2022-2023学年福建省福州市福清市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州市福清市七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（共10小题，共40分）

1.下列实数中，属于无理数的是（）

A.<2B.0.6C.yD.

2.在平面直角坐标系中，点P（-2,-3）所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.数轴上表示不等式的解集正确的是（）

」11,1

-10123

A.%>2B.x<2C.x>2D.x<2

A.43=44B.zl=45C.z2+Z5=180°D,zl+Z4=180°

5.为了配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理.欲反映学

生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是（）

A.频数分布直方图B.扇形统计图C.折线统计图D.条形统计图

6.如图，坐标平面上有原点。与4、B、C、。四点.若有

一直线I通过点（-3,4）且与y轴垂直，贝心也会通过下列哪一

点？（）

A.A

1

B.BO1x

C.C

D.D

7.将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条

边互相平行，则图中N1的大小为（）

A.75°B,105°C.120°D.135°

8.若a<b,则下列各式中不一定成立的是（）

A.a—1<h-1B,|C.ac<beD.-a>—b

9.我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1,有2+3=5,

在图2中，若k的值为8,则x的值为（）

A.yB.-1C.1D.任意实数

10.己知关于X,丫的方程组g二其中一lWa«2,下列说法正确的是（）

①当a=0时，（与y相等;

②I;:?是原方程组的解；

③无论Q为何值时，%4-y=3；

④若%之|,m=2x-3y,则？n的最大值为11；

A.①③B.②③C.②③④D.③④

二、填空题（共6小题，共24.0分）

11.一/亏的相反数是.

12.如图，直线AB,CD相交于点。，如果41=37。，那么42=A

13.现在很多市民都在用手机里“微信运动”软件记录自己每天走路的步数，为了调查我县

45岁〜60岁市民每天走路的步数情况，适合采取调查（“全面”或“抽样”）.

14.小明同学仿照我国古代经典的“鸡兔同笼”问题给小石同学出了一道题目：“今有鸡兔

同笼，上有十二头，下有四十足，问鸡兔各几何？”.若小石同学设笼中有鸡工只，兔y只，则

根据题意可列方程组为.

15.在平面直角坐标系xOy中，以。，A,B,C为顶点的正方形的边长为6,若点4在x轴上,

点C在y轴的正半轴上，则点8的坐标为.

16.阅读下列材料：“为什么厂!不是有理数”，完成问题.

证明：假设，N是有理数，

那么存在两个互质的正整数p、q,使得=£,于是p=，2q,

•••2q2是偶数,可得p2是偶数.

•••只有偶数的平方才是偶数，ip也是偶数.

二可设p=2s,代入，得.可得；

:.q.这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p,q互质矛盾.

这个矛盾说明，，工不能写成分数的形式，即。不是有理数.

将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是.（填上序号）

①4s2=2q2；②p?=2q2；③q是偶数；©Q2=2s2.

三、计算题（共1小题，共8.0分）

17•解方程组:榜嘉,

四、解答题（共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.(本小题8.0分)

计算：J(-2)2+13—2|—V-1•

19.(本小题8.0分)

r3(x-1)<5x+1

解不等式组：°,9-x,

12x<1+—r-

20.(本小题8.0分)

完成下面的证明：如图，点。、E、F分别是三角形力BC的边BC,CA,4B上的点，DE"BA,

"DE=NA求证：DF//CA.

证明：已知)

乙BFD=()

v乙FDE=己知)

.••乙4=(等量代换)

DF/fCA^).

21.(本小题8.0分)

如图，三角形ZBC(记作△ABC)三个顶点的坐标分别是4(1,1)，8(-1,-2),C(3,-3),先将

△4BC向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到

(1)在图中画出△力18传1，则点&的坐标为,点名的坐标为；

(2)若点P(m,n)为AABC内部一点，则经过平移后得到对应点R(2m-2,-8)，则m+n=

22.(本小题10.0分)

某校为了了解初三年级600名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他

们按体重(均为整数，单位：kg)分成五组(439.5〜46.5;B：46.5〜53.5;C：53.5〜60.5；

D：60.5〜67.5;E-.67.5〜74.5),并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图.

解答下列问题：

(1)这次抽样调查的样本容量是,并补全频数分布直方图；

(2)C组学生的频率为,在扇形统计图中。组的圆心角是度；

(3)请你估计该校初三年级体重超过60.5kg的学生大约有多少名？

23.(本小题10.0分)

为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买4型和B型两

种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表：

力型B型

价格(万元/台)ab

年载客量(万人/年)60100

若购买4型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买4型公交车2辆，B型公交车1辆，

共需350万元.

(1)求a,b的值；

(2)如果该公司购买4型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线

路的年均载客总和不少于680万人次.请你利用方程组或不等式组设计一个总费用最少的方

案，并说明总费用最少的理由.

24.(本小题12.0分)

如图，直线E/7/MN,点4、B分别在直线EF、MN上，点C在EF和MN之间，且满足/CBN=

2/.FAC,/.CAF<30°,点P为线段BC上一点(端点除外)，ZE4P的平分线与NBPA的平分线交

于点K.

⑴当〃CB=45。时，求NCBN；

(2)请用等式表示44Kp与NC4F的数量关系；

(3)若2乙4心一“4尸=90。时，判断线段AP与AC的大小关系，并说明理由.

25.(本小题14.0分)

在平面直角坐标系%Oy中，以点4(a,b),B(a+4,b-2),C(a+4,m),O(a,n)为顶点的四边

形位于第一象限内，其中a、b满足|a-1|+V6-b=0.

(1)求出a与b的值：

(2)若点P坐标为(0,竽)，线段4B上是否存在点E,使得三角形OPE面积等于13,若存在，请

求出点E坐标，若不存在，请说明理由；

(3)如图，连接。B交线段CD于M点，点N为线段48上一点，连接AM、MN、NC,若m、n满

2m+n+3t=14畛鬻=1,求点”到直线利勺距离・

m+n=10—2t

答案和解析

1.【答案】A

解：X.□是无理数，故本选项符合题意；

8.0.6是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；

C.竽是分数，属于有理数，故本选项不合题意；

。.广=2,2是整数，属于有理数，故本选项不合题意.

故选：A.

无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数

与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判

定选择项.

此题考查了无理数的定义.解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：兀，

2兀等：开方开不尽的数；以及像0.1010010001...（每两个1之间0的个数依次加1）,等有这样规律

的数.

2.【答案】C

解：点P（-2,-3）所在的象限是第三象限.

故选：C.

根据各象限内点的坐标特征解答即可.

本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象

限的符号特点分别是:第一象限（+,+）;第二象限（一,+）；第三象限（一,一）；第四象限（+,-）.

3.【答案】D

解：根据数轴上表示的解集得：x<2,

故选：D.

根据数轴上表示的解集写出不等式的解集即可.

此题考查了在数轴上表示不等式的解集.解题的关键是明确在数轴上表示不等式的解集的方法，

把每个不等式的解集在数轴上表示出来（>,2向右画；<,〈向左画），在表示解集时“2”，“W”

要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示.

4.【答案】C

解：43=44,

.-.AB//CD,

故4选项不符合题意；

zl=z5,

AB//CD,

故8选项不符合题意；

由42+45=180°,不能判定4B〃CD,

故C符合题意；

vZ4+Z5=180°,zl+Z4=180°,

z.1=z.5>

AB//CD,

故。不符合题意：

故选：C.

根据平行线的判定定理求解即可.

此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键.

5.【答案】B

解：想反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是扇形统计图.

故选：B.

根据条形统计图、扇形统计图、折线统计图的特点进行判断.

本题考查了统计图的选择，掌握各种统计图的特点是关键.

6.【答案】。

解：如图所示:

有一直线I通过点(-3,4)且与y轴垂直，则，也会通过点D.

故选：D.

直接利用点的坐标，正确结合坐标系分析即可.

此题主要考查了点的坐标，正确结合平面直角坐标系分析是解题的关键.

7.【答案】B

解：如图，

由题意得：乙4=30°,ADCE=45°,

vAB//CD,

/.ACD=Z.A=30°,

Z1=180°-^ACD-乙DCE=105°.

故选：B.

由平行线的性质可得44=^ACD=30°,再利用平角的定义即可求41.

本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等.

8.【答案】C

解：4根据不等式的基本性质，由a<b,得那么4中的不等式成立，故A不符合

题意；

B.根据不等式的基本性质，由a>b,得5>去那么B中的不等式成立，故8不符合题意；

C.根据不等式的基本性质，当c>0,由a<b,那么ac<bc,即C的不等式不一定成立，故C符

合题意；

。.根据不等式的基本性质，由a<b,得一a>-b,那么。的不等式成立，故。符合题意.

故选：C.

根据不等式的基本性质解决此题.

本题主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键.

9【答案】C

解：由图可得，m=x+2x+y=3x+y,n=2x+y+3-2y=2x-y+3,

k=m+n

=(3x+y)+(2x-y+3)

=3x+y+2x-y+3

=5x+3,

vk=8,

5x+3=8,

解得x=1.

故选：C.

根据图形，可以用含x、y的式子表示出m、n；再用x、y的代数式表示出k,从而可以求得久的值.

本题考查列代数式、解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，求出方

程的解.

10.【答案】D

解：①当a=0时，则卷丫；:：，

解哦：;，

故选项①错误；

②把仁二:代入①得，a+3=6,

解得a=3,

V1<a<2,

.•■{J二;不是方程组的解，

故选项②错误；

—x+2y=a+3①

(2x—y=6—3a②’

①+②x2得：5%=15—5a,即％=3—a,

①x2-②得：5y=5a,即、=Q,

所以无论Q为何值时，%+y=3；

故③正确；

④由③可知％=3-Q,y=a,

、3

,:X>>,

•*.3-a>I，

•，・-1WaW

-1Wy〈5，

vm=2x—3y,

.•・丁取得最小值-1时，血的值最大，

•・•久+y=3,

：・%=4,

,当x=4,y=-l时，zn的值最大，最大值为2x4-3x(-1)=11.

故④正确.

故选：D.

求得方程组的解即可判断①；把弓二;代入①，解得a=3,再看-l<aW2,即可判断②；解

方程组求得x、y的值，即可判断③；由③可知x=3-a,y=a,根据x>狎可求得一1<a<|,

得到一1<y<|,结合m=2x-3y,即可求得当x=4,y=-1时，ni的值最大，最大值为2x4-

3x(-1)=11,即可判断④.

此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.解题

的关键还在结合a的取值范围.

11.【答案】7-5

解：的相反数是：一（一，亏）=v-5.

故答案为：y/~5.

直接利用相反数的定义得出答案.

此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的性质是解题关键.

12.【答案】37

解：N2=41=37°.

故答案为：37.

由对顶角的性质：对顶角相等，即可得到答案.

本题考查对顶角，关键是掌握对顶角相等.

13.【答案】抽样

【解析】现在很多市民都在用手机里“微信运动”软件记录自己每天走路的步数,为了调查我县45

岁〜60岁市民每天走路的步数情况，适合采取抽样调查.

故答案为：抽样.

根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，抽样调查得到的调查结

果比较近似进行解答.

本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵

活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择

抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.

14•【答案璞DM。

解：根据题意可列方程组为：=40-

故答案为：｛^4；=40-

关系式为：鸡的只数+兔的只数=12：2x鸡的只数+4x兔的只数=40,把相关数值代入即可求

解.

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到鸡和兔的总只数及鸡

和兔的脚的总只数的等量关系.

15.【答案】(6,6)或(—6,6)

解：如图,

B'r

A'x

由图象知,符合条件的点B的坐标为(6,6)或(-6,6).

故答案为:(6,6)或(一6,6).

根据正方形的性质作出图形，结合图形直接得到答案.

本题主要考查了坐标与图形性质，解题时，需要对4、B的位置进行分类讨论，以防漏解.

2

16.【答案】p2=2q24s2=2q2=2s是偶数②①④③

【解析】证明：假设，至是有理数,

那么存在两个互质的正整数p、q,使得，2=会于是p=，”q,

:.p2=2q2；

・；2q2是偶数，可得p2是偶数.

••・只有偶数的平方才是偶数，.・”也是偶数.

二可设p=2s,代入，得4s2=2q2.可得q2=2S2；

••.q是偶数.这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p,q互质矛盾.

这个矛盾说明，尸不能写成分数的形式，即C不是有理数.

2

故答案为：p2=2q2；4s2=2q2；=2s；是偶数；②①④③.

根据题意利用反证法假设q是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正

确.

此题主要考查了实数的概念以及反证法的应用，正确掌握反证法的基本步骤是解题关键.

x—y=1①

17.【答案】解:

2x+3y=7②'

①x3+②得：5%=10,即x=2,

把x=2代入①得：y=1,

%=2

则方程组的解为

y=1'

【解析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减

消元法.

利用加减消元法求出解即可.

18.【答案】解：J(-2)2+IV-3—2|—V—1

=2+(2-C)-(-1)

=2+2—V3+1

=5-V-3-

【解析】先根据算术平方根、绝对值、立方根的性质计算，再合并即可得到答案.

此题考查的是实数的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键.

3(x-1)<5x+10

.【答案】解:

192x<1+芋②

解不等式①得：3x—3W5x+l,

3%—5%<14-3,

—2x<4,

xN—2,

解不等式②得：8%<4+9-%,

8x4-x<4+9,

9%<13,

原不等式组的解集为：一24x＜学.

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答.

本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键.

20.【答案】乙EDF两直线平行，内错角相等乙BFD同位角相等，两直线平行

【解析】证明：•••（已知）

:'乙BFD=4EDF（两直线平行，内错角相等）

乙FDE=乙4（已知）

:,5=4B尸。（等量代换）

DF〃CA（同位角相等，两直线平行）.

故答案为：乙EDF,两直线平行，内错角相等；乙BFD,同位角相等，两直线平行.

根据平行线的性质，得到=再根据平行线的判定，即可得出。F〃C4

本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断

两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.

21.【答案】(0,5)(-2,-2)-1

解：（1）如图所示，△4/16即为所求，点&的坐标为（0,5）,点名的坐标为（一2,-2）,

（2）由题意可知，2

解得｛7二，

m+n=—1

故答案为：—1.

(1)根据平移变换的性质找出对应点即可作出图形，再根据图形写出点的坐标即可;

(2)根据平移规律得出关于m、n的等式，求出小、n即可求解.

本题考查了平移变换的性质，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键.

22.【答案】500.3272

解：（1）4+8%=50（人）,

丸

“0组”所对应的圆心角的度数为：360°x|J=72%

故答案为：0.32,72；

⑶600x曙=216（名）,

答：该校600名初三年级的学生体重超过60.5kg大约有216名.

频数

(1)从两个统计图中可得“A组”的频数为4人，占调查人数的8%,根据频率=进行计算即可,

总数'

求出“8组”的频数即可补全统计图;

⑵根据频率=||进行计算即可，求出“D组，，所占的百分比进而求出相应的圆心角的度数;

(3)求出样本中体重超过60.5kg的学生所占的百分比，从而估计总体中体重超过60.5kg的学生所

占的百分比，进而求出相应的人数即可.

本题考查频数分布直方图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率=警是正确解答的前提.

23.【答案】解：⑴依题意得：*+，?=鬻，

12a+b=350

解得:忆明

答：a的值为100,b的值为150.

（2）总费用最少的购买方案为：购买4型公交车8辆，8型公交车2辆，理由如下：

设购买4型公交车m辆，则购买B型公交车（10-m）辆，

伍斯咨和f100m+150（10-m）<1200

依题思侍：（60nl+100（10-7n）2680'

解得：6<m<8.

又•••m为整数，

二Tn可以为6,7,8.

当m=6时，10-m=10-6=4,购买总费用为100x6+150x4=1200（万元）；

当m=7时，10-僧=10-7=3,购买总费用为100x7+150x3=1150（万元）；

当m=8时，10-m=10-8=2,购买总费用为100x8+150x2=1100（万元）.

答：总费用最少的购买方案为：购买4型公交车8辆，B型公交车2辆.

【解析】（1）利用总价=单价x数量，结合”购买4型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；

购买4型公交车2辆，8型公交车1辆，共需350万元”，即可得出关于a,b的二元一次方程组，解

之即可得出结论；

（2）总费用最少的购买方案为：购买4型公交车8辆，B型公交车2辆，设购买4型公交车m辆，则购

买B型公交车（10-巾）辆，根据“购买4型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆

公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”，即可得出关于zn的一元一次不等式组，解之

即可得出ni的取值范围，结合m为整数，即可得出m的值，再利用总价=单价x数量，可求出各购

买方案所需总费用，比较后即可得出结论.

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关

系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组.

24.【答案】解:⑴如图,过C作。G〃E尸,

vEF//MN,

EF//MN//DG,

Z.FAC=Z.ACD,Z.CBN=Z.DCB,

MN

图I

・・・Z.ACB=乙ACD+Z.DCB=Z.FAC+乙CBN=3/.FAC=45°,

・•・Z.FAC=15°,

・•・乙CBN=2(FAC=30°；

(2)乙4Kp=90°-Z-CAF.(或44Kp+乙CAF=90°),理由如下：

'&Z-FAC=%,Z-CAP—y,

则ZCBN=2x,^EAP=180°-4FAC-Z-CAP=180°-x-y,

•・.KA平分4EAP,

r»4nrrrAr»180°-X-V

・•・Z.EAK=Z.KAP=-------

如图2,过K作KH〃EF,过P作P〃/EF,则EF〃KH〃P/,E_________________________F

，Z.APB=Z-PAF+乙PBN=3x+y,/IC

K《—J---------H

Z-IPB=乙PBN=2%,[

又•；KP平分4BPA,------------------------------------------------N

；•4KPB=i^APB=竿，图2

•••乙KPI=Z.KPB-Z.IPB=-2x=爱，

Z.AKP=LEAK+乙KPI=I'。产"+^=90°-x,

•••乙4Kp=90°-NC4F.(或乙4Kp+ACAF=90°)；

(3)AP<4C.理由如下：

由(2)知4/KP=90°—%,Z-PAF=x+y,

•・・2jAKP-^LPAF=90°,

・・・2(90°-x)-(%+y)=90°,得y=90°-3x,

则ZJ1P8=Z.PAF+乙PBN=3x4-y=