人教版数学九年级上册23旋转变换的应用

旋转变换的应用

M@知识集结

知识元

线段、角、三角形的旋转

避知识讲解

1.1.图形旋转时，图形中的每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，因此，可以以点带

面研究图形的旋转.

2.2.图形的旋转包括：

1.(1)线段的旋转；

2.(2)三角形的旋转；

3.(3)四边形的旋转等.

!例题精讲

线段、角、三角形的旋转

例L

如图，O是正AABC内一点，0A=3,0B=4,0C=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋

转60。得到线段BCX,下列结论：①ABCTA可以由ABOC绕点B逆时针旋转60。得到；②点0

与O'的距离为4；③NAOB=15()°；④S四妮AOBO，=6+36；⑤SAAOC+SAAOB=6+g百.其中

正确的结论是()

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③

【答案】A

【解析】

题干解析：

证明ABOAmABOC,又NOB(y=60。，所以ABOA可以由ABOC绕点B逆时针旋转60。得到，

故结论①正确；

由AOBO,是等边三角形，可知结论②正确；

在△ACXY中，三边长为3,4,5,这是一组勾股数，故小人。。，是直角三角形；进而求得

NAOB=150。，故结论③正确；

S西边形AOBO=SAAOO，+SAOBO=6+4>/3,故结论④错误；

如图②，将AAOB绕点A逆时针旋转6()。，使得AB与AC重合，点O旋转至O"点.利用旋

转变换构造等边三角形与直角三角形，将SAAOC+SAAOB转化为SACOO”+SAAO。”，计算可得结论

⑤正确.

解：由题意可知，N1+N2=/3+42=60。，.•21=N3,

又•••OB=OBAB=BC,

•••△BO^ABOC,X---Z.OBO'=60°,

・•.△BOA可以由ABOC绕点B逆时针旋转60。得到，

故结论①正确；

如图①，连接00，，

•••OB=OB,且NOBOFO。，

是等边三角形，

••.00,=0B=4.

故结论②正确；

•••△BO'A*BOC,；.O'A=5.

在△AOO,中，三边长为3,4,5,这是一组勾股数,

.•.△AOO,是直角三角形，4Ao(7=90。，

.•2AOB=NAOO'+NBOO'=900+60°=150°,

故结论③正确;

—X3X4+——X42=6+45/3,

S四边形ACW=SAAOO，+SAOBO=

24

故结论④错误；

如图②所示，将AAOB绕点A逆时针旋转60。，使得AB与AC重合，点0旋转至0"点.

易知4人。。"是边长为3的等边三角形，△C00"是边长为3、4、5的直角三角形，

1上、29上

贝IISAAOC+SAAOB=SBSHIK；AOCO"=SACOO"+SAAOO"=-x3x4+----x3=6+-------,

244

故结论⑤正确.

综上所述，正确的结论为：①②③⑤.故选：A.

例2.

如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,0),B(0,4),记RtAOAB为三角形①，按图

中所示的方法旋转三角形，得到三角形②，则三角形②的直角顶点的坐标为.

【答案】

,r912、

(3H—,—)

55

【解析】

题干解析:先求出直角三角形斜边上的高，然后根据旋转的性质观察4OAB连续作

旋转变换，得到AOAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了

3+4+5=12个单位，于是判断三角形的状态，然后可计算出它的直角顶点的横坐标,

从而得到三角形②的直角顶点的坐标.解：过点D作DE_Lx轴于点E,

•・•点A(3,0),B(0,4),••.OB=4,

I------------17Q

OA=3,.-.AB=V32+42=5,.-.OD=y,AD=1,三角形①的直角顶点的坐标为

Q17

(0,0),三角形②的直角顶点的坐标为(3+1,y),故答案为:(3+(,

例3.

如图，B,C,E三点在一条直线上，4ABC和ADCE均为等边三角形，连接AE,DB.

(1)AE和DB有何大小关系，请说明理由；

(2)如果把ADCE绕点C顺时针再旋转一个角度，(1)中的结论还成立吗？

【答案】

解：(1)AE=DB,•••△ABC、ADCE均为等边三角形，••.BC=AC,CD=CE,

ZBCA=ZDCE=6O°,.-.zBCA+zACD=zDCE+zACD,B|JzBCD=zACE,•••在4ACE

AC=BC

和ABCD中，■ZACE=ZBCD,.-.AACESABCD(SAS),••.AE=BD.(2)成立,

CE=CD

D

成立AE=BD：理由如下：如图,•••△ABC、ZkDCE均为

等边三角形，••.BC=AC,CD=CE,ZBCA=ZDCE=6O°,

••.zBCA+zACD=zDCE+zACD,即4BCD=NACE,•••在4ACE和^BCD中，

AC^BC

<NACE=NBCD,.••△ACE三"CD(SAS),.•.AE=BD.

CE=CD

【解析】

题干解析：（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为60。的性质可求得

△BCD-AACE,根据全等三角形对应边相等的性质即可求得AE=BD.（2）根据

题意画出图形，证明方法与（1）相同.

四边形、多边形的旋转

M@知识讲解

根据旋转的性质和四边形、多边形的性质与判定解决问题.

例题精讲

0

四边形、多边形的旋转

例1.

如图，将AABC沿BC翻折得到ADBC,再将ADBC绕C点逆时针旋转60。得到AFEC,延长

BD交EF于H.己知/ABC=30。，ZBAC-9O°,AC=1,则四边形CDHF的面积为（）

NCp

E

A百BC.立D.显

12632

【答案】c

【解析】

题干解析：

利用解直角三角形得到BC=2AC=2,/\B=JL再利用翻折、旋转的性质知AC=CD=CF=1,

NACB=NBCD=NFCE=60°,CE=CB=2,，EF=BD=AB=6，ZE=ZABC=3O°,则DE=1,接着计

算出DH=----DE=-----,然后利用S四边形CDHF=S^CEF-SADEH进行计,算.

33

解：vzABC=30°,ZBAC=9O°,AC=1,

.，.BC=2AC=2,

.•.AB=dBC?-AC。=G，

由翻折、旋转的性质知AC=CD=CF=1,ZACB=ZBCD=ZFCE=60°

.­.ZACF=18()°,即点A、C、F三点共线，CE=CB=2,EF=BD=AB=6Z.E=ZABC=3O°,

.••DE=2.1=1,

〜上百百

在RSDEH中，DH=—DE=—,

33

S四边账CDH产SACEF-SADEH=yxlx-y3.—xlx-^-=.故选C-

例2.

如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30。后得到正方形BEFG,EF与AD相交于点H,延长

DA交GF于点K.若正方形ABCD边长为则AK=

KD

【答案】

2技3

【解析】

题干解析:连接BH,由正方形的性质得出NBAH=4ABC=4BEH=4F=90°,由旋转的

性质得：AB=EB,ZCBE=3O°,得出NABE=60°,由HL证明RsABH三Rt/kEBH,

得出NABH=ZEBH=‘zABE=30。，AH=EH,由三角函数求出AH,得出EH、FH,

2

再求出KH=2FH,即可求出AK.解：连接BH,如图所示：•••四边形ABCD和四

边形BEFG是正方形，.-.ZBAH=ZABC=ZBEH=ZF=9O°,由旋转的性质得：AB=EB,

*土»\BH=BH

ZCBE=3O°,.­.ZABE=60°,在Rt^ABH和Rt^EBH中，4，

AB=EB

•••RtAABH=ARtAEBH(HL),.-.zABH=zEBH=-zABE=30°,AH=EH,

2

.­.AH=AB»tanzABH=>/3x—=1,.•.EH=1,.-.FH=V3-1,在RsFKH中，

3

ZFKH=3O°,.-.KH=2FH=2(V3-1),.-.AK=KH-AH=2(百/)-1=2x/3-3；故答案

例3.

如图所示，两个完全一样的正方形ABOC和正方形DEMF,正方形DEMF的顶点E与正方形

ABOC的中心重合，将正方形DEMF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点

P,射线EF与线段AB相交于点G,与射线CA相交于点Q.若AQ=12,BP=3,贝IPG=

2

【答案】

5

【解析】

题干解析:首先得出ABEPs^CQE,进而求出BE的长，再得出△BEGs^EPG,即

可得出些=处=受，求出PG的长即可.解：•.NQEC=180OzDEFzBEP=135。-

EPEGPG

乙BEP,ZBPE=18O°-ZPBE-ZBEP=135°-ZBEP,AZQEC=ZBPE,又

•••ZPBE=ZEQC=45°,.--△BEP-ACQE,—=——，设EC=x,则BE=x,AC=血

QCEC

X

x,故---j--~,解得：X1=6V2,X2=-3V2（舍去），［AB=AC=6后x&

12+V2xx

=12,则AP=9,过点P作PN1BE于点N,•••BP=3,ZB=45°,

••.BN=PN=^,故NE=^^,则PE=3石，••2EBG=NPEG,zBGE=zEGP,

22

•••△BEG-AEPG,—=—=设PG=y,.•.华=过金=空，解得：

EPEGPG36EGy

y=5.故答案为：5.

手拉手

M@知识讲解

”手拉手”模型：

当两个等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形共顶点时就会出现“手拉手”模型，有手拉手

就会有全等.

'例题精讲

手拉手

例1.

如图，^ABC与4ADE均是等腰直角三角形，连接BD、CE.

（1）探索BD与CE的数量关系与位置关系；

（2）如果把4ADE绕点A旋转一周，（1）中的结论是否还成立，直接写出结论.

【答案】

(1)BD=CE,BDJ_CE.理由如下：与AADE均是等腰直角三角形，

/.AB=AC,AD-AE,ABAC=ZDAE=90°,AZBAD=ZCAE,AAABD^AACE,

；.BD=CE,ZABD=ZACE,VZABD+ZDBC+ZACB=90°,NACE

+ZDBC+ZACB=90°ABDICE

(2)依然成立.BD=CE,BD±CE

【解析】

题干解析：(1)根据SAS得到AABE三ZkCBD.从而AE=CD,zBAE=zBCD,再运用角

度计算得到NAFG=90。，从而得到垂直.(2)证明方法同上.

例2.

如图1,在RtAABC中，4A=90。，AB=AC,点D,E分别在边AB,AC±,AD=AE,连接

DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.

（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；

（2）探究证明：把AADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断

△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把AADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10,请直接写出APMN

面积的最大值.

【答案】

解：（1）•••点P,N是BC,CD的中点，iPNIIBD,PN=-BD,•••点P,M是CD,

2

DE的中点，.-.PMHCE,PM=-CE,•••AB=AC,AD=AE,；.BD=CE,..PM=PN,

2

•••PNIIBD,.-.zDPN=zADC,「PMIICE,.-.zDPM=zDCA,•.zBAC=9（）。，

.-.zADC+zACD=90°,.•.zMPN=zDPM+zDPN=zDCA+zADC=90°,•••PM_LPN,故

答案为：PM=PN,PM1PN,（2）由旋转知，ZBAD=ZCAE,-.AB=AC,AD=AE,

.-.△ABD=AACE（SAS）,.-.ZABD=ZACE,BD=CE,同（1）的方法，利用三角

形的中位线得，PN=-BD,PM=1CE,.•.PM=PN,.•.△PMN是等腰三角形，同

22

（1）的方法得，PMHCE,.-.zDPM=zDCE,同（1）的方法得，PN||BD,

.-.zPNC=zDBC,vzDPN=zDCB+zPNC=zDCB+zDBC,

.-.zMPN=zDPM+zDPN=zDCE+zDCB+zDBC=zBCE+zDBC=zACB+zACE+zDB

C=zACB+z.ABD+zDBC=zACB+zABC,•••zBAC=90°,.-.zACB+zABC=90°,

••ZMPN=9O。，••.△PMN是等腰直角三角形，（3）如图2,同（2）的方法得，

△PMN是等腰直角三角形，.'MN最大时，^PNIN的面积最大，・•.DEIIBC且DE在

顶点A上面，.'MN最大=AM+AN,连接AM,AN,在4ADE中，AD=AE=4,

ZDAE=9O°,•••AM=2夜，在RsABC中，AB=AC=10,AN=5正，iMN城大=2

LLL1111厂49

v2+5v2=7v2,•••S^PMN鼓大二-PM2=-x—MN2=—x（7A/2）2——.方法2、

22242

由（2）知，ZkPMN是等腰直角三角形，PM=PN=LBD,.・・PM最大时，，ZkPMN面

2

积最大，二点D在AB的延长线上，••.BD=AB+AD=14,”1^=7,；.SAPMN加大=，

2

【解析】

题干解析：（1）利用三角形的中位线得出PM=，CE,PN=-BD,进而判断出

22

BD=CE,即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PMHCE得出4DPM=ZDCA,

最后用互余即可得出结论；（2）先判断出4ABD三Z1ACE,得出BD=CE,同（1）

的方法得出PM=1BD,PN=-BD,即可得出PM=PN,同（1）的方法即可得出

22

结论；（3）方法1、先判断出MN最大时，4PMN的面积最大，进而求出AN,

AM,即可得出MN最大=AM+AN,最后用面积公式即可得出结论.方法2、先判

断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14,即可.

半角模型

遍知识讲解

半角模型：

当题中出现一个角等于另一角的一半，且共端点的线段相等时就是半角模型，常采用旋转将分

散的条件集中起来，为下一步的证明做好铺垫.

'例题精讲

半角模型

例i.

如图，已知正方形ABCD的边长为3,E、F分另I」是AB、BC边上的点，且NEDF=45。，将

△DAE绕点D逆时针旋转90。，得到ADCM.若AE=1,则FM的长为.

【答案】

解：•••△DAE逆时针旋转90。得到ADCM,.•.zFCM=zFCD+zDCM=180o,.-.F>C、

M三点共线，••.DE=DM,ZEDM=9O°,.•.NEDF+乙FDM=90°,vzEDF=45°,

DE=DM

.-.zFDM=zEDF=45°,在ADEF和ADNIF中，,NEDF=NFDM,.-.ADEFSAOMF

DF=DF

(SAS),.-.EF=MF,设EF=MF=x,TAE=CM=1,且BC=3,

•••BM=BC+CM=3+1=4,.•.BF=BM-MF=BM-EF=4-x,•••EB=AB-AE=3-1=2,在

RtZkEBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EP,即2?+(4-x)2=x2,解得：x=-,.-.FM=

2

—.故答案为：—.

22

【解析】

题干解析:由旋转可得DE=DM,4EDM为直角，可得出4EDF+4MDF=90°,由

ZEDF=45°,得到NMDF为45°,可得出NEDFzMDF,再由DF=DF,利用SAS可

得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；

则可得至UAE=CM=1,正方形的边长为3,用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM

求出BM的长，设EF=MF=x,可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x,在直角三角形

BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为FM的

长.

例2.如图，在AABC中，AB=AC,NBAC=12()。.点D、E是BC边上两点，且

NDAE=60°.若BD=5,CE=8.求DE的长度.

BDE

【答案】

■■AB=AC,可把△AEC绕点A顺时针旋转

120。得至：.BE'=EC=^AE'=AE,Z-E'AB=/.EAC,•••zBAC=120°,zDAE=60°,

.•,ZBAD+ZE4C=60o,.■./.E'AD=Z.E'AB+Z.BAD=^,在AEA。和△EAO中

AE'=AE,^E'AD=^EAD,AD=AD.-.^E'AD=^EAD(SAS),：.E'D=ED,过£作EF1BD于

点F,vAB=AC,ZBAC=120°,.-.zABC=zC=zFBA=3()o,."'BF=60。,:/BE'F=3。。,

1

：.BF=?BE'=4,E'F=4,：BD=5,；.FD=BD-BF=1,在RsE'FO中,由勾股定理可

得£0=（4西>+12=7,:.DE=7.

【解析】

题干解析:把AAEC绕点A顺时针旋转120。得到AAEB,再结合条件可证明

△AET）三AAED,可得DE，=DE,过E，作EFLBD于点F,可求得DF和E，F的长，

在RtAETD中可求得DES则可求得DE.

例3.

正方形ABCD中，ZEAF=45°.求证：EF=BF+DE.

【答案】

证明：•.•四边形ABCD为正方形，••.AB=AD,2BAD=zD=4ABC=90°,.••把4AED

绕点A顺时针旋转90。得到4ABG,如图，丛6=人£,BG=DE,zEAG=90°,

zABG=zD=90°,.•.点G在CB的延长线上，••.BF+BG=GF,••2EAF=45°,

AF^AF

.•zGAF=45°,在^AEF和^AGF中，■ZEAF=ZGAF,.-.AAEFSAAGF,.-.EF=FG,

AE^AG

•••EF=BF+BG=BF+DE.

【解析】

题干解析:先由正方形的性质得AB=AD,ZBAD=ZD=ZABC=9O°,则可把4AED绕

点A顺时针旋转9()。得到4ABG,如图，根据旋转的性质得AG=AE,BG=DE,

ZEAG=9O°,ZABG=ZD=9O°,于是可判断点G在CB的延长线上，得到

BF+BG=GF,然后证明4AEF三ZkAGF得至UEF=FG,于是有EF=BF+BG=BF+DE.

1对角互补

知识讲解

四边形对角互补模型:

在四边形中，如果出现一个角的两边相等且另两个对角互补，就是对角互补模型.对角互补的

原形是角平分线上的点到角的两边的距离相等，可以通过旋转将互补的角变为相等角从而得到

全等.

例1.如图，在aABC中，点D为BC边的任意一点，以点D为顶点的NEDF的两

边分别与边AB,AC交于点E、F,且NEDF与NA互补.

若AB=AC,D为BC的中点时，线段DE—DF（填“或，’）

【答案】

【解析】

题干解析：如图，因为AB=AC且点D是BC边的中点，根据等腰三角形三线合一可知,

AD平分NBAC.当图中出现角平分线时，向角的两边作垂线是常见的辅助线；同时，

题中还存在对角互补四边形，且题中没有明显的共端点相等线段，所以旋转不予考

虑.从以上分析得，可通过点D作DM1AB,DN±AC.可证ADME会ADNE,所以DE=DF.

例2.已知，在Rt^ABC,ZABC=90°,AB=5,以斜边AC为边向外做正方形

ACDE,连接AD、CE交于点M,连接BM,若BM=6正，则BC=

【答案】

7

【解析】

题干解析:由正方形的性质可知，2AMC=90。.所以NABC+NAMC=180。.满足对角互

补.根据对角互补作垂线，过点M作MPLAB,MQLBC垂足分别为点P,Q.如下图:

E<

y易证4MPA三△MQC,因此MP=MQ,由此可得，四边形

BQMP是正方形.所以MQ=BQ.又因为BM=6应，根据勾股定理可得，BP=6.由此

可得，AP=1=CQ.所以，BC=7.

例3.

如图，在AABC中，ZBAC=120°,以BC为边作等边三角形ABCD,把AABD绕着点D按顺

时针方向旋转60。后得到AECD,若AB=5,AC=2.

求：(l)NBAD的度数；

(2)AE的长.

【答案】

解：（1）由旋转的性质及等边三角形的性质得AABD三ZkECD,.ZABD=4ECD,AD

=DE,ZADE=6O°,又•••在四边形ABDC中，zBAC+zCDB+zABD+zACD=

360°,A120°+zABD+zACD+60°=360°,.-.zABD+zACD=180°,.-.zACD+

ZECD=18O°,.--A,C,E三点在一条直线上，・•.△ADE为等边三角形，二28人口=

zE=60°.（2）由（1）知CE=AB=5,••.AE=AC+CE=7.

【解析】

题干解析：（1）由旋转得到4ABD三AECD,从而得到4ADE为等边三角形，于是

可得NBAD=4E=60°.（2）由（1）知CE=AB=5,••.AE=AC+CE=7.

'利用旋转求最值

遍知识讲解

利用旋转求最值的依据是两点之间，线段最短。已知线段AB=a,AC=b（a>b），可以看成是点C

绕着点A旋转（图1）,

B-

图人

当点C在线段AB上时，线段BC取得最小值为a-b,（图2）

kx

ae

图2?

当点C在BA的延长线上时，线段BC取得最大值为a+b（图3）.

例题精讲

Z利用旋转求最值

例L

如图，在RtZkABC中，Z.ACB=90°,将AABC绕顶点C逆时针旋转得到AABC,M是BC的中

点，P是AB的中点，连接PM.若BC=2,NBAC=30。，则线段PM的最大值是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

题干解析：

如图连接PC.思想求出PC=2,根据PMSPC+CM,可得PMW3,由此即可解决问题.

解：如图连接PC.

在Rt^ABC中，••2A=30°,BC=2,

.，•AB=4,

根据旋转不变性可知，AB』AB=4,

・・・A'P=PB',

；.PC=」AB=2,

2

•；CM=BM=1,

XvPM<PC+CM,即PM<3,

；.PM的最大值为3（此时P、C、M共线）.

故选B.

例2.

如图，在RfAABC中，ZACB=9O°,zA=30。，AC=4,BC的中点为点D,将AABC绕点C

顺时针旋转任意一个角度得到AFEC,EF的中点为点G,连接DG,在旋转过程中，DG的最

大值是（）

A.4B.6C.2+273D.8

【答案】B

【解析】

题干解析：

解：•••ZACB=9O°,ZA=3O°,

r~5/3

・•.AB=AC+cos300=4,3+2—=8,

2

BC=AC«tan30°=4>/3x—M,

3

•••BC的中点为D,BC='x4=2,

22

连接CG,

•••△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到AFEC,EF的中点为G,

111

.••CG=—EF=—AB=—x8=4,

222

由三角形的三边关系得，CD+CODG,

•••D、C、G三点共线时DG有最大值,此时DG=CD+CG=2+4=6.故选：B.

构造基本模型

知识讲解

当现有的条件不能充分利用或得不到结论时，能够及时发现基本模型的潜在条件，选择合适的

方法添加辅助线，从而使问题得以解决.

例题精讲

构造基本模型

例1.

如图，点E是正方形ABCD内一点，连结AE、BE、DE.若AE=2,BE=/，zAED=135°,

则正方形ABCD的面积为.

【答案】

11+2V14

【解析】

题干解析:解：如图，把ZkADE绕点B顺时针旋转90。得到ZkABE，则E，B=DE,

AE=AE：•旋转角是90°,••.NEAE，=90°,.•.△EAE，是等腰直角三角形，••.EE，=0

•AE=2V2,ZAE，E=45。，vzAED=135°,­­.ZAE,B=ZAED=135O,­­.zEE,B=135°.

45°=90°,在Rt^EEB中，由勾股定理得，BE'=DE=dBE。-EE。=布,过点A

作垂线垂直于BE，，交BE的延长线于点G,可求出RT三角形AGB的AG和BG

的长，分别为0和&+万在2kABG中，由勾股定理可知AB?=2+0+行2...正方

形ABCD的面积=AB2=ll+2故答案为：.

“气将分散的条件集中

避知识讲解

当现有的条件不能充分利用或得不到结论时，能够及时发现基本模型的潜在条件，选择合适的

方法添加辅助线，从而使问题得以解决.

例题精讲

---------1将分散的条件集中

例1.

如图，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC=1：2：3,求NAPB的度数.

【答案】

解：PA：PB：PC=1：2：3,设PA=k,PB=2k,PC=3k,把ABCP绕B点顺时针方

向旋转90°得至ibBAE.♦.•BP=BE,zPBE=90°,

花=(2k)2+(2k)2,PE=k又在AAPE中，

AE=CP=3k.快+干=NAPE=90。.即

ZAPB=90°+45o=135o.AZAPB=135°.

【解析】

题干解析:ABCP绕B点顺时针方向旋转90。得到ABAE可得RsAPE和等腰

RtAPBE,得到90。、45°,最后求得4APB的度数.

例2.

如图，在RSABC中，ZBAC=9O°,AB=AC,E、F分别是BC上两点，满足NEAF=45。，若

AB=屈，BE=3,求EF和CF的长.

B

【答案】

解：•.2BAC=9()°,AB=AC,••.将4ABE绕点A顺时针旋转90°得^ACG,连FG,

如图，••.AG=AE,CG=BE,Zl=zB,zEAG=90°,

.-.zFCG=zACB+Z1