛一

2

40o)z+(2y0-2)=1

_V15_叵

解得「°=一?_或/°=百，

yo=8%=鼻

故直线，的方程为：y=±^x.

圆心C到直线1的距离为d=2V10

FT丁

|AB|=2V1-d2=y,

/_1/ioV6_\<15

所以S1CAB=7£.X—XVL=o

【解析】此题主要考查圆的标准方程，解题关键是设出方程，找出关系式，属于中档

题.

(1)设出圆后的标准方程为0-&)2+(丫一匕)2=产，由圆E与x轴相切，可得网=r,

由圆E与圆C外切，可得两圆心距等于半径之和，由此解出a,b,r的值，得到圆E的标

准方程；

(2)分别求出交点的坐标即可求解.

21.【答案】解：(1)证明：圆Q的标准方程：(x-I)2+(x-3)2=11,

Q的圆心为(1,3),半径n=JIL

圆C2的标准方程：(x-5>+(x-6)2=16,

二圆心。2(5,6),半径巳=4,

.•・两圆圆心距d=\CXC2\=5,

rj+r2=4+VT1,

In-r2|=4-VTl,

r_r

li2l<d<+r2>

所以圆G和C2相交；

(2)解：圆G和圆C2的方程左右分别相减，

得4x+3y-23=0,

圆心。2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离

d="粤铝=3，

V16+9

故公共弦长为=2V7.;

【解析】

此题主要考查了两圆关系的判断以及弦长的求法，属于基础题.

(1)由圆的一般式方程得出圆心坐标及圆的半径，求出两圆圆心距及两半径之和与两半

径之差的绝对值，比较大小得出两圆的位置关系；

(2)两圆方程作差得出公共弦所在的直线方程，再由圆心到公共弦的距离及圆的半径求

出公共弦长.

22.【答案】解：(1)由题意，设Ci(a,1-a),则

•.•过点A(2,2)的圆Ci与直线3x-4y+5=0相切，

J(a_2)2+(1_a_2)213a-4(；a)+5l,

(a-2)(a-62)=0

・.•半径小于5,

Aa=2,此时圆C］的方程为(x-2)2+(y+1)2=9,

二簿2圆与圆Ci关于直线x-y=0对称，

・,•圆Q的方程为(x+l)2+(y-2)2=9；

(2)设P(a,2a-6),圆C2的半径r=2,

四边形PCC2D面积S=2SAPQD=2*—|PD|-3=3|PD|,

|PD|=7(a+l)2+(2a-8)2-9=y/5(a-3)2+11,

；.a=3时，|PD|min=VH，此时面积最小为3VIT,